張 星 單雙榮 徐金平

（1.福建生物工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共基礎(chǔ)部，福建 福州 350002；2.華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021；3.閩南理工學(xué)院，福建 石獅 362021）

1.引言

文章考慮如下非線性Klein-Gordon-Zakharov（簡(jiǎn)稱(chēng)KGZ）方程組

是描述在等離子體中Langmuir波與離子聲波交互作用的一個(gè)經(jīng)典模型。［1］在數(shù)學(xué)上，該方程表現(xiàn)為含有兩個(gè)未知函數(shù)u（x，t）和n（x，t）的耦合方組。其中u（x，t）是復(fù)函數(shù)，而n（x，t）則是實(shí)函數(shù)。

文章在xL≤x≤xR，0≤t≤T上對(duì)帶有如下初邊值條件

的一維KGZ方程從辛幾何的角度去考慮，其中函數(shù)u（x，t）為復(fù)值函數(shù)，函數(shù)n（x，t）為實(shí)值函數(shù)，u0（x），n0（x），u1（x），n1（x），均為已知函數(shù)。先把方程組引入正則動(dòng)量轉(zhuǎn)化成多辛形式的方程組，再對(duì)得到的多辛方程組用Fourier擬譜方法離散，可以得到其多辛Fourier擬譜格式，最后通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證多辛Fourier擬譜格式（3.2.3）滿(mǎn)足二階精度0（h2+τ2），并且能長(zhǎng)時(shí)間保持孤立波傳播。

2.非線性KGZ方程組的多辛形式及其守恒律

利用方程（1.2）和（1.3），可以消去ν（x，t）得到下面的方程組

下面考慮KGZ方程組（2.1），（2.2）的多辛結(jié)構(gòu)及其相關(guān)守恒律。

令u（x，t）=P（x，t）+iq（x，t），則方程組（2. 1），（2. 2）可化為

引入正則動(dòng)量pt=a，qt=b，px=c，qx=φ，nt=νx，wx=ν.得到KGZ方程組（2. 1），（2. 2）的多辛方程組在不同時(shí)刻的孤立波的傳播情況，圖5和圖6分別給出|u|和n在步長(zhǎng)（h，τ）=（0.05，0.01）時(shí)多辛Fourier擬譜格式得到的孤立波模擬，多辛Fourier擬譜格式能很好的模擬孤立波的傳播。

圖3和圖4分別給出|u|和n在不同時(shí)刻的孤立波的傳播情況

圖4

圖5 和圖6分別給出|u|和n在步長(zhǎng)（h，τ）=（0.05，0.01）時(shí)的孤立波模擬

圖5

圖6

綜上數(shù)值實(shí)驗(yàn)由表1-表3，圖1-圖6可以看出：

（1）通過(guò)多辛Fourier擬譜格式（3.2.3）計(jì)算出的數(shù)值解很好的逼近了精確解，并且滿(mǎn)足二階收斂性。

（2）多辛Fourier擬譜格式（3.2.3）能夠長(zhǎng)時(shí)間的模擬孤立波.經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值模擬后波的各個(gè)要素，如：形狀、振幅等，能夠很好的保持，長(zhǎng)時(shí)間誤差較小。

（3）多辛Fourier擬譜格式（3.2.3）在不同網(wǎng)格比下，能夠很好的模擬孤立波的傳播。

由此驗(yàn)證了文章構(gòu)造的多辛Fourier擬譜格式（3.2.3）是正確有效的。