陳明建，龍國慶，黃中瑞

（國防科技大學電子對抗學院，合肥 230037）

0 引言

波達方向（DOA）估計一直是雷達、通信以及聲納等領域研究的重要內(nèi)容之一［1］。由于具有優(yōu)良的超高分辨特性，空間譜估計技術已成為DOA估計的經(jīng)典方法。如基于子空間分解的多信號分類法（MUSIC）［2］、旋轉(zhuǎn)子空間不變法（ESPRIT）［3］以及子空間擬合法［4］。在空間譜估計技術中的大部分算法均需要知道入射信號數(shù)，因此，信號源數(shù)是陣列信號處理中的一個關鍵問題。典型的信源數(shù)估計方法包括基于AIC準則［5］和MDL準則［6-7］的信息論方法、基于特征值一步預測法［8］、貝葉斯預測密度法［9］等。其中信息論法實際上是給定一組觀測數(shù)據(jù)和一系列參數(shù)化的概率模型，然后選擇與觀測數(shù)據(jù)擬合最好的模型。由于需要對參數(shù)進行估計，所以基于AIC準則和MDL準則的信息論方法一般只適合于高斯白噪聲條件。基于特征值一步預測法、貝葉斯預測密度法也均假定陣元噪聲為高斯白噪聲，利用信號特征值明顯大于噪聲特征值的特點實現(xiàn)信源數(shù)估計。

在實際應用中白噪聲的假設并不是總是成立，如當陣元間通道存在幅相不一致或互偶時，實際的噪聲模型可能是空間非平穩(wěn)，非均勻色噪聲。此時基于高斯白噪聲假設的信源估計方法性能下降甚至失效。為了克服色噪聲引起信源數(shù)估計誤差問題，近些年來蓋氏圓盤法（GDE）［10］、正則相關法［11］、基于對角加載的特征值校正方法［12］以及SORTE法［13-15］等相繼提出。GDE方法同時利用了特征值和特征向量信息，因此，在色噪聲條件下仍然可以正確估計信源數(shù)，但是它在低信噪比時性能較差，且調(diào)整因子的選擇影響算法性能。正則相關技術是利用空間分離的兩個子陣接收數(shù)據(jù)并且要求兩個子陣之間的噪聲不相關，那么可以通過合理的相關分析而克服色噪聲的影響，但缺點是對陣列幾何結構的嚴格限制，因此，實用性受到了極大的限制?；趯羌虞d的信源數(shù)估計方法一定程度上解決了噪聲特征值發(fā)射引起信源估計性能下降的問題，但是需要人為設置對角加載量，最優(yōu)加載量無法準確獲得。SORTE法利用了特征值的方差信息構造信源估計判決函數(shù)，在白噪聲和色噪聲背景下均能有效實現(xiàn)信源數(shù)估計。

針對非均勻色噪聲背景下信源數(shù)估計問題，本文提出了一種基于特征值總體最小二乘線性估計誤差的信源數(shù)估計方法。該方法利用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特征值線性擬合誤差，并結合信息論的罰函數(shù)得到了信源數(shù)估計判決函數(shù)。該方法在色噪聲背景下能夠?qū)崿F(xiàn)信源數(shù)一致估計，且在低信噪比、短快拍時仍然具有良好的估計性能。

1 信號模型

式中，符號E（·）表示統(tǒng)計期望值，符號（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置，為K×K維信號的協(xié)方差矩陣，為K×K維噪聲的協(xié)方差矩陣。若噪聲為空時均不相關的非均勻色噪聲，則Q可表示為

2 典型信源數(shù)估計法

2.1 基于對角加載的MDL法

在理想白噪聲背景下噪聲特征值近似相等，MDL準則能有效實現(xiàn)信源數(shù)一致估計，但在空間非均勻色噪聲背景下噪聲特征值將變得發(fā)散，此時基于信息論準則信源數(shù)估計方法將失效。針對該問題，基于對角加載的修正采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可表示為：

2.2 蓋氏圓方法

蓋氏圓方法是對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R進行酉變換估計信號源個數(shù)。若對R進行分塊

其中，R'為R前M-1行和前M-1列組成的矩陣。

利用R'特征分解得到特征向量矩陣V構造酉變換矩陣T

酉變換矩陣T對協(xié)方差矩陣R進行如下變換

則GDE準則可描述為

式中，N是采樣快拍數(shù)，D（N）是與快拍數(shù)有關的調(diào)整因子。當k由小到大進行取值時，假設當k=kGDE時，GDE（k）第1次出現(xiàn)負數(shù)，則信源數(shù)為kGDE-1。

2.3 SORTE算法

SORTE算法是利用特征值二階統(tǒng)計量方差信息構造信源數(shù)估計判決函數(shù)，定義SORTE函數(shù)為

3 特征值線性擬合的信源數(shù)估計

3.1 色噪聲條件下特征值分布

圖1 數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值分布

由圖1可知，前3個特征值對應信號空間，后7個特征值對應噪聲空間，當SNR為10 dB時，信號特征值相差不大，而噪聲特征值近似相等，可以根據(jù)大特征值個數(shù)判斷信源個數(shù)；但當SNR為0 dB時，大特征值數(shù)目與信源數(shù)不相符，此時噪聲特征值出現(xiàn)了發(fā)散；隨著信噪比進一步降低，噪聲特征值發(fā)散程度進一步增加。

3.2 特征值的總體最小二乘線性擬合

為了分析數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特征值分布情況，利用總體最小二乘法線性擬合法，分析噪聲特征值分布。總體最小二乘方法（TLS）也稱為最小距離平方和法，能夠同時考慮自變量和因變量誤差從而使得函數(shù)的解算結果不會因自變量和因變量的選擇不同而改變。假定線性方程數(shù)學表達式為：

所有觀測值到直線的距離平方和可表示為

本文采用正交總體最小二乘法計算線性擬合參數(shù)。由幾何及微積分可知擬合直線必須通過M個數(shù)據(jù)點的中心，才能使擬合誤差最小。其中，M為樣本點數(shù)，即陣元數(shù)。即可將直線方程轉(zhuǎn)化為，求出即為TLS的解。

解為

對于總體最小二乘的特征值擬合誤差可表示為

3.3 信源數(shù)估計

考慮到擬合誤差ξ（k）是單調(diào)不增函數(shù)，與信息論中似然函數(shù)的性質(zhì)類似。利用MDL準則罰函數(shù)，構造判決函數(shù)，可以下式判決函數(shù)求解信源個數(shù)

4 仿真實驗

仿真條件：均勻線陣陣元數(shù)為M=10，陣元間距為半波長。3個獨立遠場窄帶信號入射到天線上，入射角度分別為［-10°，35°，60°］，噪聲為復高斯白噪聲，且與信號不相關。分別對MDL準則法、GDE法、對角加載 MDL法（簡寫為 LMDL）、SORTE法以及本文方法（記為TLS-MDL）在不同信噪比條件和不同快拍數(shù)條件下的信源估計性能比較。其中GDE法中D（N）=0.7，LMDL的對角加載量。每次實驗結果為200次Monte Carlo實驗統(tǒng)計均值。

實驗1白噪聲背景下成功檢測概率與信噪比、快拍數(shù)關系。定義成功檢測概率為正確估計信源次數(shù)與實驗次數(shù)之比。假定陣元噪聲為理想的高斯白噪聲。圖2是采樣快拍數(shù)為200時成功檢測概率與SNR的關系曲線。圖3是SNR為0 dB時成功檢測概率與快拍數(shù)的關系曲線。

圖2 白噪聲背景下成功檢測概率與SNR的關系曲線

圖3 白噪聲背景下成功檢測概率與快拍數(shù)的關系曲線

由圖2可知，在高斯白噪聲條件下，所有的信源數(shù)估計方法的成功檢測概率隨SNR增加而提高，在一定SNR條件下均能實現(xiàn)信源數(shù)100%成功估計，但本文方法在低SNR條件下性能更優(yōu)，SORTE法次之，基于對角加載的MDL算法性能在白噪聲背景下反而更差。這是由于特征值校正是以犧牲SNR為代價的，這與對角加載的物理意義是一致的，因為對角加載相當于向陣列注入白噪聲。

由圖3可知：GDE法雖然在小快拍時成功檢測概率達到了80%以上，但收斂速度較慢，這主要是由于GDE法調(diào)整參數(shù)D（N）與快拍數(shù)相關，若采用固定的調(diào)整參數(shù)，則算法性能有所下降；MDL法只有在快拍數(shù)較大時才能有較高的成功檢測概率；本文方法在快拍數(shù)為40時成功檢測概率接近100%，因此，在小快拍時本文方法性能更優(yōu)。

實驗2色噪聲背景下成功檢測概率與信噪比、快拍數(shù)關系。假設噪聲為非均勻空間色噪聲，噪聲協(xié)方差矩陣Q同上文中的3.1節(jié)設置。下頁圖4為采樣快拍數(shù)為200時成功檢測概率與SNR的關系曲線。圖5為信噪比為0 dB時成功檢測概率與快拍數(shù)的關系曲線。

圖4 色噪聲背景下成功檢測概率與SNR的關系曲線

圖5 色噪聲背景下成功檢測概率與快拍數(shù)的關系曲線

由圖4、圖5可知，在非均勻色噪聲條件下，MDL算法將失效，而對角加載的MDL能夠一定程度上克服噪聲特征值發(fā)射的影響，解決了傳統(tǒng)MDL算法無法適用于色噪聲環(huán)境的問題。GDE法由于綜合利用了特征值和特征向量信息，因此，對噪聲模型沒有特定的限制；在SNR小于-14 dB時，雖然SORTE法成功估計概率略高于本文方法，但總體檢測概率較低；在SNR等于-10 dB時，本文方法成功檢測概率要遠超過其他類方法，且算法的收斂性更快。因此，相比于其他類方法，本文方法在低信噪比、小快拍條件信源數(shù)估計性能更優(yōu)。

5 結論

針對實際應用環(huán)境中普遍存在非均勻空間色噪聲背景下的信源數(shù)估計問題，本文提出了基于特征值最小二乘線性擬合誤差的信源數(shù)估計方法。該方法通過對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的降序特征值進行最小距離平方和的線性擬合，利用擬合誤差與擬合點的單調(diào)不增特點，并結合MDL準則懲罰因子構造判決函數(shù)實現(xiàn)信源數(shù)估計。仿真結果表明：該方法在色噪聲背景下能夠?qū)崿F(xiàn)信源數(shù)的一致估計，尤其是在低信噪比、小快拍條件下信源數(shù)估計性能要優(yōu)于其他類方法。