王慧英

摘 要：筆者從六上“圓環(huán)面積”這一課配套練習(xí)的一道錯題中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生少有畫圖解決問題的策略。同一道題的兩種不同教法，讓筆者體會到如何去提升學(xué)生畫圖能力的教學(xué)培養(yǎng)方法，更讓筆者體會到雖是簡單的“畫個草圖”而已，但對于我們的教學(xué)而言卻是一點也“草”不得，每一步扎扎實實就可以促進學(xué)生“草圖”的精確和精致，解題的高質(zhì)和高效，更能進一步地提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：錯例；分析；草圖；畫圖能力；培養(yǎng)

一、緣起一錯題

以下這個錯例是在六年級上冊學(xué)生學(xué)習(xí)完“圓環(huán)面積”這一內(nèi)容后的配套課堂作業(yè)中出現(xiàn)的。原題是：在直徑為9m的圓形花壇外面有一條寬1m的環(huán)形小路，這條小路的面積是多少？

改作時，筆者大吃一驚。學(xué)生課堂反應(yīng)良好，但是這道題的錯誤率卻接近了50%。很多平時成績優(yōu)秀的學(xué)生也被這道題拉下了馬。于是筆者急匆匆地跑進教室，找了好幾個同學(xué)，問他們圓環(huán)面積怎么計算，結(jié)果一個個都胸有成竹地說了出來。那這到底是怎么回事呢？筆者又找了兩個錯得比較有代表性且平時善于口頭表達的學(xué)生做進一步的了解。以下是我們的談話記錄：

錯解圖1：（訪談生1）

師：能給老師解釋一下“3.14×[（9+1）÷2]2-3.14×（9÷2）2”這個算式的意思嗎？

生1：前半部分是外圓面積呀，后半部分是內(nèi)圓面積呀，減一下不就是圓環(huán)的面積了嗎？（此時還對自己的解題過程信心滿滿）

師：那老師請你再仔細地讀一下題，并且想象一下這個花壇和小路的樣子！

生1細心讀題兩次，思索片刻……

生1：不對，外圓半徑應(yīng)該是5.5米！

師：為什么呢？

生1：9米是直徑，小路寬1米，那么外圓的直徑應(yīng)該是11米的，我把那邊的1米給漏掉了！

錯解圖2：（訪談生2）

師：你能給老師解釋一下“（9÷2）2×3.14-（1÷2）2×3.14”這個算式的意思嗎？

生2：因為是直徑，所以要先除以2再求圓面積。

師（想作提醒）：9是誰的直徑呀？

生2（很確定的樣子）：外圓呀！

師：那你仔細讀讀題，看看9和1各表示什么意思？

生2讀題后還是一臉的困惑。（估計題目做錯了，他心情也不好）

師：好吧！我們不急，你試著畫畫這個花壇，再理解看看。

生2讀題并畫圖，再次理解，然后正確解答了題目。

二、原因多分析

通過對學(xué)生的訪談和思考把原因歸納為以下幾點：

1. 先期新課的負遷移。在之前圓環(huán)面積的教學(xué)中，教材的選材和練習(xí)直接告之學(xué)生外圓、內(nèi)圓的半徑的較多，偶有較難的也就告之學(xué)生直徑或周長進行轉(zhuǎn)化再計算，基本上書上的習(xí)題也都配了圖。

2. 學(xué)生的空間觀念較弱。不得不承認，出現(xiàn)這么高的錯誤率，學(xué)生的空間觀念一定是不夠強的。相對于長方形、正方形、圓的面積計算，圓環(huán)的面積計算更加復(fù)雜。因為長方形、正方形在學(xué)生的生活中處處可見，學(xué)生在折紙等活動中經(jīng)常會接觸到?？蓤A環(huán)的內(nèi)容出現(xiàn)得相對較少。而小學(xué)生的空間觀念絕大部分依賴于生活經(jīng)驗的積累。因此學(xué)生在圓環(huán)這個內(nèi)容上的空間觀念較弱也是可以理解的。

3. 學(xué)生對直觀的依賴性較強。新教材為我們的教學(xué)提供了豐富的情境教學(xué)資源，與此同時，學(xué)生也在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生了一定的依賴性，習(xí)慣于從圖中去獲取信息，從圖中去分析信息。本題的信息呈現(xiàn)方式并沒有把解題的最主要信息直接呈現(xiàn)出來，以致像生2這樣的學(xué)生即便通過再讀題也無法弄清題意。

對學(xué)生的訪談讓筆者恍然大悟，問題的癥結(jié)在于：學(xué)生根據(jù)文字敘述找不出解決問題的條件。也就是說，對于題中出現(xiàn)的信息，學(xué)生沒能很好地進行分析。生1平時思維很敏捷，學(xué)習(xí)成績也不錯。在和他的訪談過程中，筆者只是讓他多讀了兩次題，就快速找到了自己錯在什么地方，而生2在最后是借助了畫圖解決了問題。分析思考這兩位學(xué)生的訂正過程，筆者想到：是不是可以借助畫個草圖的方法來讓學(xué)生明晰題中的信息，幫助他們理解題意，從而達到正確解題的目的。

三、教學(xué)試改進

到別班去教學(xué)時，筆者改變了教學(xué)方法，由原先的讓學(xué)生自主練習(xí)改成了共同探討練習(xí)，以期讓學(xué)生體會到用草圖來分析圖意的好處。

問：一下子想不出辦法怎么辦？

這題只有文字敘述，具有一定的挑戰(zhàn)性，學(xué)生往往不能直接看出要求的圖形，以及幾個數(shù)量之間的關(guān)系。這時，筆者沒讓學(xué)生直接畫圖，而是通過“這題要求我們求什么？這個形狀是什么樣子的？我們需要哪些條件？可用什么方法幫助我們更清楚地整理題中的條件和問題？”，在坦然面對困難的情況下誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生心理需要“一下子想不出方法怎么辦呢？”，這就需要一種方法幫助自己理解題意、理清思路。此時，學(xué)生想起了畫圖，主動采用畫圖的策略。

畫：交流中促畫法，草圖不草！

既然學(xué)生心中已有畫圖的需要，再加上是六年級的學(xué)生，筆者開始讓他們自主動手畫圖。此時，有的學(xué)生拿出圓規(guī)、尺子像模像樣地開始畫圖；有的學(xué)生寥寥數(shù)筆；也有的學(xué)生不知從何入手，眼看著同桌先畫……

接下去，我們對學(xué)生畫的圖進行了交流比較，建立了對于畫圖幫助解題的標準：這樣畫圖的目的是幫助我們理解題意，所以不需要很精確，但是數(shù)字上要有一個大小的比例；圖形盡可能接近標準；標注信息很重要。有了這樣的標準，既可以加快畫圖的速度，又能幫助我們分析題意，得到自己想要的信息。到最后，在學(xué)生和教師的互動中，大家把一道文字題變成了一幅看似簡單卻并不簡單的“直觀圖”，此時學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目原來并不難，于是對解題躍躍欲試。

解題：水到渠成。

當(dāng)文字敘述的抽象轉(zhuǎn)化為圖畫時的直觀，學(xué)生就將數(shù)和形的意義對應(yīng)了起來，對數(shù)量關(guān)系也就一目了然了。大部分學(xué)生結(jié)合已有舊知都能解決問題，正確率也較高。（課后改作統(tǒng)計錯誤率降為7%）此時學(xué)生自然會對畫圖的方法產(chǎn)生興趣和好感，讓學(xué)生在“文字”和“圖形”兩者的比較中體會畫圖的價值。

四、反思促成長

正是因為有了這道題高錯題率的沉重打擊和改進后的成功喜悅，筆者好好反思了學(xué)生畫圖解題的現(xiàn)狀，尋找了可以改進的方法。

反思學(xué)生畫圖現(xiàn)狀：會做題的學(xué)生不畫圖，不會做題的學(xué)生想不到畫圖，也找不到畫圖的思路。利用畫圖來解決實際問題的意識不強或是很淡。畫圖的能力也是參差不齊，利用畫圖來檢驗解題過程和結(jié)果的學(xué)生更是寥寥無幾。

反思教師教學(xué)現(xiàn)狀：畫圖策略在考查中并不是一個顯性內(nèi)容，而且要教學(xué)到位，需要教師在教學(xué)中花很多時間和精力，更由于教材中對畫圖策略和方法的指導(dǎo)沒有專門的教學(xué)內(nèi)容，造成了教師們對此塊內(nèi)容認識不夠，或教學(xué)方法不對等情況，最終導(dǎo)致教學(xué)不到位。

反思總結(jié)點滴方法：

1. 情感、情境兩入手，體驗畫圖的價值

在教學(xué)中，給予學(xué)生安全感是學(xué)生放開手腳大膽嘗試的情感保障。我們要多用鼓勵性的語言去激發(fā)學(xué)生嘗試，比如：要不，我們試試？我們來挑戰(zhàn)一下，相信你們可以的……多用肯定性的、發(fā)現(xiàn)的語言去安慰嘗試失敗的學(xué)生，比如：原來你的圖里還有大小比例的關(guān)系，你還標注過信息……能力的習(xí)得還有一個延續(xù)性，小學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中容易出現(xiàn)不良的情感因素，我們也要在這個過程中給予學(xué)生足夠的耐心和等待。

在題目設(shè)計和教學(xué)過程中，我們要設(shè)置情境，讓學(xué)生感受到解決問題時的一些困難，進而產(chǎn)生尋求策略的需要，然后借助畫圖策略解決問題，深刻體會從難到易的過程，感受到畫圖解決問題的好處，體會成就感，從而體會到畫圖策略的價值性。

2. 強化畫圖過程的指導(dǎo)，提高畫圖的效率

學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)是一個循序漸進、螺旋上升的過程。從一年級跟著老師畫一一對應(yīng)的草圖到三年級跟著老師畫簡單的線段圖，再到高年級自己嘗試畫示意圖，內(nèi)容和形式上都是一個不斷提升的過程。后續(xù)的畫圖能力需要前面的思維分析能力和動手探究能力作基礎(chǔ)，并且需要掌握一些正確的畫圖方法，這就需要教師在這一過程中進行一些指導(dǎo)，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用。

3. 重視策略和方法的評析，提升畫圖的素養(yǎng)

教學(xué)中，可運用對比評價的教學(xué)手段，讓學(xué)生運用集體的智慧和力量進行畫圖過程和結(jié)果的評析。在分析的過程中，把圖和文字結(jié)合起來交流，深刻領(lǐng)會數(shù)和形之間的關(guān)系，能讓學(xué)生靈活地把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題，把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。在方法的對比中，要滲透圖形的比例大小和數(shù)字大小之間的關(guān)系把握，也要提高學(xué)生標注信息的能力。簡單地畫圖，也可以從各方面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

只是畫個草圖而已，可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由難到易；只是畫個草圖而已，可以讓學(xué)生的思維從抽象到具體；也只是畫個草圖而已，可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的綜合素養(yǎng)……草圖雖草，但只要我們好好利用，善引導(dǎo)，勤滲透，相信學(xué)生的思考力、理解力以及創(chuàng)造力一定會有所提高。