尹學(xué)明
(浙江省臺(tái)州市第一中學(xué) 318000)
函數(shù)和方程具有密切的聯(lián)系,方程的解其實(shí)是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn).函數(shù)y=f(x)可以當(dāng)做方程f(x)-y=0進(jìn)行分析和探究,在函數(shù)的變化中,有時(shí)候需要通過方程來(lái)求出滿足條件的一些關(guān)鍵量,這就是方程思想.函數(shù)與方程是貫穿于學(xué)生整個(gè)高中階段的,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)量與量之間關(guān)系的分析和探究,并將這些變化反映到解析式、圖象以及列表中,從而讓學(xué)生更容易地進(jìn)行問題的理解和解決.高中方程可以用f(x)=0或f(x)=g(x)的形式表示,f(x)=0的根就是函數(shù)y=f(x)圖象與x軸的交點(diǎn),f(x)=g(x)的根就是函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
例1 (2016年浙江高考12題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,則實(shí)數(shù)a=____,b=____.
解析本題主要體現(xiàn)了函數(shù)和方程的思想,在掌握函數(shù)解析式的情況下,將x與a分別代入函數(shù)中,得出f(x)-f(a)=x3+3x2-a3-3a2,然后再為(x-b)(x-a)2化簡(jiǎn)即可構(gòu)造出有關(guān)a、b的方程組,從而求解.
函數(shù)思想在不等式的分析和解答中也具有重要的意義,可以通過不等式的信息進(jìn)行函數(shù)的構(gòu)造,然后用函數(shù)的性質(zhì)和圖象進(jìn)行分析,往往能起到事半功倍的效果.高中的不等式基本上可以用f(x)>0、f(x)<0或是f(x)>g(x)進(jìn)行表示,當(dāng)然也可以在圖象上通過上下位置的關(guān)系進(jìn)行闡述.
當(dāng)4+a,|5-a|>+a},由此可知:
導(dǎo)函數(shù)是高考的重要內(nèi)容,尤其是一些簡(jiǎn)答試題中,常常有導(dǎo)函數(shù)的問題,這就要求學(xué)生要運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性、極值的問題分析和解決,同時(shí)能夠?qū)⒑瘮?shù)的各種形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而對(duì)有關(guān)導(dǎo)函數(shù)的問題能夠從容應(yīng)對(duì).
例3 (2017浙江高考7題)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是( ).
解析本題主要要求學(xué)生能夠從導(dǎo)函數(shù)的圖象進(jìn)行函數(shù)圖象的判定,由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可知,f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,f′(x)>0函數(shù)單調(diào)遞增,由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,原函數(shù)先遞減再遞增,然后在遞減再遞增,由此可以得出答案.
(1)求f(x)的導(dǎo)函數(shù);
解析本題第一問直接通過函數(shù)求導(dǎo)得出結(jié)果即可,第二問需要運(yùn)用第一問中的導(dǎo)函數(shù),進(jìn)行原函數(shù)極值和單調(diào)性的計(jì)算,同時(shí)滿足f(x)≥0的條件,則可以確定f(x)的取值范圍.
總之,從近幾年浙江高考的趨勢(shì)來(lái)看,函數(shù)思想在高考中占有絕對(duì)的比例,就拿2017年高考來(lái)說,浙江試題中一共有5題,知識(shí)點(diǎn)涉及二次函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)模型等,這就要求教師在教學(xué)的時(shí)候,要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,將函數(shù)思想貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)進(jìn)行具體問題的分析和解決,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展.