宋 澤

(遼寧省莊河市高級中學(xué)高二(11)班 116400)

一、高中數(shù)學(xué)解題中的反證法在數(shù)列問題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)涉及到的知識(shí)繁多而且復(fù)雜，我們在解題的過程中經(jīng)常會(huì)遇到一些直接解答時(shí)困難或無法得到結(jié)果的情況.此時(shí)，反證法能快速的解除我們的困擾.在解決與數(shù)列有關(guān)的問題時(shí)，我們就經(jīng)常應(yīng)用到反證法.

例如下面題目：已知有一等比數(shù)列{an}，其公比是q，前n項(xiàng)和表示為Sn.求證數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.題目中給出的問題是否定性命題，正面解答或證明不易實(shí)現(xiàn).我們可以采用反證法的途徑：假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，即：若數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則有S22=S1S3,由題意得a12(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).{an}是等比數(shù)列，故a1≠0，上式可以簡化為(1+q)2=1+q+q2，整理得q=0.這與原題中q≠0相矛盾，故而原假設(shè)不成立，即數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.反證法的應(yīng)用大大節(jié)省了我們解題的時(shí)間，而且也提高了答案的準(zhǔn)確率，使得我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率大大提高.因此，在日常解題的過程中，我們?nèi)f萬不可被傳統(tǒng)的解題思路束縛住頭腦，要充分地發(fā)散思路，綜合運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)，從反面更加全面地了解問題，爭取用最短的時(shí)間得到最完美、最正確的答案.同時(shí)我們也要善于總結(jié)，類似于上題題干中存在：“不”、“不是”、“不存在”等字眼時(shí)，可以考慮從反證法的角度入手，即假設(shè)有、存在，從而推導(dǎo)出矛盾.

二、高中數(shù)學(xué)解題中的反證法在命題證明題中的應(yīng)用

1.反證法在證明“唯一性”命題時(shí)的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一門涉及多種概念、性質(zhì)、公式、定義的學(xué)科，在學(xué)習(xí)的過程中，我們會(huì)面臨著命題的證明問題.很多命題是無法進(jìn)行正面直接地證明的，因此，需要運(yùn)用反證法從反面進(jìn)行證明.比如：證明一個(gè)圓只有一個(gè)圓心.如果從正面直接對這個(gè)問題進(jìn)行論證，我們會(huì)無從下手，因此，我們采用反證法來證明這個(gè)命題，可以先假設(shè)一個(gè)圓有兩個(gè)圓心，然后得出與已知結(jié)論矛盾的結(jié)論，最后得到原命題正確這一結(jié)論.具體解題過程：假定一個(gè)圓有兩個(gè)圓心A和O，在圓內(nèi)作弦CD，取中點(diǎn)E，連接OE，AE，這樣過直線CD上一點(diǎn)E同時(shí)有兩條直線OE、AE⊥CD，與經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線的基本性質(zhì)矛盾，所以，“一個(gè)圓只有一個(gè)圓心”這一結(jié)論成立.

2.反證法在證明必然性命題時(shí)的應(yīng)用

在證明必然性命題時(shí)，可以將題中給出的結(jié)論轉(zhuǎn)變?yōu)槊}，再將原來的肯定命題化為否定命題，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C推出該否定命題是錯(cuò)誤的，由此得到原命題正確的結(jié)論，進(jìn)而證明了原題的結(jié)論.例如：已知a，b，c均為正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2，又知a為質(zhì)數(shù)，求證：b與c兩數(shù)必為一奇一偶.證明：假設(shè)b和c同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，由a2+b2=c2得(c+b)(c-b)=a2,根據(jù)奇偶數(shù)性質(zhì)可以得知c-b和c+b同為偶數(shù)，那么a2必為偶數(shù)，所以a也為偶數(shù)，而且原題中給出了“a是質(zhì)數(shù)”，所以a=2,則有(c+b)(c-b)=4，所以

3.反證法在證明無限性命題時(shí)的應(yīng)用

三、高中數(shù)學(xué)解題中的反證法在不等式中的應(yīng)用

在不等式的學(xué)習(xí)過程中，我們會(huì)面臨著不等式的證明問題，當(dāng)遇到普通的不等式問題時(shí)，我們可以用“分析法”、“綜合法”、“比較法”這三種通法解決問題，但是有一些比較極端的問題，用這三種方法無法得解，這就需要我們用反證法從反面進(jìn)行問題的解決.

例如：已知a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0.面對這樣的問題，我們就需要用反證法解決.證明：假設(shè)原題中的結(jié)論不成立，即假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，由a+b+c>0，可得c>-(a+b)，又∵a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b).兩邊同時(shí)加上ab，則c(a+b)+ab<-(a+b)(a+b)+ab，即ab+bc+ca<-a2-ab-b2.∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2<0，∴ab+bc+ca<0.這與已知ab+bc+ac>0相矛盾，故假設(shè)不成立.所以a>0，b>0，c>0成立.運(yùn)用反證法，一個(gè)原本復(fù)雜難解的問題就迎刃而解了.由此可見，將反證法巧妙地應(yīng)用到解題過程中去，能夠大大縮短解題時(shí)間，提高解題的效率.

數(shù)學(xué)知識(shí)的覆蓋面非常廣泛，許多問題也復(fù)雜繁瑣，需要我們發(fā)散思維，充分運(yùn)用以前所學(xué)的知識(shí)，采用多種方法進(jìn)行解決.在長期的學(xué)習(xí)過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行不同類型問題的解決時(shí)，反證法簡單、易懂，尤其在進(jìn)行不同類型證明題的證明時(shí)，反證法能夠增強(qiáng)我們的邏輯思維、提升我們的創(chuàng)造思維，因此，我們要不斷地總結(jié)規(guī)律，爭取在解決問題時(shí)，將反證法更好地運(yùn)用到解題過程中去.