李蕊

摘 要：要利用慕課平臺(tái)的教學(xué)資源，對高等數(shù)學(xué)課程開展SPOC混合式教學(xué)，就必須根據(jù)高等數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)，探索其討論課的主體內(nèi)容和實(shí)施保障，制定多維度的綜合考核評(píng)價(jià)體系。文章以“函數(shù)的微分”為例，探究基于混合式教學(xué)的討論課在高等數(shù)學(xué)SPOC中的具體實(shí)踐操作過程。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；混合式教學(xué)；討論課；SPOC；“函數(shù)的微分”

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2018-01-07

基金項(xiàng)目：陜西省高等教育MOOC中心在線課程轉(zhuǎn)化教改研究項(xiàng)目（17MZ24）。

作者簡介：李 蕊（1982—），女，講師，碩士研究生，研究方向：最優(yōu)化理論與算法。

近幾年，在線教育時(shí)代的到來催生了不同的在線教育模式，其中，慕課和SPOC作為典型在全球各高等教育機(jī)構(gòu)得以普遍實(shí)踐。為促進(jìn)西安工業(yè)大學(xué)（以下簡稱“我校”）教學(xué)改革，提高數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)質(zhì)量，筆者主持參加陜西省高等教育慕課中心的《高等數(shù)學(xué)》SPOC定制項(xiàng)目，在我校試點(diǎn)班級(jí)開展MOOC（SPOC）+翻轉(zhuǎn)課堂的混合教學(xué)模式，利用慕課平臺(tái)的教學(xué)資源，實(shí)現(xiàn)線上線下相結(jié)合的混合式教學(xué)。

一、SPOC混合教學(xué)模式下高等數(shù)學(xué)討論課的意義

在高等數(shù)學(xué)課程中開展討論課，教師要挖掘知識(shí)背后所承載的能力，探索知識(shí)的拓展應(yīng)用性，設(shè)計(jì)“以學(xué)生為主體，以問題為導(dǎo)向，以知識(shí)學(xué)習(xí)和能力培養(yǎng)為目標(biāo)”的高質(zhì)量討論課。教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，將自己從傳統(tǒng)課堂中的主體，轉(zhuǎn)變成討論課中的組織者和引導(dǎo)者，學(xué)習(xí)新的課堂組織管理技巧。討論課中教師的專業(yè)水平和課堂管理能力得到提高，這是對教學(xué)相長的最好詮釋。

在高等數(shù)學(xué)課程中開展討論課，需要學(xué)生對課程內(nèi)容有較深的理解和思考，培養(yǎng)學(xué)生積極思考的習(xí)慣。討論課需要學(xué)生表達(dá)自己的看法和觀點(diǎn)，鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力、應(yīng)變能力。討論課需要小組成員間相互交流協(xié)作，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)、合作意識(shí)、社會(huì)意識(shí)。

二、SPOC混合教學(xué)模式下高等數(shù)學(xué)討論課的主體內(nèi)容和實(shí)施保障

此次在我校開展“SPOC+翻轉(zhuǎn)課堂”的混合教學(xué)模式，選取的試點(diǎn)教學(xué)班包括兩個(gè)自然班，學(xué)生總?cè)藬?shù)是73人。開學(xué)初，我們將學(xué)生分為十個(gè)小組，每組7～8人。分組采取自愿形式，每組選組長及記錄員各一名。明確小組各成員職責(zé)，每組成員堅(jiān)持長期合作，共同分享成果，共同承擔(dān)責(zé)任。

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的不同，討論式教學(xué)主要分為兩種類型：一是基于問題的討論式教學(xué)；二是開放式教學(xué)。從教學(xué)內(nèi)容上看，前者在提升能力的同時(shí)仍強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的掌握，在理工科教學(xué)中應(yīng)用較多；而后者以啟迪思維和鍛煉技巧為目的，在人文社科及語言類學(xué)科中應(yīng)用更多。根據(jù)高等數(shù)學(xué)的課程特點(diǎn)，我們應(yīng)開展以問題為導(dǎo)向的討論課，然而，并不是所有內(nèi)容都需要或適合討論。教師在備課時(shí)要精心選擇和設(shè)計(jì)具有討論意義的問題。計(jì)劃展開討論的問題，應(yīng)難易適中、內(nèi)容豐富，具有研究性、探索性和發(fā)散性。如果是答案唯一確定、考查計(jì)算能力的題目，就沒有必要進(jìn)行討論，學(xué)生在習(xí)題課或課后作業(yè)進(jìn)行練習(xí)即可。對于簡單的問題，教師可以在課堂中給學(xué)生幾分鐘進(jìn)行討論，各小組派代表發(fā)言，匯報(bào)討論的結(jié)果。比如，教師可設(shè)置一題多解的題目，激發(fā)鼓勵(lì)學(xué)生思考，討論求解的多種方法，還可以根據(jù)學(xué)生所做的練習(xí)題展開討論，歸納總結(jié)計(jì)算方法。對比較復(fù)雜的問題，教師可以在討論課前一周把要討論的問題分配給各小組，組長組織本組同學(xué)課后查閱資料，進(jìn)行討論并解決問題。課堂上各組派代表匯報(bào)闡述討論的結(jié)果，并回答老師或其他同學(xué)的提問。本小組其他成員可以進(jìn)行補(bǔ)充說明。比如，對于“如何證明任一金屬環(huán)總存在某條直徑，該直徑的兩個(gè)端點(diǎn)處溫度相等”“如何證明若椅子在地面上放不穩(wěn)，只需稍挪動(dòng)幾次就可以放穩(wěn)”等半開放性問題可提前進(jìn)行布置。

制定多維度的綜合考核評(píng)價(jià)體系，量化線上和線下學(xué)習(xí)的詳細(xì)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。討論課表現(xiàn)要在期末總評(píng)成績中占一定比例，有效激勵(lì)和督促學(xué)生積極參與討論。以前在傳統(tǒng)教學(xué)中，期末總評(píng)成績包括期末考試（占70%）和平時(shí)成績（占30%）。本次在SPOC混合教學(xué)試點(diǎn)班級(jí)擬采取新的成績計(jì)算方式，期末總評(píng)成績包括學(xué)生在線學(xué)習(xí)情況占（30%），討論課表現(xiàn)占（10%），平時(shí)作業(yè)冊成績（占10%），期末考試占（50%）。這樣既能反映學(xué)生真實(shí)學(xué)習(xí)水平，又能對學(xué)生學(xué)習(xí)過程進(jìn)行監(jiān)管。討論課讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，還可以獲得平時(shí)成績，激發(fā)了學(xué)生的討論熱情和動(dòng)力。這樣的考試評(píng)價(jià)體系具有靈活性、多元性的特點(diǎn)，尊重每個(gè)學(xué)生的特長和個(gè)性，幫助學(xué)生發(fā)揮個(gè)人潛能，引導(dǎo)學(xué)生把膚淺的、功利的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)變?yōu)閮?nèi)在的、深層次的求知欲望。

三、“函數(shù)的微分”討論課教學(xué)實(shí)踐案例

文章以同濟(jì)第七版《高等數(shù)學(xué)》中“函數(shù)的微分”一節(jié)內(nèi)容為例，探究基于混合式教學(xué)的討論課具體實(shí)踐操作過程。學(xué)生課前在中國大學(xué)慕課平臺(tái)自主觀看學(xué)習(xí)本節(jié)教學(xué)視頻，教師在課堂上講解重點(diǎn)、難點(diǎn)，組織學(xué)生開展討論課。

第一階段：討論課前的準(zhǔn)備

針對本節(jié)內(nèi)容，教師課前布置兩個(gè)問題：①如何簡單計(jì)算函數(shù)的增量？②導(dǎo)數(shù)就是微分嗎？要求全體學(xué)生課前觀看網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)上“函數(shù)的微分”的教學(xué)視頻。學(xué)生帶著問題進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，思考研究微分的起源和出發(fā)點(diǎn)，了解導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別和聯(lián)系。

教師課前通過充分備課，精心設(shè)計(jì)討論課的課堂“小討論”問題和課后“大討論”問題。

第二階段：實(shí)體討論課的開展

討論課上，教師抓住上述問題，循序漸進(jìn)地提問，逐步引導(dǎo)學(xué)生積極思考和深入學(xué)習(xí)。

（1）導(dǎo)數(shù)主要研究什么問題？

請學(xué)生回答導(dǎo)數(shù)的定義，鞏固導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值增量與自變量增量之比，當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)的極限，即導(dǎo)數(shù)主要研究變化率問題。

（2）為什么要學(xué)習(xí)微分？微分主要研究什么問題？

課堂上教師提出以下問題：如何簡單計(jì)算函數(shù)的增量？如何快速估計(jì)e0.123和sin3030的值？教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論后回答上述問題，引導(dǎo)學(xué)生了解微分概念起源于微量分析，y可表示成A·x與（x）兩部分之和，其線性主部稱為微分。當(dāng)x很小時(shí)，△y大小主要由微分A·x決定，而（△x）對其大小的影響是很小的。如此，學(xué)生便能理解“為什么要學(xué)習(xí)微分”及“微分主要研究什么問題”。

（3）函數(shù)在一點(diǎn)可微的定義是什么？

微分的概念是本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)，在學(xué)生自主在線學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，教師重點(diǎn)講析函數(shù)可微和微分的定義，以及微分的幾何意義。

（4）哪些函數(shù)可微？若函數(shù)可微分，如何計(jì)算微分？

學(xué)生要解決這兩個(gè)問題，需要研究導(dǎo)數(shù)與微分、可導(dǎo)與可微的關(guān)系。教師可給學(xué)生幾分鐘時(shí)間討論這個(gè)問題，請小組代表講解該問題。教師及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，可導(dǎo)與可微等價(jià)，函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分。教師進(jìn)一步提問：“既然導(dǎo)數(shù)與微分有這樣的關(guān)系，那基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則是什么？”課堂上通過幾個(gè)計(jì)算微分的練習(xí)題，請學(xué)生總結(jié)求微分的方法。

（5）利用微分的觀點(diǎn)，如何重新理解反函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及由參數(shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo)法則？

教師給學(xué)生幾分鐘時(shí)間討論，請小組代表闡述求導(dǎo)法則，講解該問題。教師及時(shí)總結(jié)：在學(xué)習(xí)微分之前，導(dǎo)數(shù)的記法是整體記號(hào)；學(xué)習(xí)微分后，導(dǎo)數(shù)記法可看作分式運(yùn)算，重新理解求導(dǎo)法則，使學(xué)生加深了對求導(dǎo)法則的認(rèn)識(shí)。

（6）導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別和聯(lián)系是什么？

學(xué)生思考、討論后給出答案。教師及時(shí)進(jìn)行總結(jié)：這兩個(gè)概念研究的出發(fā)點(diǎn)不同，幾何意義不同，但是導(dǎo)數(shù)是函數(shù)微分與自變量微分的商，函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)和可微是等價(jià)的。

（7）用微分進(jìn)行近似計(jì)算有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

當(dāng)x-x0很小時(shí)，f（x）≈f（x0）+

f （x0）x-x0），即f（x）可由一次多項(xiàng)式近似代替，但精度不高，只適用于x0附近的點(diǎn)x，否則誤差較大。而且只知道誤差是（x-x0）的高階無窮小，但不能具體估算出誤差大小。為下一章泰勒公式的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

這些課堂討論的“小問題”層層推進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣。在討論課中，學(xué)生通過對這一系列問題的討論，不僅能深入理解本節(jié)的基本概念和理論方法，還能將“函數(shù)的微分”和前后知識(shí)銜接，做到融會(huì)貫通（如表1所示）。

課后討論的“大問題”更注重應(yīng)用性和能力的培養(yǎng)。教師要將深?yuàn)W難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)與生活中的實(shí)際問題相結(jié)合，使學(xué)生對微分的理解相對深刻一些。學(xué)生通過查閱資料了解什么是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“70規(guī)則”，并通過微分的近似計(jì)算解釋該經(jīng)濟(jì)學(xué)規(guī)則，準(zhǔn)備課堂匯報(bào)資料。討論課中，請小組代表闡述“70規(guī)則”并用微分知識(shí)解釋該規(guī)則，其他同學(xué)可以舉例、補(bǔ)充或提問，教師及時(shí)給予評(píng)價(jià)和總結(jié)（如表2所示）。

第三階段：討論課后的總結(jié)和反饋

寫課后總結(jié)，找出問題，更新設(shè)計(jì)，提高后續(xù)課程的討論效果和教學(xué)質(zhì)量。

四、結(jié)語

高等數(shù)學(xué)課程由于其自身特點(diǎn)，并非所有教學(xué)內(nèi)容都適合開展翻轉(zhuǎn)課堂，并非所有章節(jié)都適合開展討論課。教師要根據(jù)本校學(xué)生的特點(diǎn)，在保持一定傳統(tǒng)課堂教學(xué)的基礎(chǔ)上，利用慕課平臺(tái)和傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式的優(yōu)勢。

參考文獻(xiàn)：

[1]王立冬，魯 軍，高 慶.基于問題的討論式教學(xué)設(shè)計(jì)[J].教育教學(xué)論壇，2014（23）：78-79.

[2]黃燕平.大學(xué)數(shù)學(xué)課程討論式教學(xué)模式研究[J].教育教學(xué)論壇，2013（35）：94-96.