韓英波, 蔣凱歌, 張倩玉

(信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南 信陽 464000)

0 引言

設(shè)u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h) 是從光滑度量測度空間(M,g,e-φ(x)dvg)到另一個光滑黎曼流形(N,h)的光滑映射.WANG和XU[1]研究的能量泛函如下:

對于調(diào)和映射和推廣的調(diào)和映射,其中一個重要的問題就是研究它們的劉維爾型定理[2].WANG和XU[1]在Bakry-émery Ricci張量的條件下得到了關(guān)于推廣的調(diào)和映射的劉維爾型定理.Bakry-émery Ricci張量的表示如下:

其中RicM是(M,g)的Ricci曲率.

另外,FARDON和RATTO[3]引入了具有勢函數(shù)的調(diào)和映射.由于勢函數(shù)的存在,他們發(fā)現(xiàn)具有勢函數(shù)的調(diào)和映射具有與一般調(diào)和映射不同的性質(zhì).之后,具有勢函數(shù)的調(diào)和映射被廣泛研究[4-6].

引進泛函EF,φ,H如下:

其中F:[0,)→[0,)是一個C2函數(shù)且F(0)=0,在[0,)上F′(t)>0.如果對于任意緊支集變分ut:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)在u0=u時有

那么稱u是關(guān)于EF,φ,H(u)的具有勢函數(shù)H的擬-F-調(diào)和映射.本文利用應(yīng)力-能量張量,在H和Bakry-émery Ricci張量的條件下得到具有勢函數(shù)的擬-F-調(diào)和映射的一些劉維爾型定理,同時也引入弱擬-F-調(diào)和映射的概念并得到一些劉維爾型定理.

1 預(yù)備知識

(1)

引理1(第一變分公式) 設(shè)u:M→N是一個C2的映射,則

證明由文獻[6]引理1可知此引理結(jié)論成立.證畢.

設(shè)T是對稱的(0,2)型張量場,X是一個向量場,利用Stokes定理,得到積分公式如下:

(2)

其中ν是沿?D的單位外法向量場.

引理2[7]設(shè)(M,g)是完備單連通無聚點的黎曼流形.設(shè)r是與x0有關(guān)的距離函數(shù).如果RicM≤-b2且b是正實數(shù),那么△r≥brcoth(br).

△φ=△-〈,φ〉.

2 應(yīng)力-能量張量

設(shè)u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是一個光滑映射,它的F-應(yīng)力-能量張量[8]被定義為:

引入泛函EF,φ,H(u)的應(yīng)力-能量張量:

e-φ(x)[SF(u)-Hug].

(3)

命題1 對于M上的任意向量場X,都有

[divSF,φ,H(u)](X)=-e-φ(x)h(τF,φ,H(u),du)-

(4)

證明取M上一點x的局部正交標(biāo)架場{ei}且

在x點處,有

-e-φ(x)h(τF,φ,H(u),du(X))-

于是命題得證.證畢.

推論1 對于任意的X∈Γ(M),

[divSF,φ(u)](X)=-e-φ(x)h(Θ,du(X))-

(5)

其中

由命題1和推論1知,如果u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是具有勢函數(shù)的擬-F-調(diào)和映射,那么

[divSF,φ,H(u)](X)=

(6)

[divSF,φ(u)](X)=e-φ(x)h(NHu,du(X))-

(7)

由式(2)、式(6)和T=SF,φ,H(u),可以得到

(8)

由式(2)、式(7)和T=SF,φ(u),可以得到

(9)

定義1 光滑映射u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)稱為具有勢函數(shù)的弱擬-F-調(diào)和映射,如果對于任意的X∈Γ0(TM)都滿足下式

(10)

引理4 設(shè)X是包含在M內(nèi)部具有緊支集的一個光滑向量場,則有

(11)

證明由式(2)可知此引理結(jié)論成立.證畢.

利用式(4)、式(5)、式(6)、式(7)和式(11),如果u:M→N是具有勢函數(shù)的弱擬-F-調(diào)和映射,那么對于任意的X∈Γ0(TM)都有

(12)

h(NHu,du(X))]e-φ(x)dvg=0.

(13)

3 劉維爾型定理

設(shè)(M,g)是具有極點x0的完備非緊的黎曼流形.

設(shè)B(r)={x∈Mm:r(x)≤r}.用λmax(或λmin)表示在Mx0中的每一點上的Hess(r2)-dr?dr的最大(或最小)特征值.設(shè)(Nn,h)是一個黎曼流形,H是N上的一個光滑函數(shù).

定理1 假設(shè)(M,g)有非正的截面曲率

-a2≤KM≤0,

(a)RicM≤-b2且b≥2adF;

則EF,φ,H(u)<時具有勢函數(shù)的任意擬-F-調(diào)和映射u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)一定是常值映射，其中dF定義為:

(14)

(15)

在條件(a)下,由引理2和式(15)可得

設(shè)H(r)=rcothr,直接計算可得

(16)

則有

(17)

由式(16)和b≥2adF,可得

(18)

在條件(b)下,由引理3和式(15)可得

2adFrcoth(ar)].

(19)

由式(16)和b≥2adF,可得

(20)

假設(shè)u不是常值映射,取充分大的正數(shù)R0和充分小的正數(shù)r0,使得

(21)

其中C是一個正常數(shù).由式(16)、式(17)、式(19)和式(21)可得

(22)

其中δ是僅依賴于r0的一個正實數(shù).當(dāng)R≥R0時,由式(14)和式(22)可得

(23)

這與假設(shè)EF,φ,H(u)<矛盾.于是定理得證.證畢.

注記1 當(dāng)F(t)=t,H=0,即得定理1[1].

推論2 設(shè)u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是具有勢函數(shù)的擬-F-調(diào)和映射,(M,g)有非正截面曲率-a2≤KM≤0.設(shè)b,c0是兩個正常數(shù),φ(x)=-c0lnr,H≤0(或Hu(M)≤0)且0

特別地,如果

那么具有勢函數(shù)的擬-F-調(diào)和映射u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)一定是一個常值映射.

(a)RicM≤-b2且b≥2adF;

(24)

(25)

另一方面,

(26)

在條件下(a),由引理2、式(16)和式(26)可得

(27)

在條件下(b),由引理3、式(16)和式(26)可得

2adFrcoth(ar)]≥0.

(28)

假設(shè)u不是常值映射,取充分大的正數(shù)R0和充分小的正數(shù)r0,使得

(29)

其中C是一個常數(shù).由式(16)、式(27)、式(28)和式(29)可得

(30)

其中δ是僅依賴于r0的一個正實數(shù).當(dāng)R≥R0時,由式(25)、式(28)和式(30)可得

(31)

因此有

這與假設(shè)u矛盾.因此定理得證.證畢.

假設(shè)存在兩個常數(shù)C0>0,μ>0使得

(32)

(33)

定理3 設(shè)u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是具有勢函數(shù)的弱擬-F-調(diào)和映射.如果M滿足式(32),C0-μ>0,H≤0(或H|u(M)≤0)且EF,φ,H(u)<+,那么u是一個常值映射.

(34)

(35)

由EF,φ,H(u)<+可得

(36)

由式(35)和式(36)可得

(37)

因此定理得證.證畢.

證明由定理3的方法可證定理結(jié)論成立.證畢.

由文獻[10,11]及其中的相關(guān)文獻可得下面引理5.

引理5[10,11]設(shè)(Mm,g)是具有一個極點x0的完備黎曼流形,Kr表示M的徑向曲率.

(i)如果-α2≤Kr≤-β2,α≥β>0,那么

βcoth(βr)[g-dr?dr]≤Hess(r)≤

αcoth(αr)[g-dr?dr].

(ii)如果

和0≤B<2ε,那么

(iii)如果

和c2≥0,那么

引理6 設(shè)(Mm,g)是具有一個極點x0的完備黎曼流形,Kr表示M的徑向曲率.

(i)如果-α2≤Kr≤-β2,α≥β>0和(m-1)β-2α≥0,那么

[(m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax}]≥

(ii)如果

和0≤B<2ε,那么

[(m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax}]≥

(iii)如果

和c2≥0,那么

[(m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax}]≥

證明由引理5,若Kr滿足(i),則在B(r)x0上,對任意r>0,有

[(m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax}]≥

(m-1)2βrcoth(βr)+2-2dF×2αrcoth(αr)≥

同理利用與引理5相似的方法,在B(r)中上述不等式在條件(ii)和條件(iii)下仍然成立.證畢.

定理5 設(shè)(M,g)是具有一個極點x0的m維完備流形,假設(shè)M的曲率半徑Kr滿足下列三個條件之一:

(i)如果-α2≤Kr≤-β2,α≥β>0和(m-1)β-2dFα≥0.

(ii)如果

ε>0,A≥0,0≤B<2ε和

(iii)如果

c2≥0和

若u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是具有勢函數(shù)H的一個弱擬-F-調(diào)和映射,Λ-μ>0,H≤0(或H|u(M)≤0)且EF,φ,H(u)<+,則u是一個常值映射,其中

Λ=

(38)

證明由定理3的證明和引理5可知此定理結(jié)論成立.證畢.

那么u是一個常值映射.

證明由定理4和引理5可知此定理結(jié)論成立.證畢.

4 結(jié)語

本文引入具有勢函數(shù)的(弱)擬-F-調(diào)和映射的概念,在H和Bakry-émery Ricci張量的條件下,利用應(yīng)力-能量張量證明了(弱)擬-F-調(diào)和映射的一些單調(diào)公式及劉維爾型定理.