朱禮娜

【摘要】數(shù)學(xué)思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不是兩個(gè)孤立的系統(tǒng)，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為數(shù)學(xué)思想的落地生根提供了沃土，數(shù)學(xué)思想同時(shí)也豐盈著學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)體系。文章旨在結(jié)合具體案例，從系統(tǒng)角度關(guān)注學(xué)生經(jīng)驗(yàn)動(dòng)態(tài)積累的不同階段，重新審視每個(gè)課時(shí)教學(xué)的核心價(jià)值，進(jìn)行相關(guān)教學(xué)實(shí)踐嘗試，促進(jìn)學(xué)生體悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)思想；課時(shí)教學(xué)核心價(jià)值

《多邊形的面積》是蘇教版五上的一個(gè)教學(xué)單元，本單元教學(xué)存在兩條教學(xué)主線，明線為引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷平行四邊形的面積、三角形的面積及梯形的面積的具體推導(dǎo)過程，暗線實(shí)為體悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。只有根植于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的沃土之上，數(shù)學(xué)思想才能落地生根。如何避免學(xué)生推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)在同一層面的簡(jiǎn)單重復(fù)，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思想體悟的不斷升華，筆者做了以下幾點(diǎn)嘗試。

一、喚醒已有經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想

學(xué)生的學(xué)習(xí)，總是建構(gòu)在一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗(yàn)之上的。學(xué)生在研究圖形周長(zhǎng)時(shí)，已初步積累了等長(zhǎng)變形的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)；在長(zhǎng)方形和正方形面積的拓展練習(xí)中，也初步感受了等積變形的轉(zhuǎn)化思想。所以，在《平行四邊形的面積》教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶長(zhǎng)方形的面積推導(dǎo)過程后，直接出示格子紙中的平行四邊形，讓學(xué)生數(shù)出面積。

【教學(xué)片斷1：平行四邊形面積的教學(xué)】

師：你能數(shù)出平行四邊形的面積嗎？

生1： 生2：

生3：

師：同學(xué)們都善于去智慧地?cái)?shù)，這3種方法有共同之處嗎？

生4：他們都用了剪拼的方法。

生5：他們都是把未知圖形轉(zhuǎn)化成了我們已經(jīng)學(xué)過的圖形。

師：把未知轉(zhuǎn)化成已知，是我們數(shù)學(xué)中重要的思想方法。你更喜歡哪一種轉(zhuǎn)化的方法？

生：我更喜歡第3種方法，這樣轉(zhuǎn)化更簡(jiǎn)單。

師：是不是所有的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？請(qǐng)任意選擇一個(gè)平行四邊形試一試。

1.根植概念本質(zhì)，以研究單為探究支撐

面積計(jì)量的本質(zhì)是計(jì)量其包含單位面積的數(shù)量，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了長(zhǎng)方形和正方形的面積公式的探索過程，積累了單位面積計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)。本課教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)研究單，出示含單位面積的平行四邊形，不滿格的認(rèn)知沖突喚醒了孩子的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，驅(qū)動(dòng)起學(xué)生探究的有效展開。

2.進(jìn)行方法比較，凝練體會(huì)轉(zhuǎn)化思想

教師組織學(xué)生交流方法，注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法比較。其一引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法類比，“這3種方法有什么共同之處”，使得孩子體會(huì)到轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)這些方法都是將未知圖形轉(zhuǎn)化成了已知的圖形。其二引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法對(duì)比，“你更喜歡哪種方法”，在方法優(yōu)化中使學(xué)生將研究的視角聚焦到沿高剪拼的轉(zhuǎn)化方法上。

二、豐盈轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)推理思想

數(shù)學(xué)思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不是兩個(gè)孤立的系統(tǒng)。學(xué)生經(jīng)歷了《平行四邊形的面積》課時(shí)學(xué)習(xí)后，體會(huì)了等積變形轉(zhuǎn)化思想，這種轉(zhuǎn)化的思想也成為后續(xù)探究的基本經(jīng)驗(yàn)。與平行四邊形面積不同，一般三角形的等積變形轉(zhuǎn)化對(duì)于學(xué)生而言困難得多。教師在設(shè)計(jì)研學(xué)單時(shí)，先鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法轉(zhuǎn)化三角形，同時(shí)也提供了材料（若干組相同的三角形）支撐學(xué)生去探究，以期使不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展。學(xué)生的方法統(tǒng)計(jì)如下（36人，有人使用了多種方法）：

方法 圖例 人次

方法1：利用材料，把兩個(gè)完全相同的三角形拼成平行四邊形 25人

方法2：將等腰三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形 9人

方法3：將直角三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形 2人

方法4：將一般三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形 2人

方法5：將一般三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形 2人

方法6：將一般三角形兩次轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形

1人

不會(huì)研究、研究錯(cuò)誤 2人

【教學(xué)片斷2：三角形面積的教學(xué)】

生1：我將三角形沿著高剪，能拼成平行四邊形形。

生2：這根本就不是平行四邊形，這組對(duì)邊不平行。

生3：上下一組對(duì)邊不相等，這不是平行四邊形。

生4：只有我這樣的等腰三角形，才能剪拼成長(zhǎng)方形。

生5：我也是將等腰三角形剪拼成長(zhǎng)方形的，但方法跟他不一樣。

生1圖： 生4圖：

生5圖：

師：還有同學(xué)是把直角三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的。

生6交流：

師：有了這么多的例子，我們是否可以得到結(jié)論——任意一個(gè)三角形都能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？

生7：不可以，因?yàn)閯倓偼瑢W(xué)們轉(zhuǎn)化的都是特殊的三角形，我們應(yīng)該研究一些普通的三角形。

師：是的，我們只是研究了一些特殊的例子，還不足以得出結(jié)論。小組交流，我們還可以用怎樣的方法來進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

（小組1交流：

小組2交流：）

重點(diǎn)組織小組3交流：

成員1：我們把全相同的銳角三角形、兩個(gè)完全相同的鈍角三角形拼成了平行四邊形。

成員2：我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成平行四邊形，也可以拼成長(zhǎng)方形

師：你們覺得這組的研究怎么樣？

生9：我覺得他們組把所有種類的三角形都研究了，研究得比較全面。

生10：我想對(duì)他們組發(fā)言做個(gè)補(bǔ)充，其實(shí)長(zhǎng)方形也是特殊的平行四邊形。

生11：他們也都是將未知圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形，平行四邊形的面積要除以2才是三角形的面積

師：我們將兩個(gè)完全相同的銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形都拼成了平行四邊形，由此推斷出任兩個(gè)完全相同的三角形可以拼成平行四邊形。你會(huì)選擇哪個(gè)小組的方法，推導(dǎo)出三角形的面積公式？

生12：我選擇第3小組的方法，這種方法更清楚地看出三角形的底是平行四邊形的底，三角形的高是平行四邊形的高。

生13：我也認(rèn)為第3小組的方法更好推導(dǎo)，不過要注意最后要把平行四邊形的面積除以2。

（學(xué)生嘗試推導(dǎo)三角形的面積公式，教師組織交流）

師：回憶我們推導(dǎo)平行四邊形面積公式的過程，與今天研究三角形面積公式的過程有什么相同之處？

生14：它們都是把我們沒有學(xué)過的圖形轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的圖形。

生15：轉(zhuǎn)化完了之后，我們都要分析轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形之間有什么聯(lián)系。

1.嘗試運(yùn)用，讓等積變形經(jīng)驗(yàn)更為豐滿

對(duì)于三角形面積公式的推導(dǎo)，有相當(dāng)一部分學(xué)生能運(yùn)用等積變形的經(jīng)驗(yàn)將三角形轉(zhuǎn)化為已知圖形，其中方法2與方法3是將特殊三角形轉(zhuǎn)化為已知圖形，方法4、方法5、方法6的方法是將一般三角形轉(zhuǎn)化為已知圖形。這些方法不僅詮釋了學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的創(chuàng)造性運(yùn)用，也使得學(xué)生對(duì)等積變形轉(zhuǎn)化的體驗(yàn)更為豐滿。

2.加倍轉(zhuǎn)化，擴(kuò)展豐盈轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)體系

大多數(shù)學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)嘗試等積變形失敗，原有經(jīng)驗(yàn)平衡被打破。學(xué)生選擇利用教師提供的材料進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將兩個(gè)完全相同的三角形拼成平行四邊形，在過程中體會(huì)到了加倍轉(zhuǎn)化的價(jià)值所在。從等積變形轉(zhuǎn)化到加倍轉(zhuǎn)化，學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的體悟逐步走向深厚。與此同時(shí)，原有的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)體系進(jìn)一步得到擴(kuò)展與豐盈。

3.由特殊到一般，讓歸納推理更為理性

基于先研后導(dǎo)的教學(xué)模式，淡化教師課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)痕跡，給學(xué)生充分的探究空間，學(xué)生先行研究出現(xiàn)了6種方法。其中有6人只進(jìn)行了等腰三角形到長(zhǎng)方形的轉(zhuǎn)化，可見部分孩子將某個(gè)特例的轉(zhuǎn)化推導(dǎo)歸結(jié)為一般情況?；诖?，教師組織學(xué)生交流方法時(shí)，注重對(duì)學(xué)生的作品進(jìn)行分層呈現(xiàn)，首先交流等腰三角形、直角三角形的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生體會(huì)到某個(gè)特例不能代表一般。接下來，小組進(jìn)行討論匯報(bào)，重點(diǎn)交流并評(píng)價(jià)加倍轉(zhuǎn)化方法，學(xué)生體會(huì)到考慮不同類型的三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得歸納推理更科學(xué)、更嚴(yán)謹(jǐn)。

4.加強(qiáng)理性經(jīng)驗(yàn)的類比，實(shí)現(xiàn)方法層面與思想層面提升性

歸納推理可以幫助學(xué)生培養(yǎng)預(yù)測(cè)結(jié)果和探究的能力，主要包括兩種方法，歸納法和類比法。在經(jīng)歷了三角形面積公式的推導(dǎo)之后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過與平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程進(jìn)行類比，分析其共性化的東西，實(shí)現(xiàn)了基本數(shù)學(xué)思想的提升——對(duì)轉(zhuǎn)化的深層體悟，也實(shí)現(xiàn)了探究方法的提升——先轉(zhuǎn)化，再抓住轉(zhuǎn)化前后圖形在底、高、面積上的聯(lián)系進(jìn)行推導(dǎo)。

三、靈活運(yùn)用思想，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

經(jīng)歷了平行四邊形、三角形的面積探究，學(xué)生已經(jīng)積累了豐厚的空間想象、轉(zhuǎn)化、推理的經(jīng)驗(yàn)。基于此，《梯形的面積》一課教學(xué)，教師完全放手，讓學(xué)生自主轉(zhuǎn)化，自主推理。學(xué)生的方法統(tǒng)計(jì)如下（36人，有人使用了多種方法）。

方法 圖例 人次

①用兩個(gè)完全相同的梯形拼成平行四邊形

30人

②將梯形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形

7人

③將梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形與一個(gè)平行四邊形

3人

④將梯形轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形

3人

⑤將梯形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形

2人

⑥將等腰梯形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形 1人

⑦不會(huì)研究 1人

【教學(xué)片斷3：梯形面積的教學(xué)簡(jiǎn)錄】

師：你是怎么推導(dǎo)出梯形的面積公式的？誰愿意跟大家分享你的研究過程？

生1：我將梯形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形，我們發(fā)現(xiàn)梯形的上底就是左邊三角形的底，梯形的高就是左邊三角形的高。梯形的下底就是右邊三角形的底，梯形的高就是右邊三角形的高。所以，梯形的面積=上底×高÷2+下底×高÷2

生2：用兩個(gè)完全相同的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形。分析推導(dǎo)出公式：梯形的面積=（上底+下底）×高÷2

生1方法 生2方法

生3方法

生3：我的方法更簡(jiǎn)單，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形。三角形的底就是梯形的上下底之和，三角形的高就是梯形的高。所以，梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

（全班響起掌聲）

生4：我將梯形直接轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，就是梯形的上下底之和除以2，長(zhǎng)方形的寬就是梯形的高。所以，梯形的面積=（上底+下底）÷2×高。

生4方法

生7方法

生5：我有個(gè)疑問，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為什么就是梯形的上下底之和除以2呢？

師：這是一個(gè)很好的問題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要保持理性精神多問為什么。

生4：我也說不清楚，感覺是。

生6：哦，我知道了。這有點(diǎn)像我們之前學(xué)習(xí)平均數(shù)時(shí)用的移多補(bǔ)少，把下底多的2部分移給上底，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是上下底的平均數(shù)。（全班響起掌聲）

生7：我將梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)平行四邊形與一個(gè)三角形。

分析推導(dǎo)出公式： 梯形的面積=上底×高+（下底-上底）×高÷2

生8：這樣轉(zhuǎn)化，推導(dǎo)的公式太復(fù)雜了。

師：同學(xué)們真了不起想出了這么多種方法，你最喜歡哪一種方法？

生9：我最喜歡第3種的方法，因?yàn)樗姆椒ê芮擅?，推?dǎo)過程很簡(jiǎn)單。

生10：我最喜歡第2種的方法，只要用兩個(gè)完全一樣的梯形就能拼出平行四邊形，這種方法很簡(jiǎn)單，而且很容易找到圖形之間的聯(lián)系。

1.原生探究，自主設(shè)計(jì)探究過程

本課教學(xué)中教師沒有提供研究單，“你們準(zhǔn)備怎么探索梯形的面積公式”，學(xué)生自主設(shè)計(jì)研究過程。絕大多數(shù)學(xué)生都能先將梯形轉(zhuǎn)化成已知圖形，再尋找轉(zhuǎn)化前后圖形之間的聯(lián)系，推導(dǎo)出公式。

2.基于建模，選擇適宜的轉(zhuǎn)化方法

梯形面積的推導(dǎo)，學(xué)生的轉(zhuǎn)化途徑是多樣的，可以將梯形分割轉(zhuǎn)化為已學(xué)圖形的組合（如方法2、方法3），可以將梯形利用等積變形轉(zhuǎn)化為已學(xué)圖形（如方法4、方法5、方法6），可以將梯形加倍轉(zhuǎn)化為已學(xué)圖形（如方法1）。經(jīng)歷公式自主推導(dǎo)的過程，通過方法對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化的落腳點(diǎn)在于建構(gòu)求圖形的面積一般模型（即公式）?；诠酵茖?dǎo)，應(yīng)選擇適宜的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

3.運(yùn)用交流，融合發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在原生探究空間中，學(xué)生生成了多種富有個(gè)性的轉(zhuǎn)化方法，發(fā)展了空間想象能力。這些個(gè)性化的轉(zhuǎn)化（如方法3、方法4、方法5）也使得轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系更為隱蔽，推動(dòng)著學(xué)生進(jìn)行更為復(fù)雜的邏輯推理。學(xué)生隨機(jī)自愿交流各種方法，教師并未進(jìn)行特定的預(yù)設(shè)。在自由安全的交流氛圍中，生生互動(dòng)補(bǔ)充、質(zhì)疑，思維不斷走向深刻，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了進(jìn)一步發(fā)展。

體悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想是《多邊形面積》單元教學(xué)的靈魂?；净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)為數(shù)學(xué)思想的落地生根提供了沃土，數(shù)學(xué)思想同時(shí)也豐盈著學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)體系。關(guān)注學(xué)生不同階段的經(jīng)驗(yàn)動(dòng)態(tài)積累，重新審視每個(gè)課時(shí)教學(xué)的核心價(jià)值，才能有效地設(shè)計(jì)相關(guān)教學(xué)活動(dòng)。從大問題引領(lǐng)的學(xué)生自主探究到無問題引領(lǐng)的學(xué)生原生探究，教師對(duì)每個(gè)課時(shí)教學(xué)的干預(yù)在逐步減弱，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)卻在不斷提升。

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