李文娟，牛瀟萌

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

近幾十年來,類洛倫茨系統(tǒng)的研究進(jìn)展迅速,大量的類洛倫茨模型被學(xué)者提出并研究.類洛倫茨系統(tǒng)的研究在許多方面取得了重要的成果[1-7].

1963年美國(guó)著名氣象學(xué)家洛倫茨在研究區(qū)域小氣候時(shí),提出了第一個(gè)經(jīng)典的洛倫茨系統(tǒng)

此系統(tǒng)在混沌學(xué)歷史上有著重要的地位.

2008年Mello等提出了一類洛倫茨系統(tǒng)

其中x,y,z狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù).該系統(tǒng)僅有兩個(gè)非齊次項(xiàng)，與其他系統(tǒng)相比，形式更加簡(jiǎn)潔所以電路便于實(shí)現(xiàn)，故其應(yīng)用價(jià)值較大.2015官國(guó)榮等提出了一類洛倫茨系統(tǒng)

其中x,y,z狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù).此系統(tǒng)是將Tee系統(tǒng)中第一項(xiàng)增加了一個(gè)控制參數(shù),第三個(gè)非線性方程中xy改為x2.因時(shí)滯現(xiàn)象在各系統(tǒng)中普遍存在,基于此,2017年李文娟等提出了帶時(shí)滯的類洛倫茨系統(tǒng)

其中 x,y,z狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù),τ＞0為系統(tǒng)時(shí)滯.

本文的主要結(jié)果是將文獻(xiàn)[2]的系統(tǒng)(1.1)中第一項(xiàng)增加了一個(gè)控制參數(shù),第三個(gè)非線性方程中的-cz改為-cz(t-τ)得到一類新的時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng).然后,通過對(duì)該系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)的線性化系統(tǒng)的擬特征方程的根的分析給出此系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題和發(fā)生Hopf分岔的條件.

2 主要結(jié)果

本文考慮時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)

其中x,y,z狀態(tài)變量,a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù),τ＞0為系統(tǒng)時(shí)滯. 設(shè)系統(tǒng)參數(shù) a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0. 系統(tǒng)(2.1)的平衡點(diǎn)滿足下式：

由(2.2)式知系統(tǒng)(2.1)的平衡點(diǎn)有三個(gè)，O(0,0,0)為其中一個(gè).

在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處易求得線性化系統(tǒng)

線性化系統(tǒng)（2.3）對(duì)應(yīng)的特征方程為

行列式(2.4)可化為

其中p1=a,p2=-abe,q1=c,q2=ac,q3=-abce.

引理1假設(shè)τ=0則系統(tǒng) (2.1)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處是漸近穩(wěn)定的.

證當(dāng) τ=0時(shí)，式(2.5)轉(zhuǎn)化為

因 為 系 統(tǒng) 參 數(shù) a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0, 所 以p1+q1=0,q3＞0 且有

根據(jù)羅斯—霍維茲(Routh-Hurwitz)判據(jù)可知,式(2.6)的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部.所以當(dāng)τ=0時(shí),系統(tǒng)(2.1)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng) τ＞0時(shí),設(shè) λ=iω（ω 是大于零的常數(shù)）是式(2.5)的一個(gè)純虛根,則虛部ω滿足

根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得

對(duì)(2.9)式有以下結(jié)論.

引理2式(2.9)至少有一個(gè)正實(shí)根.

證令u=ω2,則式(2.9)可化為

函數(shù)（2.11）可化為

由（2.11）和（2.12）式得

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理,至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)u0∈(0,+∞),使得 f(u0)=0.所以式(2.10)至少有一個(gè)正實(shí)根.因?yàn)閡=ω2，從而式（2.9）至少有一個(gè)正實(shí)根.

設(shè) ω0為式（2.9）的正實(shí)根，則式(2.5)有一純虛根 iω0.又由式（2.8）得

將ω=ω0代入方程(2.13),則時(shí)滯τ的值為

第三，可以考慮在中學(xué)和初級(jí)學(xué)院的華文文學(xué)課程中融入比較文學(xué)的理論和方法，指導(dǎo)學(xué)生在比較文學(xué)的視域中，了解本地文學(xué)、中國(guó)文學(xué)和世界文學(xué)。

因此(ω0,τk)是式(2.5)的解,即當(dāng)時(shí)滯 τ=τk時(shí),λ=±iω0是式(2.5)的一對(duì)共軛的純虛根.

設(shè) τ0=min{τk},則時(shí)滯 τ=τ0是式(2.5)出現(xiàn)純虛根λ=±iω0時(shí) τ的最小值.

引理 3如果 a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0,τ=τ0, 那么式(2.5)有一對(duì)純虛根 λ=±iω0.

設(shè)式(2.5)的特征根 λ(τ)=iω(τ),滿足 ω(τk)=ω0.

引理 4如果 f'(ω02)＞0 則

證對(duì)式(2.5)的兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)可得

由式(2.5)可得

將式（2.16）代入式(2.15)可得

由(2.17)式和 λ(τk)=iω0,可得

將 λ(τk)=iω0代入式(2.5)可得

由(2.19)式可得

由(2.19)式和(2.20)式可得

根據(jù)引理4和Hopf分岔理論可得下面結(jié)論．

定理如果 a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0 且 f'(ω02)＞0，那么

（1）當(dāng) τ∈[0,τ0]時(shí)，系統(tǒng)(2.1)在平衡點(diǎn) O(0,0,0)是漸近穩(wěn)定的；

（2）當(dāng) τ＞τ0時(shí)，系統(tǒng)(2.1)在平衡點(diǎn) O(0,0,0)是不穩(wěn)定的；

（3）當(dāng) τ=τk(k=0,1,2,…)時(shí)，系統(tǒng)(2.1)在平衡點(diǎn) O(0,0,0)處發(fā)生Hopf分支，產(chǎn)生極限環(huán).

3 數(shù)值仿真

時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng) (2.1)的參數(shù)a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0，令 a=10,b=-8,c=2.5,d=4,e=1，這時(shí)系統(tǒng)(2.1)可化為

利用Matlab軟件計(jì)算得式（2.9）的正實(shí)根ω0=6.6588，f'(ω02)＜0，式（2.13）中 τ0=0.0738.

推論若a=10,b=-8,c=2.5,d=4,e=1，則

（1）當(dāng) τ∈[0,0.0738]時(shí)，系統(tǒng)(3.1)在平衡點(diǎn) O(0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的；

（2）當(dāng) τ＞0,0738 時(shí)，系統(tǒng)(3.1)在平衡點(diǎn) O(0,0,0)是不穩(wěn)定的；

（3）當(dāng) τ=0.0738+0.1502kπ(k=0,1,2,…)時(shí)，系統(tǒng)(3.1)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生極限環(huán).