盧洪瑞,鄭 威,許勁峰

(江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院,鎮(zhèn)江 212003)

近些年廣泛使用的電力電子設(shè)備導(dǎo)致電網(wǎng)中出現(xiàn)大量整數(shù)倍基波頻率的諧波和非整數(shù)倍基波頻率的間諧波[1]．諧波[2]、間諧波的存在容易引發(fā)火災(zāi),降低配電系統(tǒng)的安全等級(jí),變壓器正常工作受?chē)?yán)重影響等一系列危害[3],準(zhǔn)確檢測(cè)諧波/間諧波是保護(hù)用電系統(tǒng)的關(guān)鍵．

目前檢測(cè)諧波的方法主要有傅里葉變換、加窗插值快速傅立葉變換(fast Fourier transformation，F(xiàn)FT)[4-6]等一些非參數(shù)化方法,這類方法計(jì)算簡(jiǎn)單,實(shí)時(shí)性好,但易受頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)影響,分析結(jié)果誤差較大．雖然采用加窗插值可以減小誤差,但是不能擺脫泄漏和柵欄效應(yīng)影響．多信號(hào)分類法(multiple signal dassification,MUSIC)[7-8]、普羅尼(Prony)[9-10]算法、Burg譜估計(jì)[11]和旋轉(zhuǎn)不變子空間法(estimationg signal parameters viarotational invariance techniqwes,ESPRIT)[12-13]等現(xiàn)代信號(hào)處理的典型方法也被應(yīng)用到其中,但各有優(yōu)缺點(diǎn)．以自回歸(auto regressive，AR)模型為基礎(chǔ)的Burg譜估計(jì)法對(duì)數(shù)據(jù)窗外的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性預(yù)測(cè),可以提高頻率分辨率,但分析誤差受噪聲和AR[14]模型階數(shù)影響．MUSIC 和ESPRIT法是基于協(xié)方差矩陣的子空間類算法,對(duì)信號(hào)的頻率分辨率較高．

針對(duì)諧波檢測(cè)時(shí)傳統(tǒng)的傅里葉變換分析精度不高和經(jīng)典MUSIC算法易受噪聲影響等問(wèn)題,采用最小模(miuimum modulus,MNM)-MUSIC算法進(jìn)行諧波/間諧波估計(jì)．首先用最小描述長(zhǎng)度(minimum description length,MDL)準(zhǔn)則根據(jù)特征值對(duì)信號(hào)源數(shù)目進(jìn)行估計(jì),然后用加權(quán)矩陣對(duì)MUSIC算法做出修正,即最小模算法在小特征值對(duì)應(yīng)的噪聲子空間的線性組合后與導(dǎo)向矢量的關(guān)系估計(jì)出各信號(hào)的頻率,最后用擴(kuò)展Prony方法得到各信號(hào)幅值和相位信息,并通過(guò)仿真驗(yàn)證了該方法的精確性．

1 諧波檢測(cè)原理

1.1 算法流程圖

基于MNM-MUSIC算法的諧波/間諧波檢測(cè)主要流程如圖1．

圖1 算法流程Fig.1 Algorithm flow

1.2 自相關(guān)函數(shù)及自相關(guān)矩陣的構(gòu)建

利用MNM-MUSIC方法對(duì)信號(hào)頻率和擴(kuò)展Prony方法對(duì)信號(hào)幅值和相位分析時(shí)關(guān)鍵問(wèn)題是準(zhǔn)確檢測(cè)信號(hào)源個(gè)數(shù),信號(hào)源數(shù)目的不準(zhǔn)確易造成信號(hào)子空間和噪聲子空間[15-16]不完全正交,曲線中的空間譜峰個(gè)數(shù)將和真實(shí)源數(shù)不相同,導(dǎo)致嚴(yán)重誤差,此現(xiàn)象為估計(jì)信號(hào)時(shí)的虛警或漏警．

設(shè)采樣電壓(電流)信號(hào)的離散時(shí)間函數(shù)：

(1)

式中：x(n)為采樣信號(hào)；bi為第i次諧波的幅值；zi=exp(j2πfiΔt),fi為第i次諧波頻率,Δt為采樣時(shí)間間隔；v(n)為白噪聲；M為諧波次數(shù)；N為采樣點(diǎn)數(shù)．

將得到的采樣序列生成自相關(guān)數(shù)據(jù)rx(m),即自相關(guān)函數(shù)表示為：

(2)

由(p+1)個(gè)rx(m)組成的自相關(guān)矩陣R及信號(hào)向量分別為：

(3)

(4)

其中ωi=2πfi,對(duì)式(3)進(jìn)行特征分解,求得相關(guān)矩陣R的特征值．

1.3 信號(hào)源數(shù)估計(jì)

基于信息論方法的一般形式為J(k)=L(k)+p(k),對(duì)數(shù)似然函數(shù)L(k)和罰函數(shù)p(k)不同選擇對(duì)應(yīng)不同的準(zhǔn)則,相應(yīng)地MDL準(zhǔn)則為:

(5)

式中：C為信號(hào)特征值的個(gè)數(shù),M為待估計(jì)的信號(hào)源數(shù),H(M)為似然函數(shù),其分母、分子分別為:

(6)

(7)

似然函數(shù)H(M)可表示為:

(8)

式中：λi為第i個(gè)特征值,將式(8)代入式(5)即得估計(jì)信號(hào)源數(shù)M．

MUSIC算法的應(yīng)用首先要確定信號(hào)子空間的維數(shù),維數(shù)過(guò)大會(huì)產(chǎn)生虛假譜峰,維數(shù)過(guò)小則會(huì)漏掉信號(hào)分量．理論上可以通過(guò)重復(fù)最小特征值的個(gè)數(shù)來(lái)確定噪聲子空間的維數(shù),但實(shí)際中的最小特征值是有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)通過(guò)自相關(guān)矩陣估計(jì)出的,其不可能完全相等．信息論的MDL準(zhǔn)則可以在白噪聲背景下估計(jì)信號(hào)維數(shù),其利用最小的MDL(M)所對(duì)應(yīng)的M作為信號(hào)子空間維數(shù)的估計(jì),蓋氏圓盤(pán)原理在有色噪聲背景下更為適用．

1.4 MNM-MUSIC估計(jì)信號(hào)頻率

1.4.1 經(jīng)典MUSIC算法基本原理

文中采用均值為零、方差為ρw且相互獨(dú)立的白噪聲．據(jù)式(3、4),由自相關(guān)矩陣定義知:

(9)

式中：I為(p+1)×(p+1)單位陣,Ai為第i個(gè)信號(hào)的功率；信號(hào)陣Sp的秩最大為M,當(dāng)p>M時(shí),Sp是奇異陣,但是由于噪聲的存在，R的秩仍為(p+1)．將信號(hào)陣Sp特征分解,即

(10)

式中：Vi為對(duì)應(yīng)于特征值λi的特征向量,且特征向量相互正交．當(dāng)rankSp=M

(11)

于是,相關(guān)陣R的特征分解可表示為

(12)

由此可見(jiàn),相關(guān)陣R和信號(hào)陣Sp都有相同的特征向量V1,…,Vp+1,由它們構(gòu)成一個(gè)p+1維的向量空間,且V1,…,Vp+1間彼此相互正交．進(jìn)一步,將該向量空間分為兩個(gè)子空間,一個(gè)是小特征值都是ρw對(duì)應(yīng)的特征向量VM+1,…,Vp+1構(gòu)成的噪聲子空間;另一個(gè)是大特征值(ρw+λ1),(ρw+λ2),…,(ρw+λM)對(duì)應(yīng)的主特征向量V1,…,VM構(gòu)成的信號(hào)子空間．顯然,噪聲子空間的向量VM+1,…,Vp+1與信號(hào)向量ei也是正交的,即VM+1,…,Vp+1的線性組合與信號(hào)向量ei正交,得

(13)

令e(ω)=[1,exp(jωi),…,exp(jωip)]Τ,則e(ωi)=ei,由式(13)有

(14)

式(14)中令αk=1,當(dāng)ω=ωi處為零,基于此,MUSIC算法正是以最小優(yōu)化搜索實(shí)現(xiàn)功率譜分析,即經(jīng)典MUSIC算法的譜估計(jì)可表示為：

在這種供電方式下，信號(hào)源支持交流輸入，通過(guò)小容量UPS為信號(hào)源供電。 在市電停電情況下，UPS所帶蓄電池為信號(hào)源供電。如圖2所示。

(15)

1.4.2MNM-MUSIC算法基本原理

由采樣序列通過(guò)式(2)得到的自相關(guān)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)p+1,p通常越大檢測(cè)結(jié)果越精確,但p的增大會(huì)使計(jì)算量大大增加,復(fù)雜度的大幅提高不利于硬件實(shí)現(xiàn),給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)困難,減小p能降低復(fù)雜度,但又使估計(jì)誤差增加,不利于正確分析電力系統(tǒng)諧波/間諧波信號(hào)參數(shù),故直接應(yīng)用經(jīng)典MUSIC算法檢測(cè)信號(hào)分量帶有一定局限性．

經(jīng)典MUSIC算法中頻率的搜索可據(jù)式(16)實(shí)現(xiàn),即信號(hào)子空間的信號(hào)矢量ei與噪聲子空間的特征向量VM+1,…,Vp+1并不完全正交,其乘積是一個(gè)較小的數(shù),表現(xiàn)為:

(16)

但經(jīng)過(guò)式(16)變換方法檢測(cè)到的高頻信號(hào)分量處容易產(chǎn)生譜峰分裂和譜峰偏移現(xiàn)象,造成估計(jì)誤差較大,為了有效避免這種現(xiàn)象,故對(duì)式(16)做如下修正:

(17)

min[eΗ(ω)h′h′Ηe(ω)]

(18)

式中：m為噪聲子空間的第一行,EN是指噪聲子空間除m行外的其余p行．

(19)

將h替換式(18)的h′就是所要求的最小模估計(jì)值,得到MNM-MUSIC方法檢測(cè)信號(hào)的功率譜分析曲線．

(20)

式(20)中在ω=ωi處PMNM(ω)理論值應(yīng)是無(wú)窮大,但由于實(shí)際采樣數(shù)據(jù)為有限長(zhǎng)和噪聲影響使得估計(jì)的相關(guān)陣和特征值都有誤差,即信號(hào)子空間的信號(hào)矢量ei與特征向量VM+1,…,Vp+1并不完全正交,故在ω=ωi處PMNM(ω)為有限值,但在此處呈現(xiàn)尖峰,在其它點(diǎn)處表現(xiàn)為平緩形態(tài),該峰值對(duì)應(yīng)的頻率即是正弦信號(hào)的頻率．

經(jīng)修正的MNM-MUSIC方法在低信噪比時(shí)的估計(jì)偏差小于經(jīng)典MUSIC方法,當(dāng)自相關(guān)矩陣維數(shù)相同時(shí),對(duì)諧波檢測(cè)信號(hào)具有更強(qiáng)的適應(yīng)性,其頻譜分析效果優(yōu)于經(jīng)典MUSIC方法．

1.5 擴(kuò)展Prony方法檢測(cè)信號(hào)幅值和相位

式(1)的矩陣形式表示如下：

Zb=x

(21)

式中：

(22)

范德蒙矩陣Z各列兩兩相互獨(dú)立,即為滿列秩矩陣,其中zi(i=1,…,p)為利用最小二乘法構(gòu)造的特征多項(xiàng)式1+a1z-1+…apz-p=0的根,系數(shù)a0=0,a1,a2,…,ap由x(n)構(gòu)造的矩陣X確定．

(23)

b=(ZHZ)-1ZHx

(24)

2 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

文中仿真實(shí)驗(yàn)所用諧波、間諧波信號(hào)為:

s(t)=100sin(2π×50t)+40sin(2π×110t+π/9)+20sin(2π×150t+π/7)+16sin(2π×200t+π/6)+13sin(2π×250t+π/5)+10sin(2π×280t+π/3)+v(t)

仿真信號(hào)由基波,3、4、5次諧波和間諧波組成,其中間諧波頻率幅值分別為110 Hz、40 V,280 Hz、10 V．實(shí)際電力系統(tǒng)中存在多種噪聲,其中最典型的為高斯白噪聲,為模擬實(shí)際和驗(yàn)證該方法的抗噪性,故在仿真信號(hào)中加入白噪聲v(t)．實(shí)驗(yàn)中,采樣頻率1 600 Hz,采樣點(diǎn)數(shù)1 600,仿真信號(hào)0～0.2 s的波形如圖2．

圖2 仿真信號(hào)波形Fig.2 Waveform of the simulation signal

信號(hào)源數(shù)由信息論MDL準(zhǔn)則得出,針對(duì)同一仿真信號(hào),當(dāng)自相關(guān)矩陣的維數(shù)相同(p=40),信噪比不同時(shí),經(jīng)典MUSIC算法和MNM-MUSIC算法對(duì)信號(hào)的估計(jì)頻譜可見(jiàn)圖3、4．

圖3 SNR=-20 dB時(shí)頻率檢測(cè)比較Fig.3 SNR=-20 dB frequencies estimated compared

由圖可見(jiàn),經(jīng)典MUSIC算法和MNM-MUSIC算法在信噪比SNR=-20 dB時(shí)各信號(hào)分量頻率都能檢測(cè)，且估計(jì)精度較高．如果進(jìn)一步增大噪聲會(huì)對(duì)經(jīng)典MUSIC算法造成較大影響,當(dāng)SNR=-33 dB時(shí)，由其

圖4 SNR=-33 dB時(shí)頻率檢測(cè)比較Fig.4 SNR=-33 dB frequencies estimated compared

估計(jì)的結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重誤差,導(dǎo)致高頻信號(hào)分量未能檢測(cè)；而MNM-MUSIC算法受噪聲影響較小,此時(shí)各信號(hào)分量頻率都能準(zhǔn)確檢測(cè)得到．因此，當(dāng)信噪比更小時(shí)MNM-MUSIC算法對(duì)信號(hào)仍具有較高的頻率分辨力,說(shuō)明文中所提算法具有更好的抗噪性能．信號(hào)源數(shù)和各信號(hào)頻率信息都確定后再由擴(kuò)展Prony方法對(duì)信號(hào)幅值和相位進(jìn)行檢測(cè)．

為了更清晰體現(xiàn)文中方法檢測(cè)諧波的整體效果,檢測(cè)效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)可采用總體相對(duì)有效度來(lái)描述,其定義形式如下:

(25)

式中：m為諧波個(gè)數(shù),H(i)為仿真信號(hào)頻率或幅值的理論值,H′(i)是對(duì)估計(jì)到的信號(hào)頻率或者幅度再取平均值．

加窗FFT是離散傅里葉變換的改進(jìn)算法,理論上對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列的頻率變換可實(shí)現(xiàn)高頻率分辨力,計(jì)算簡(jiǎn)單,實(shí)時(shí)性好．經(jīng)典MUSIC直接利用信號(hào)子空間的信號(hào)矢量和噪聲子空間特征向量的正交性構(gòu)造最小搜索頻率范圍,優(yōu)點(diǎn)是不受泄漏和柵欄效應(yīng)影響,分辨能力強(qiáng)．文中對(duì)圖2仿真信號(hào)分別用3種方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析,在信噪比SNR=10 dB、相關(guān)陣維數(shù)p=40時(shí)得出數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)值及其總體相對(duì)有效度對(duì)比表,如表1．

表1 加窗FFT算法和經(jīng)典MUSIC算法及文中算法參數(shù)估計(jì)對(duì)比表Table 1 Comparison between the algorithm both window FFT algorithm and MUSIC algorithm

由表1得出,直接用經(jīng)典MUSIC方法檢測(cè)信號(hào)頻率總體相對(duì)有效度和加窗FFT方法相差不大,3種方法總體有效度值都接近70,與理論值相比MNM-MUSIC算法估計(jì)到的各信號(hào)頻率更加精確,當(dāng)信噪比較低時(shí)經(jīng)典MUSIC方法在高頻處易產(chǎn)生較大偏差．加窗FFT由于受頻譜泄漏影響導(dǎo)致信號(hào)能量向附近擴(kuò)散,表現(xiàn)為檢測(cè)幅值小于理論值,造成幅值誤差偏大；在頻率估計(jì)方面,由于泄漏的頻譜有可能淹沒(méi)旁邊幅度較小的待檢信號(hào),導(dǎo)致不能有效估計(jì)真實(shí)信號(hào)源．由表1可看出,基于MNM-MUSIC算法的諧波檢測(cè)在頻率方面的估計(jì)效果比以上兩種方法更準(zhǔn)確,Prony方法的加入使文中算法在幅值和相位估計(jì)方面具有更明顯優(yōu)勢(shì),其幅值和相位的總體相對(duì)有效值分別為24.69、23.72．當(dāng)相關(guān)陣階數(shù)不變而降低信噪比時(shí),仍具有較高的精確度,該方法具有較強(qiáng)的抗噪性．通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法可以作為電力系統(tǒng)諧波/間諧波分析檢測(cè)的依據(jù)．

3 實(shí)際數(shù)據(jù)檢測(cè)與結(jié)果分析

從南瑞電氣有限公司獲得電網(wǎng)中實(shí)際的電壓數(shù)據(jù),利用文中MNM-MUSIC算法對(duì)實(shí)際采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行頻率分析．圖5為實(shí)時(shí)信號(hào)波形圖,采樣頻率為1 600 Hz,圖6為利用該方法分析得到的實(shí)時(shí)信號(hào)頻率特性圖,由圖可見(jiàn),該電壓信號(hào)含有大量諧波和間諧波．

利用文中MNM-MUSIC算法可以將電壓中含有的基波和各次諧波/間諧波信號(hào)提取出來(lái)．由圖6可見(jiàn),電力系統(tǒng)中的3、5、7次諧波成分較明顯,其危害較大．

圖5 實(shí)時(shí)信號(hào)波形圖Fig.5 Waveform of real-time signal

圖6 頻率檢測(cè)結(jié)果Fig.6 Frequencies estimated results

檢測(cè)到的諧波和間諧波頻率分別為50.5,152.8,249.6,350.9 Hz;20.3,78.1,139.3,192.6,320.7 Hz．通過(guò)實(shí)際的檢測(cè)結(jié)果與分析表明該方法可以應(yīng)用在實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理分析中,并具有較高的準(zhǔn)確性．

4 結(jié)論

文中算法采用信息論準(zhǔn)則中的MDL準(zhǔn)則,在典型白噪聲背景下利用自相關(guān)矩陣R的特征值信息估計(jì)信源數(shù)．由此可確定較小的k=M+1,…,p+1個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的噪聲子空間VM+1,…,Vp+1,分別對(duì)噪聲空間取第1行和第2到p+1行并做加權(quán)歸一化處理得到最小模估計(jì)器h,即得到MNM-MUSIC方法估計(jì)到的各信號(hào)分量頻率信息．基波、諧波和間諧波的頻率確定后,再應(yīng)用擴(kuò)展Prony方法估計(jì)其幅值和相位，從而精確地檢測(cè)到電力信號(hào)分量的各項(xiàng)參數(shù)．

仿真實(shí)驗(yàn)證明該算法比其它兩種方法的頻率、幅值和相位估計(jì)精度都高,總體相對(duì)有效度描述了3種方法在準(zhǔn)確性方面的數(shù)據(jù)對(duì)比變化情況．與經(jīng)典MUSIC算法相比,文中算法抗噪性強(qiáng),在相關(guān)陣階數(shù)相同時(shí)更加精確地估計(jì)各信號(hào)分量參數(shù)信息,使分析評(píng)判參數(shù)更有價(jià)值,有利于實(shí)際應(yīng)用．