蘇 波,張序彥,于國(guó)軍

(江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院, 鎮(zhèn)江 212013)

2005年,美國(guó)密歇根大學(xué)的Bernitsas教授提出了潮流能發(fā)電系統(tǒng)VIVACE(vortex induced vibration aquatic clean energy)[1-3],并在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行模型試驗(yàn)(圖1)．這是一種新型的潮流能發(fā)電系統(tǒng),其基本原理是將圓柱體由水流渦激振動(dòng)產(chǎn)生的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，與傳統(tǒng)水輪發(fā)電機(jī)相比，它能夠有效避免發(fā)電裝置對(duì)于魚類的傷害,降低對(duì)海洋生態(tài)的破壞．隨后,Bernitsas教授團(tuán)隊(duì)分別在圣克萊爾河的休倫港、荷蘭的于爾夫特、新澤西的里昂納多等地做了一系列的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)[4-5]．

該裝置設(shè)計(jì)為安裝在河流或海洋底部,由于支架高度的限制,圓柱不可避免受流動(dòng)速度變化梯度的影響．為更有效地捕捉穩(wěn)定洋流,同時(shí)適用遠(yuǎn)海、深海等復(fù)雜海洋環(huán)境,改進(jìn)為懸浮式潮流能發(fā)電系統(tǒng)F-VIVACE(floating vortex induced vibration aquatic clean energy),如圖2．該系統(tǒng)主要由錨碇、錨索(選用鋼纜錨索)、平臺(tái)發(fā)電裝置組成,中空平臺(tái)提供浮力使發(fā)電裝置懸浮在合適流速的水域,平臺(tái)則由錨索錨固于海底．

圖1 VIVACE潮流能發(fā)電系統(tǒng)Fig.1 VIVACE tidal current energy conversion system

圖2 懸浮式VIVACE潮流能發(fā)電系統(tǒng)Fig.2 Floating VIVACE tidal current energy conversion system

F-VIVACE系統(tǒng)類似于錨泊系統(tǒng),錨索為該結(jié)構(gòu)的主要受力部件,其柔度大,質(zhì)量小,極易發(fā)生復(fù)雜的動(dòng)力響應(yīng)[6]．其中,當(dāng)該系統(tǒng)在上部結(jié)構(gòu)工作時(shí),由于發(fā)電裝置的渦激振動(dòng)以及洋流的作用下平臺(tái)會(huì)發(fā)生豎向振動(dòng),進(jìn)而導(dǎo)致錨索發(fā)生類似于斜拉橋和懸浮隧道拉索的參數(shù)振動(dòng)[7-8]．即使極小的擾動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致錨索的大幅振動(dòng)[9]．因此有必要對(duì)該現(xiàn)象進(jìn)行分析研究,避免錨索發(fā)生大幅非線性振動(dòng)以保證結(jié)構(gòu)的安全性,適用性．對(duì)于錨索參數(shù)振動(dòng)的研究,主要集中于斜拉橋的拉索和懸浮隧道的錨索．主要?jiǎng)恿W(xué)模型有兩類:一類是理想激勵(lì)源模型,另一類是非理想激勵(lì)源模型[10]．理性激勵(lì)源是指忽略錨索對(duì)結(jié)構(gòu)作用,只考慮結(jié)構(gòu)對(duì)錨索的作用,將錨索端部的激勵(lì)視為理想的正弦或余弦函數(shù)建立振動(dòng)方程[11-13];非理想激勵(lì)源則認(rèn)為錨索對(duì)結(jié)構(gòu)的作用不可忽略,將錨索和結(jié)構(gòu)視為一個(gè)系統(tǒng)建立耦合振動(dòng)方程組[14-17]．文中將錨索激勵(lì)視為非理想激勵(lì),考慮錨索對(duì)平臺(tái)的拉力建立錨索—平臺(tái)耦合振動(dòng)模型．

第1部分根據(jù)F-VIVACE系統(tǒng)的振動(dòng)特點(diǎn),建立考慮錨索浮力,垂度及水體影響的耦合振動(dòng)方程組；第2部分將采用MATLAB,對(duì)所建立的耦合振動(dòng)方程進(jìn)行程序編制,通過(guò)數(shù)值計(jì)算,分析水體對(duì)錨索的作用力、錨索和平臺(tái)初始擾動(dòng)的大小、錨索初始張力、錨索和平臺(tái)阻尼對(duì)錨索振動(dòng)的影響；第3部分將調(diào)頻質(zhì)塊阻尼器[18](TMD)應(yīng)用于該系統(tǒng),并驗(yàn)證其減振效果．

1 錨索—結(jié)構(gòu)耦合參數(shù)振動(dòng)模型

選取一段發(fā)電平臺(tái)作為典型計(jì)算單元,并根據(jù)結(jié)構(gòu)對(duì)稱性可將之簡(jiǎn)化為如圖3(a)所示結(jié)構(gòu),用集中質(zhì)量塊M模擬發(fā)電平臺(tái),用彈簧K模擬結(jié)構(gòu)剛度,用阻尼器C模擬結(jié)構(gòu)阻尼,建立錨索—平臺(tái)耦合振動(dòng)模型．

F-VIVACE系統(tǒng)的主要振動(dòng)方向?yàn)樨Q直方向,如圖3(a)．將其分解為垂直于錨索方向和沿錨索方向,如圖3(b)、(c)．其中,如圖3(b)所示的振動(dòng)為強(qiáng)迫振動(dòng),如圖3(c)所示的振動(dòng)為參數(shù)振動(dòng)[15-16]．由于參數(shù)振動(dòng)中極小的激勵(lì)也會(huì)引起錨索的大幅振動(dòng)[8],因此,選取如圖3(c)所示參數(shù)振動(dòng)耦合振動(dòng)模型作為研究對(duì)象．

為方便問(wèn)題的研究,對(duì)該模型作基本假定:

(1) 忽略錨索的抗彎剛度、抗剪剛度、抗扭剛度[14];

(2) 考慮錨索的垂度,其初始構(gòu)型為二次拋物線[16];

(3) 不考慮錨索的材料非線性,張力、材料性質(zhì)不沿長(zhǎng)度方向改變且符合胡克定律;

(4) 引用Morison公式[19-20],以考慮水體對(duì)錨索的影響．

取長(zhǎng)度為ds的一段錨索作為研究對(duì)象,其動(dòng)平衡狀態(tài)時(shí)受力,如圖4．

圖4 錨索單元體動(dòng)力平衡時(shí)受力Fig.4 Dynamic force diagram of cable element

由牛頓定律可建立錨索的振動(dòng)微分方程[21]:

(1)

式中:z為錨索自重作用下靜態(tài)曲線；w為錨索的動(dòng)位移；T為錨索的切向拉力；m為單位長(zhǎng)度錨索質(zhì)量；c為錨索的阻尼系數(shù)；s為錨索弧長(zhǎng)；FD為錨索振動(dòng)引起水體對(duì)其單位長(zhǎng)度的作用力；Fw為單位長(zhǎng)度錨索所受的重力及浮力．

T由初始張力與動(dòng)應(yīng)力組成:

T=T0+EAε

(2)

式中:T0為錨索的初始拉力；EA為錨索的抗拉剛度；ε為錨索的動(dòng)應(yīng)變．

FD為振動(dòng)時(shí)水體對(duì)錨索的作用力,由于錨索可近似為細(xì)長(zhǎng)柱體,故其可由Morison公式給出[20],可表示為水阻尼力與附連水慣性力之和:

(3)

式中:ρw為水的密度;d為錨索的直徑;CD為拖拽力系數(shù),取0.7;Cm為附加質(zhì)量系數(shù),取1[17]．

Fw由阿基米德原理可表示為:

Fw=-(m-ρwA)gcosθ

式中:A為錨索橫截面積;g為重力加速度;θ為錨索微段與水平方向傾角．

(4)

由基本假定2,錨索初始線型采用二次拋物線[16]:

z=4(h/L)(x-x2/L)

(5)

式中:h為錨索考慮浮力時(shí)的跨中垂度,h=(m-ρA)gcosθL2/8H;H為錨索初始平衡時(shí)軸向拉力．

H與T0的關(guān)系:

則

(6)

錨索的動(dòng)應(yīng)變可表示為[15]:

(7)

式中:X為錨索端部位移；εX為錨索端部位移引起的應(yīng)變；εl為錨索變形引起的應(yīng)變．

由錨索的初始線型式(5),可得:

zx=4(h/L)(1-2x/L)=4hf/L

zxx=4(h/L)(-2/L)=-8h/L2

(8)

(9)

將式(5～9)代入式(4)可得:

(10)

將式(10)進(jìn)一步寫為:

(1-8h2f2/L2)Hwxx+EA[(16f2h2/L2+X/L-

16Xf2h2/L3)wxx+(32Xh2f/L4-64fh2/L3)wx]+

(11)

由于錨索的垂跨比較小,可取標(biāo)準(zhǔn)弦模態(tài)作為錨索的振動(dòng)模態(tài)[22],即:

(12)

由于在錨索的振動(dòng)中第一階振型占主導(dǎo)地位[23],因此可以應(yīng)用伽遼金法,取第一階振動(dòng)模態(tài)對(duì)式(11)進(jìn)行整理得[17]:

(13)

式中:

(14)

式(13)可進(jìn)一步寫為:

(15)

式中:

(16)

對(duì)于平臺(tái)的運(yùn)動(dòng),根據(jù)牛頓定律:

(17)

式(17)可進(jìn)一步寫為:

(18)

式(15-18)即為錨索—平臺(tái)耦合振動(dòng)方程組:

(19)

式(19)可進(jìn)一步寫為:

(20)

式中:

(21)

式中：ω1為錨索自振頻率；ω2為平臺(tái)的自振頻率；ξ1為錨索的阻尼比；ξ2為平臺(tái)的阻尼比．

2 數(shù)值算例及結(jié)果分析

結(jié)合文獻(xiàn)[9,15,24]中懸浮隧道的錨索參數(shù)，選取錨索—平臺(tái)基本參數(shù)(表1)．采用MATLAB編制程序?qū)υ撓到y(tǒng)進(jìn)行數(shù)值分析,采用四階-五階Runge-Kutta算法對(duì)該方程組進(jìn)行數(shù)值分析,得到不同工況下的錨索—結(jié)構(gòu)振動(dòng)的位移時(shí)程曲線．分析中假定平臺(tái)的質(zhì)量不變,通過(guò)調(diào)節(jié)剛度改變其固有頻率使其滿足ω1≈0.5ω2．錨索初始擾動(dòng)Δ1=0.001m,平臺(tái)初始擾動(dòng)Δ2=0.1m,初始張力T0=4.9×106N．

表1 系統(tǒng)基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of the system

對(duì)于錨索—平臺(tái)耦合參數(shù)振動(dòng)的分析下文將選取具有代表意義的幾個(gè)工況進(jìn)行分析,具體工況見(jiàn)表2．

表2 工況列表Table 2 List of working conditions

表中：Δ1為錨索初始擾動(dòng)；Δ2為平臺(tái)初始擾動(dòng)；ξ1為錨索阻尼比；ξ2為平臺(tái)阻尼比；fD為水阻尼力；fI為附連水慣性力；T0為初始張力．

錨索的自振頻率與錨索的長(zhǎng)度、單位長(zhǎng)度質(zhì)量及錨索的初始張力有關(guān),由式(16)可得錨索的固有頻率ω1為:

代入錨索參數(shù)可得ω1為6.46 Hz．

平臺(tái)的自振頻率與平臺(tái)的質(zhì)量、剛度有關(guān)．由式(21)可得平臺(tái)的自振頻率ω2為:

代入平臺(tái)參數(shù)可得ω2為12.86 Hz．ω1≈0.5ω2,此時(shí)將會(huì)發(fā)生參數(shù)振動(dòng)現(xiàn)象,下文將以此頻率關(guān)系進(jìn)行錨索—平臺(tái)的耦合參數(shù)振動(dòng)研究．

2.1 無(wú)水體及阻尼影響時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

圖5為工況1下錨索和平臺(tái)的位移時(shí)程曲線;在工況1下,由于不考慮水體影響及系統(tǒng)阻尼,此時(shí)式(1)中的c、FD和Fw變?yōu)?,式(20)中的第1式與斜拉橋索—橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)中拉索的振動(dòng)方程[15]類似,變?yōu)?

(22)

平臺(tái)振動(dòng)方程式(20)中的第2式變?yōu)?

(23)

將式(22)與式(23)組成方程組,通過(guò)數(shù)值分析計(jì)算得錨索、平臺(tái)的位移D時(shí)程曲線如下圖:

圖5 工況1下錨索與平臺(tái)位移時(shí)程曲線Fig.5 Displacement history of cable and platform in working condition 1

從圖5(a)中可以看到錨索發(fā)生參數(shù)共振,其振幅由初始的0.001 m迅速增大到接近1.2 m．同時(shí),錨索和平臺(tái)的振動(dòng)呈現(xiàn)出周期性的特點(diǎn),即“拍”的特征;錨索和平臺(tái)的振動(dòng)發(fā)生強(qiáng)烈的耦合,錨索的最大振幅處對(duì)應(yīng)著平臺(tái)的最小振幅,平臺(tái)的最大振幅對(duì)應(yīng)于錨索的最小振幅,這表明能量在錨索和平臺(tái)之間相互傳遞．

2.2 考慮附連水慣性力時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(24)

平臺(tái)振動(dòng)方程,式(20)中的第2式變?yōu)?

(25)

將式(24、25)組成方程組,通過(guò)數(shù)值分析計(jì)算得錨索、平臺(tái)的位移時(shí)程曲線如圖6.

圖6 工況2下錨索與平臺(tái)位移時(shí)程曲線Fig.6 Displacement history of cable and platform in working condition 2

從圖6(a)中可以看出,相比于圖5(a)所示錨索振動(dòng)“拍”的頻率明顯變小;同時(shí),錨索的振幅也有所減小,其最大振幅由1.2 m減小到1.1 m．這是由于附連水慣性力在系統(tǒng)中主要體現(xiàn)在錨索的附加質(zhì)量m′上,由式(16)可以看出隨著錨索質(zhì)量的增大,錨索的振動(dòng)頻率變小,從而導(dǎo)致“拍”頻變?。阱^索和平臺(tái)初始擾動(dòng)不變即平臺(tái)傳遞給錨索能量不變的情況下,錨索質(zhì)量的增加會(huì)導(dǎo)致錨索振幅的減小,這也符合能量守恒定律．由于相對(duì)于平臺(tái)的質(zhì)量,錨索增加的附加質(zhì)量m′非常小,所以如圖6(b)所示平臺(tái)的振幅沒(méi)有出現(xiàn)明顯改變．

2.3 考慮附連水慣性力和水阻尼力時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

圖7所示為工況3下錨索和平臺(tái)的位移時(shí)程曲線．在工況3下,由于考慮水體影響但忽略系統(tǒng)阻尼的影響,此時(shí)式(20)中的第1式變?yōu)?

(26)

平臺(tái)振動(dòng)方程,式(20)中的第2式變?yōu)?

(27)

將式(26)與式(27)組成方程組,通過(guò)數(shù)值分析計(jì)算得錨索、平臺(tái)的位移時(shí)程曲線如圖7.

圖7 工況3下錨索與平臺(tái)位移時(shí)程曲線Fig.7 Displacement history of cable and platform in working condition 3

從圖7(a)中可以看出：當(dāng)考慮水體阻尼的影響時(shí),錨索的振幅明顯減小;最大振幅由1.1 m迅速減小到0.6 m．在圖7(b)中,雖然平臺(tái)的振幅在第1個(gè)“拍”內(nèi)并未有明顯減小,但在第2個(gè)“拍”后平臺(tái)的振幅迅速?gòu)?.1 m降到0.01 m．在水阻尼力的作用下,錨索和平臺(tái)的振動(dòng)會(huì)被迅速削弱并隨著時(shí)間的推移直至消失．

2.4 初始擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

圖8、9分別為工況4、5下錨索和平臺(tái)的位移時(shí)程曲線．對(duì)式(20)通過(guò)數(shù)值分析計(jì)算得兩種不同初始擾動(dòng)下錨索、平臺(tái)的位移時(shí)程曲線如圖8、9.

與工況3相比較,工況4下,錨索的初始擾動(dòng)由0.001 m增大到0.05 m,增大了50倍,而從圖8(a)與圖7(a)所示的錨索位移時(shí)程曲線中可以看到錨索振幅并未顯著增大,僅從 0.617 m增大到 0.619 m,增加了0.32%,幾乎可以忽略;平臺(tái)的振動(dòng)亦未發(fā)生顯著變化．

圖8 工況4下錨索與平臺(tái)位移時(shí)程曲線Fig.8 Displacement history of cable and platform in working condition 4

圖9 工況5下錨索與平臺(tái)位移時(shí)程曲線Fig.9 Displacement history of cable and platform in working condition 5

與工況4相比較,工況5下,平臺(tái)的初始擾動(dòng)由0.1 m增大到0.2 m,增大了2倍,從圖9(a)與圖8(a)所示的錨索位移時(shí)程曲線中可以看到錨索振幅明顯增大,從0.6 m增大到1.22 m,增加了103.33%;同時(shí)從圖8(b)所示的平臺(tái)位移時(shí)程曲線中可以看到平臺(tái)的“拍”的頻率有所增大．由此,相對(duì)于錨索,平臺(tái)的初始擾動(dòng)對(duì)錨索的振幅的影響更顯著,這可以理解為平臺(tái)的質(zhì)量更大,初始擾動(dòng)給系統(tǒng)提供的能量更多引起的[12]．

2.5 初始張力對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

圖10為工況6下錨索和平臺(tái)的位移時(shí)程曲線．此時(shí),式(13)變?yōu)椋?/p>

(28)

由式(28)可知,當(dāng)錨索的頻率變大,在保證平臺(tái)和錨索質(zhì)量不變的情況下,要滿足ω1=0.5ω2,需要調(diào)節(jié)平臺(tái)的剛度k由5.16×106增加到3.78×107．

對(duì)式(20)通過(guò)數(shù)值分析計(jì)算得2倍初始張力下的錨索、平臺(tái)振動(dòng)的位移時(shí)程曲線，如圖10.

圖10 工況6下錨索與平臺(tái)位移時(shí)程曲線Fig.10 Displacement history of cable and platform in working condition 6

從圖10(a)中的錨索位移時(shí)程曲線中可以明顯看出錨索的振幅明顯減小,由圖7(a)中的0.6 m減小到0.42 m．同時(shí),“拍”的現(xiàn)象不甚明顯,錨索的振動(dòng)在由0.001 m增大到0.42 m后一直持續(xù)減小至消失．但是錨索振幅的減小速度并沒(méi)有發(fā)生太大的變化,均在30 s后減小到0.1 m以下;同樣,圖10(b)中平臺(tái)的振幅亦迅速減小直至消失．不同于錨索,平臺(tái)的振幅減小速度與圖7(b)所示有所差異．如圖10(b)，平臺(tái)振幅減小有所推遲,在約20 s時(shí)圖7(b)所示錨索振幅已減小到0.013 m而圖10(b)所示僅減小到0.022 m,這可以理解為平臺(tái)的剛度增加引起的．

2.6 阻尼對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

圖11、12分別為工況7、8下錨索和平臺(tái)的位移時(shí)程曲線．

阻尼對(duì)于振動(dòng)系統(tǒng)有非常重要的影響．在錨索—平臺(tái)耦合振動(dòng)系統(tǒng)中除了上文討論過(guò)的水阻尼力,系統(tǒng)本身還存在著阻尼．在此,假定兩種不同阻尼比[15]工況7、8,分析阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響．

對(duì)式(20)通過(guò)數(shù)值分析計(jì)算得兩種阻尼比下的錨索和平臺(tái)的位移時(shí)程曲線如圖11、12.

圖11 工況7下錨索與平臺(tái)位移時(shí)程曲線Fig.11 Displacement history of cable and platform in working condition 7

圖11(a),圖12(a)分別為錨索阻尼比為0.01和平臺(tái)阻尼比為0.01下錨索的位移時(shí)程曲線．從圖11(a)中可以看出：相比于圖7(a),錨索的最大振幅由0.62 m減小到0.57 m,減小了0.05 m;而平臺(tái)的振動(dòng)幾乎沒(méi)有改變,如圖11(b)；相比于圖7(a),圖12(a)中錨索的最大振幅由0.62 m減小到0.27 m,減小了0.35 m;平臺(tái)的振幅由0.1 m迅速減小并且在第2個(gè)“拍”內(nèi)僅為0.005 m，如圖12(b)．由此,在相同阻尼比條件下,增大平臺(tái)阻尼對(duì)減小振幅更明顯．

3 參數(shù)振動(dòng)控制

錨索的參數(shù)振動(dòng)主要由端部軸向激勵(lì)引起的間接振動(dòng),控制端部平臺(tái)的振動(dòng)可以有效減小錨索的參數(shù)振動(dòng)．通過(guò)在平臺(tái)上加裝調(diào)頻質(zhì)塊阻尼器，如圖3(d)，抑制平臺(tái)的振動(dòng)進(jìn)而抑制錨索的參數(shù)振動(dòng)．建立錨索—平臺(tái)耦合振動(dòng)方程組為:

(29)

選取合適質(zhì)量及剛度使得ωc≈ω2,由此抑制平臺(tái)的振動(dòng)．取Mc為1 000 kg,Kc為1.65×105N/m,ξc為0.01．通過(guò)數(shù)值分析計(jì)算得加裝調(diào)頻質(zhì)塊阻尼器后錨索、平臺(tái)的位移時(shí)程曲線如圖13.

從圖13(a)中可以看出：錨索的振幅顯著減小,幅值由圖7(a)的0.6 m減小到0.07 m并在15 s減小到0.02 m以下．同樣,從圖13(b)中可以看出,平臺(tái)的振動(dòng)也得到了迅速的削弱,在22 s后減小到0.02 m以下．在阻尼作用下,錨索的振動(dòng)能夠得到迅速削弱;但在第1個(gè)“拍”內(nèi)錨索瞬時(shí)參數(shù)共振的現(xiàn)象依然明顯,如圖8．相比之下,在平臺(tái)加裝調(diào)頻質(zhì)塊阻尼器后,錨索的最大振幅僅為0.07 m,振幅減小較為顯著．由此表明該方法對(duì)于錨索參數(shù)振動(dòng)的控制是有效的．

圖13 加裝調(diào)頻質(zhì)塊阻尼器下錨索位移時(shí)程曲線Fig.13 Displacement history of cable and platform with Tuned Mass Damper

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)懸浮式F-VIVACE潮流能發(fā)電裝置耦合參數(shù)振動(dòng)模型的動(dòng)力分析,基于牛頓法建立了考慮錨索的垂度的耦合振動(dòng)方程組．其后,通過(guò)MATLAB對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析,得到如下結(jié)論:

(1) 在水體的作用下錨索振動(dòng)有所削弱,但瞬時(shí)的參數(shù)振動(dòng)現(xiàn)象依然較為明顯,特別是第1個(gè)“拍”內(nèi)依然產(chǎn)生了較大的振幅．

(2) 錨索和平臺(tái)初始擾動(dòng)的大小均會(huì)對(duì)錨索振動(dòng)產(chǎn)生影響;平臺(tái)的初始擾動(dòng)對(duì)于錨索振動(dòng)的影響更為顯著,即錨索的振動(dòng)對(duì)平臺(tái)的初始擾動(dòng)更為敏感．

(3) 初始張力和阻尼均會(huì)對(duì)錨索振動(dòng)產(chǎn)生影響;增大初始張力能夠削弱錨索的振動(dòng),錨索和平臺(tái)的阻尼均能減小錨索振動(dòng),但增大平臺(tái)阻尼的效果更明顯．

(4) 數(shù)值計(jì)算表明,在平臺(tái)上安裝調(diào)頻質(zhì)塊阻尼器來(lái)控制錨索的振動(dòng)效果非常顯著．