文/中山紀念中學 王明山

本節(jié)探究課是前面學習拋物線標準方程及其簡單幾何性質(zhì)的延伸，也是在學習 《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學 （選修2-1）》 （人教版）第二章圓錐曲線中橢圓和雙曲線有關知識基礎上的拓展。美籍數(shù)學家、數(shù)學教育家波利亞在其名著 《怎樣解題》中指出：在解題過程中要加強學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力的培養(yǎng)，教會學生思考和培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神。因此本節(jié)課的重點不在于推出多少性質(zhì)，記住多少結(jié)論，而是用已學過的知識為載體，引導學生如何抓住這類問題的本質(zhì)（拋物線的焦點的直線方程），啟發(fā)學生思考，在探究活動中積累基本的運算經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的能力。

1．課前準備，知識鏈接

上網(wǎng)搜集有關 “拋物線的光學性質(zhì)及截面為部分拋物線的物體”的資料，并與同學交流。

2．問題引出本節(jié)內(nèi)容

師：投影演示學生作業(yè) （即課本第73第5題的解答過程）。

【題】如圖，M是拋物線y2=4x上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以為Fx始邊，為FM終邊的角∠xFM=60°，求│FM│。

（此時學生全神貫注地看著投影，同自己的解答過程作比較）

師：請同學們分析此題解答是否正確，有無其他解法？

生1：方程③使用韋達定理無法求出│MF│的大小，只能先求出點M的坐標，然后用兩點間距離求出│MF│。

生2：因為│FM│=x2+p，所以│FM│=3+1=4。

（其余同學都基本贊同兩位同學的分析）

生3：化簡方程組時常不知道消去x還是消去y，而且也容易出錯。

師：大家能否從直線FM的方程入手尋求該問題的突破口呢？

【設計意圖】通過一個共性的作業(yè)問題引出本節(jié)課的重點，激發(fā)學生探究知識的欲望。

3.提出問題、討論、探究、交流分享

問題1：

師：如右圖所示，拋物線方程為：y2=2px（p＞0）， 焦點

通常情況下如何根據(jù)已知條件設直線方程？

生：一般用點斜式來設直線方程。

師：用點斜式來設直線方程要討論直線的斜率是否存在，有沒有不討論直線斜率的存在性而設直線方程呢？請同桌兩位同學相互討論、補充。

【討論過程】同桌兩位同學相互討論，老師回答學生的疑問。

師：過拋物線焦點的直線方程到目前為止通常有幾種表示形式？

師：請同學們分析上述三個方程的優(yōu)缺點。

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論、交流分享】

方程①是斜率存在的前提下得到，對于斜率不存在需要單獨討論。

方程②包含直線斜率不存在的情況，但對斜率k=0的情況需加以特別說明。

【設計意圖】在合作學習中，分享彼此的方法和經(jīng)驗，這是擬定解題方案的關鍵一環(huán)。

問題2：

師：有了對直線方程的上述討論，那么如何分別化簡下列兩個方程組？

【討論過程】對于方程組 （1） （2）的化簡，同桌兩個同學分工，一個同學用消去x的方法化簡方程組，另一個同學用消去y的方法化簡方程組，然后交換化簡結(jié)果，相互交流。

投影演示某組同學化簡結(jié)果：

（a）把①式代入②消去y有：k2x2-(k2+2)px+（定值）。

（b）把②式代入①消去 x有 ky2-2py-p2=0，則

（a）把③式代入④消去x有：y2-2mpy-p2=0，則y1+y2=2mp， y1y2=-p2（定值）。

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論、交流分享】請同學們觀察、分析上述方程組的化簡過程，思考在什么條件下設哪種直線方程以及在化簡方程組時如何消元？

生1：如果定點P=(a，0)(a≠0)為x軸上的點，則設直線方程為x=my+a，再與拋物線方程聯(lián)列，消去x，化簡方程組較簡單。

生2：如果定點P=(0，b)(b≠0)為y軸上的點，則設直線方程為y=ky+b，再與拋物線方程聯(lián)列，消去y，化簡方程組較簡單。

【探究一】有了上面的化簡結(jié)果，如何根據(jù)方程組的化簡結(jié)果來探究拋物線焦點弦的一些常見性質(zhì)？

學生討論、交流、分享探究結(jié)論：

①x1x2=

②│AB│=x1+x2+p。

③設A，B分別為MN，M1N1的中點，AB與拋物線交于Q，則Q是AB的中點。

……

【探究二】 如果用tanθ代替 （1）（2） 方程組中的k，會出現(xiàn)什么結(jié)論？

學生獨立思考、交流、分享探究結(jié)論：

【回顧、檢查、總結(jié)】

（1）不論從拋物線的定義、例題，還是習題都可以發(fā)現(xiàn)： “過拋物線的焦點的直線是研究直線與拋物線位置關系中非?；疽彩欠浅Ｖ匾囊粭l直線”，對這條直線的研究不但可以挖掘出與此相關的很多性質(zhì)，而且也可以起到觸類旁通的效果，對解析幾何問題的理解和解答起到很好的示范作用。

（2）針對學生的困惑筆者認為一方面是沒有針對具體問題進行深入的數(shù)學閱讀，設計好解題方案，另一方面則是運算能力不過關，在方程 （方程組）化簡過程中無法完整執(zhí)行解題方案。

3.課后思考、探究、發(fā)現(xiàn)

（1）在問題1中如果直線過定點P(a，b)且a≠0，b≠0，又如何設直線過程？（2）在投影演示課本第73第5題的解答過程中，我們可以確定點的M坐標是那么另一個坐標的意義是什么？請同學們獨立思考課本第70例5，并嘗試可以發(fā)現(xiàn)哪些類似結(jié)論？體現(xiàn)了什么數(shù)學思想？

（3）解答課本第81，并了解關于反射式 （也叫牛頓式）天文望遠鏡的制造原理。

依據(jù)波利亞在 《怎樣解題》中提出的四個解題步驟，從實踐中發(fā)現(xiàn)的問題出發(fā)，在教與學的師生互動中，既體現(xiàn)了學生學習的主體地位，也體現(xiàn)出教師的引領、啟發(fā)作用，而且?guī)熒g交流分享彼此的經(jīng)驗、思路，使得學生進一步加深了數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)了學生的理性思維，學生通過直觀想象和代數(shù)運算得到結(jié)果，并給出幾何解釋，在探究中解決了學習的困惑。