楊向瑜

摘 要 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)作為高中教學(xué)的重要組成部分，尤其是數(shù)學(xué)解題教學(xué)，不僅可以讓學(xué)生掌握更多的解題技巧，還可以提升學(xué)生的思維能力，已經(jīng)成為了高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)的重點(diǎn)。解題教學(xué)是針對多種解題教學(xué)方法進(jìn)行綜合運(yùn)用，達(dá)到優(yōu)化教學(xué)的意識，因此，作為一線教師，在解題教學(xué)時，要把握問題的實質(zhì)，能夠根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)剡x擇最恰當(dāng)?shù)慕忸}策略甚至一題多解來實施教學(xué)。

關(guān)鍵詞 實質(zhì) 解題能力 解題教學(xué)

1問題的提出

如今，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識歸根結(jié)底還是要落實到解題上來。解題不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的落腳點(diǎn)。解題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要手段，也是衡量個人數(shù)學(xué)能力的主要指標(biāo)和檢驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的重要途徑。 解題是把所學(xué)的基本概念、基本公式和法則等遷移到不同情境下的數(shù)學(xué)應(yīng)用，解題過程也要融入數(shù)學(xué)思想方法和解題方法技巧，是鍛煉學(xué)生邏輯思維能力和數(shù)學(xué)推理能力的最佳途徑，通過解題能夠使學(xué)生牢固地掌握知識，靈活地運(yùn)用知識，因此解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位。

2提高學(xué)生解題能力的重要性

現(xiàn)階段，絕大多數(shù)學(xué)生沒有經(jīng)常溫故學(xué)習(xí)的習(xí)慣，多數(shù)只能做到偶爾回顧當(dāng)天所學(xué)的內(nèi)容，有部分學(xué)生認(rèn)為只能通過考試或解題來了解自己的學(xué)習(xí)水平，途徑較單一；而對于解題后作進(jìn)一步的思考，會想一想題目有哪些變化的學(xué)生則更少。

此外，很多老師提倡“題海戰(zhàn)術(shù)”，學(xué)生只顧多做題目，而不重視做題的質(zhì)量；只注重做題結(jié)果，而不重視解題的過程及解題后的反思。這樣一來，學(xué)過的知識遺忘快，這類學(xué)生往往只注重知識個體而忽略整體，缺乏系統(tǒng)性的總結(jié)。

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中解題，在解題中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。但在解題教學(xué)實際中不能單純地為了解題而解題，也不應(yīng)一味地追求解題的數(shù)量而忽視解題的質(zhì)量我認(rèn)為在要求學(xué)生解題時，應(yīng)鼓勵學(xué)生自我探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不斷鼓勵學(xué)生對講評內(nèi)容，尤其是自己出錯的知識點(diǎn)進(jìn)行“二次思維”。加深學(xué)生對該知識的印象，避免重蹈覆轍。要在解題教學(xué)中緊緊抓住方法、技巧這些關(guān)鍵點(diǎn)，針對問題特點(diǎn)優(yōu)化解題教學(xué)過程，因此，學(xué)生在解題中要具備反思的能力和養(yǎng)成反思的習(xí)慣，經(jīng)常進(jìn)行自我診斷和反思，引導(dǎo)學(xué)生反思是有效提高解題效率的重要措施，使數(shù)學(xué)題在解題教學(xué)中因教法的優(yōu)化而產(chǎn)生最大效應(yīng)。

3提高學(xué)生解題能力的的途徑

新視域下，高中數(shù)學(xué)主要考察學(xué)生對基本知識的掌握和應(yīng)用，考核學(xué)生正確解決具體問題的能力。而高中數(shù)學(xué)主要的特點(diǎn)是，較強(qiáng)的邏輯性思維，較復(fù)雜的命題思路，較系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)。尤其是在現(xiàn)行的教育背景下，筆者就如何提高學(xué)生解題能力，簡要地介紹了大致以下幾種途徑。

3.1轉(zhuǎn)變思維方式，對解法進(jìn)行創(chuàng)新

傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大都是讓學(xué)生依照著書本上的所謂經(jīng)典例題來進(jìn)行模仿，這就犯了按圖索驥的錯誤。實際上數(shù)學(xué)是一門講究方法的學(xué)科。這就要求學(xué)生在思考同一道數(shù)學(xué)題的時候，從已經(jīng)學(xué)過的各種知識點(diǎn)入手，突破傳統(tǒng)的思維，用創(chuàng)新的思想去鉆研。

例：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以為F焦點(diǎn)的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|=2|MF|，則直O(jiān)M線斜率的最大值為 。

分析：該題難度屬于中檔，通性通法一般會根據(jù)基本不等式的視角來解，如下：由焦點(diǎn)F（，0），設(shè)點(diǎn)P、M的坐標(biāo)分別為P（，），M（），現(xiàn)就>0來討論，由于|PM|=2|MF|，即，解出，即，解出M（++），即kOM===≤=當(dāng)且僅當(dāng)y=2p2時，取等號，

即=.

上述解法是通過代數(shù)的角度來分析，還可以根據(jù)幾何的觀點(diǎn)來分析，由已知條件，考|PM|=2|MF|慮到中心的性質(zhì)，可以巧妙構(gòu)造一個三角形，設(shè)B（，0），使得焦點(diǎn)F為OB的中點(diǎn)，此時M為△BOP的重心，此時設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x0，y0），所以0=，由三角形重心坐標(biāo)得M（，），kOM==≤=

當(dāng)且僅當(dāng)=22時，等號成立，即=。

通過上述解題分析可得出，第二種思路是利用重心的特征創(chuàng)新了解題思路，可謂一步到位。

3.2通過變式訓(xùn)練來提高解題能力

變式訓(xùn)練的提出，能夠為高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供更多的參考，通過變式訓(xùn)練，學(xué)生能夠從中獲取更多的解題思路，幫助學(xué)生解決問題的同時，也培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。

例：在橢圓+=1上求一點(diǎn)，使它與兩個焦點(diǎn)的連線互相垂直。

在該題進(jìn)行講解完畢后，教師可以依據(jù)原題目將題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?，受該題的啟示，直角是處在鈍角與直角之間的，因此可以以直角為參看標(biāo)準(zhǔn)，改變成如下題目：

變式1：橢圓+=1的兩個焦點(diǎn)是，點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是___________。

分析：該題解法很多，但以幾何法最為簡潔。以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以為直徑畫圓與橢圓交于四點(diǎn)，由直徑所對的圓周角是直角可知：當(dāng)點(diǎn)位于四點(diǎn)時，為直角，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓上弧或弧上時，為鈍角；銳角的情況不言而喻，易求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍。

變式2：是橢圓的兩焦點(diǎn)，求在橢圓上滿足的點(diǎn)個數(shù)。

分析：該題只將求點(diǎn)的坐標(biāo)改為判斷點(diǎn)的個數(shù)，但解法是相同的，只是求以為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)。

變式3：設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)是，且橢圓上存在點(diǎn)，使得，求實數(shù)的取值范圍。

分析：顯然該題在橢圓中引入?yún)?shù)，將求點(diǎn)的坐標(biāo)改為“求參數(shù)的取值范圍”的熱點(diǎn)問題，解法是相同的，要使橢圓上存在點(diǎn)使，只需以為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，也就是橢圓的焦距大于或等于橢圓的短軸長即得。

通過以上的變式教學(xué)可知，教師在復(fù)習(xí)的過程中將習(xí)題進(jìn)行變式，不僅加深了學(xué)生對該題目的理解，而且還能以點(diǎn)帶面的學(xué)到很多知識。這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)會數(shù)形結(jié)合的能力，還學(xué)會了辨析問題的能力。

3.3適當(dāng)進(jìn)行一題多解并反思解題角度

我們在提問、舉例、講評數(shù)學(xué)問題時，要倡導(dǎo)多角度多解，在教學(xué)時要精心創(chuàng)設(shè)一個符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，激發(fā)學(xué)生求知欲的由淺入深、多層次、多變化的問題情境，啟發(fā)探索，誘導(dǎo)反思，養(yǎng)成多角度分析數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣。

例：已知，且滿足，求的最大值.

而故原式的最大值是.

通過以上實例可以看出，在解題訓(xùn)練時不局限于每道題目一種解法，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步思考其他解法。通過討論與交流，從中鑒別各種方法的作用與最佳方法，并通過各種方法引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識解題的核心問題與共同本質(zhì)。同時要對某種方法的妙處進(jìn)行反思總結(jié)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，讓學(xué)生善于從不同角度，不同方面去思考問題，尋求變異。

3.4要學(xué)會大膽質(zhì)疑，學(xué)會糾錯反思

在解題教學(xué)中，有些題目看上去似乎很簡單，如果沒有考慮全面，會得出錯誤的結(jié)果。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，鼓勵學(xué)生提出不同的甚至懷疑的意見，注意引導(dǎo)和啟發(fā)，提倡獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)。

例：在中，，，求。

很大一部分學(xué)生會給出這樣的解答：由可得；由可得，進(jìn)而可求或。學(xué)生們都認(rèn)為是正確的。真的有兩個解嗎？我們可以進(jìn)一步去挖掘、討論，由知：或，同理可知。由知：不成立，即取不到，故只有一解。

通過這道題的分析、討論、講評，給學(xué)生的啟示是要對題目的結(jié)果進(jìn)行懷疑，以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)觀點(diǎn)審視，在獨(dú)立分析的基礎(chǔ)上，要結(jié)合問題的實質(zhì)，全方位的去把握問題。

4教學(xué)啟示

一個數(shù)學(xué)問題的解決，并不等于這個問題思維活動的結(jié)束，而是對這個問題進(jìn)行深入研究的開始，教師在解題教學(xué)課堂上，不能僅限于只解決了“怎樣做？”等問題，還要解決“是否解中有錯？”“為什么這樣解？”“還能否用其他方式來解？”等一系列問題，這些問題只有在不失時機(jī)的解后反思才能得到解決，更重要的是學(xué)生通過對自己的思維過程的再驗證、再認(rèn)識，使自己對數(shù)學(xué)概念、定理、方法等各個方面從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，極大的提高思維水平。

此外，在解題教學(xué)的過程中，要善于發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，再進(jìn)一步反思問題的解決辦法，反思的問題應(yīng)該是經(jīng)過選擇的具有一定意義的問題，而不是缺乏應(yīng)有價值的問題。

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