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例析數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種特殊求法

2018-07-30 08:35:40廣東省廣州市從化中學(xué)510900李希勝
關(guān)鍵詞:法求特征方程不動點(diǎn)

廣東省廣州市從化中學(xué) (510900) 李希勝

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考和競賽的重要內(nèi)容,通過這部分內(nèi)容的教學(xué)可訓(xùn)練學(xué)生的思維能力.求數(shù)列通項(xiàng)公式需要較多的知識和較強(qiáng)的能力,常用方法也很多,其中不動點(diǎn)法、特征根法和構(gòu)造法是非常有效的幾種特殊方法.

1.不動點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)公式

函數(shù)不動點(diǎn)定義:若函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=x有交點(diǎn)M(m,m),則稱m為函數(shù)y=f(x)的不動點(diǎn),其運(yùn)算特征是f(m)=m.

數(shù)列是特殊的函數(shù),一般是把a(bǔ)n看作n的函數(shù),但若數(shù)列{an}有遞推公式an+1=f(an),則也可把a(bǔ)n看作自變量x,an+1看作因變量y,引入函數(shù)y=f(x).若函數(shù)y=f(x)有不動點(diǎn)m,則可在數(shù)列遞推關(guān)系an+1=f(an)的兩邊都減去m,構(gòu)造出新的數(shù)列,而新數(shù)列一般是等比數(shù)列、等差數(shù)列或其它特殊數(shù)列,易求出其通項(xiàng)公式,進(jìn)而可求出原數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

2.特征根法求數(shù)列通項(xiàng)公式

在數(shù)列{an}中,已知a1,a2,an+2=pan+1+qan(其中p和q為常數(shù)),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.稱x2=px+q,即為數(shù)列{an}的特征方程.

結(jié)論1 對具有遞推關(guān)系an+2=pan+1+qan的數(shù)列,特征方程為x2-px-q=0,當(dāng)Δ=p2+4q>0時,設(shè)兩個不等實(shí)根為α,β,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=c1αn+c2βn,其中c1,c2為待定系數(shù),可由初始條件確定.

證明:由韋達(dá)定理得α+β=p,α·β=-q,將p=α+β和q=-α·β代入遞推關(guān)系an+2=pan+1+qan得an+2=(α+β)an+1-α·βan,即an+2=αan+1+βan+1-α·βan,從而既有an+2-βan+1=α(an+1-βan),又有an+2-αan+1=β(an+1-αan).

結(jié)論2 對具有遞推關(guān)系an+2=pan+1+qan的數(shù)列,特征方程為x2-px-q=0,當(dāng)Δ=p2+4q=0時,設(shè)二重根為α,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=c1αn+c2nαn,其中c1,c2為待定系數(shù),可由初始條件確定.

例4 已知數(shù)列{an}滿足a1=4,a2=12,an+2=4an+1-4an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解:數(shù)列{an}的特征方程為x2-4x+4=0,Δ=0,有二重特征根x=2.

設(shè)an=c1·2n+c2·n·2n,分別取n=1,2可得4=c1×21+c2×1×21和12=c1×22+c2×2×22,可解得c1=1,c2=1,故an=2n+n·2n=(n+1)·2n.

結(jié)論3 對具有遞推關(guān)系an+2=pan+1+qan的數(shù)列,特征方程為x2-px-q=0,當(dāng)Δ=p2+4q<0時,無特征根,則數(shù)列為周期性的數(shù)列.

例5 已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,求a2018的值.

解:特征方程為x2=x-1,即x2-x+1=0,Δ=-3<0,數(shù)列必有周期性,a1=3,a2=6,a3=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,a7=3,a8=6,周期為6,a2018=a2=6.

3.構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式

構(gòu)造法就是以已知條件為原料,以所求結(jié)論為方向,構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)形式,使得問題在這種形式下簡捷地得到解決.

例6 已知a1=2,an+1=4an-3n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例7 已知a1=0,an+1=3an+2n+4n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

故an+1+2n+1+2(n+1)+1=3(an+2n+2n+1),數(shù)列{an+2n+2n+1}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為a1+21+2×1+1=5,公比為3,從而an+2n+2n+1=5×3n-1,an=5×3n-1-2n-2n-1.

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