唐軍強

（焦作大學基礎部，河南 焦作 454003）

歐拉在數(shù)學的多個領域都做出了卓越的貢獻，數(shù)論中有一個函數(shù)以歐拉的名字命名。設n為任意給定的正整數(shù)，定義φ（n)為比n小且與之互素的自然數(shù)的個數(shù)（包括1在內），例如比3小且與 3互素的正整數(shù)有 1和 2，從而有φ（3)=2。歐拉給出了計算φ（n)的公式，若自然數(shù)n可以表示為一些素因數(shù)的冪的乘積，即n=這里 p1,p2…pt為素數(shù)，a1,a2…at為正整數(shù)，則有

該公式與另一個同樣是由歐拉給出的計算黎曼ζ函數(shù)在正整數(shù)點的公式[1,2]有相似之處，只不過黎曼ζ函數(shù)中要對所有的素數(shù)取類似的乘積。二者之間是否具有某種聯(lián)系，現(xiàn)在還不清楚。本文給出歐拉公式的一個初等證明，并從該公式出發(fā)，討論這個定義在正整數(shù)集合上的φ（n)的性質。

1.歐拉公式的證明

由于φ（n)代表比 n小且與 n互素的自然數(shù)的個數(shù)，而與n不互素的自然數(shù)必然是p1,…pt或者其中一些組合的倍數(shù)，因此計算φ（n)只需要從n-1個正整數(shù)中減去這些不互素的自然數(shù)即可。在這n-1個自然數(shù)中，p1的倍數(shù)有-1個，p2的倍數(shù)有-1個，以此類推，pt的倍數(shù)有-1個。第一步計算，我們先減去這些倍數(shù)，得到下式

但是，如果一個正整數(shù)是 p1p2，p1p3…p1pt,…pt-1pt的倍數(shù)，則在第一步的計算當中，這些數(shù)被減去了兩次，從而應當再加上一次。第二步的運算就有下式

同 樣 地 ，如果一個正整數(shù)是 p1p2，p1p3…p1pt,…pt-1pt的倍數(shù)，則這些數(shù)在第一步的運算當中被減去了次，在第二步的運算當中被加了次，從而應當再減去一次。即有第三步的運算

重復該過程，如果一個正整數(shù)是p1p2，p1p3…p1pt,…pp的倍數(shù)，則這些數(shù)在第一步中被減去了t-1t次，在第二步的運算當中被加了次，在第三步的運算當中被減了次，而-+-=-2，從而應當再加上一次，則有第四步運算

由上面的過程可知，如果一個正整數(shù)是p1,p2，…pt中任意k(1kt）個素數(shù)的倍數(shù)，則經(jīng)過第 k步的運算之后，有

也就是說，無論 k為奇數(shù)或偶數(shù)，經(jīng)過 k步的運算之后，剛好減去了一次。從而我們可以得到求φ（n)的公式如下

經(jīng)過整理之后，得到

而這正是（1）式的展開式。

2.歐拉函數(shù)的性質

性質2 對于任意的正整數(shù)n＞2，φ（n)為偶數(shù)，但是，歐拉函數(shù)的值域并非是全體偶數(shù)。證明：當n＞2 時，若 n 僅有素因子 2，即 n=2k（k≥2），由（2）式可知φ（n)能被整除；若 n有大于 2的素因子p，則p-1能被整除。

再來看，14這個偶數(shù)就不是任何正整數(shù)的歐拉函數(shù)值。假設存在一個n，使得φ（n)=14，則必有 ka-1(k-1)=14或者(p-1)(q-1)=14，這里 k,p,q均為素數(shù)。由第一個式子可知ka-1(k-1)=2×7，由于k和k-1是互素的，從而應當有

可以看到這兩個方程組對于a均無整數(shù)解。而由第二個式子可以得到

解得 p=2,q=15和 p=3，q=8，但是 15和 8又不是素數(shù)，從而這種分解也是不可能的。100以內的不在歐拉函數(shù)值域中的偶數(shù)有：14,26,34,38,50,62,68,74,76,86,90,94,98。

性質3 對于任意的正整數(shù)n有

性質 4 （歐拉-費馬定理[3]）設(a，n)=1，N=φ（n)則aN=1(mod n)

證明：取模 n的一個既約剩余代表系 r1，r2…,rN,由于(a，n)=1,ar1，ar2…,arN也是模 n 的一個既約剩余代表系，且有 ari=rai(mod n)，這里 a1，a2…,aN是 1,2,…N的一個排列。將這N個同余式連乘得

由于ri與n互素，兩邊消去ri，即得 aN=1(modn)

3.結語

素數(shù)領域可以說是數(shù)學研究中出現(xiàn)最多“例外”的地方，人們對于普遍性規(guī)律的認識，往往都是先通過分析計算、尋找規(guī)律、大膽猜測，然后尋找合適的證明。但是在素數(shù)的研究領域，通過有限的計算獲得的規(guī)律性往往是不可靠的。例如歐拉曾經(jīng)猜想：對于每個大于2的整數(shù)n，任何n－1個正整數(shù)的n次冪的和都不是某個正整數(shù)的n次冪。但是在1966年，這一猜想被推翻。1988年，哈佛大學教授埃爾基給出了一個令人瞠目結舌的反例[4]，即：

如哥德巴赫猜想一樣極其簡單的表述：“任意大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)之和”，200多年來難以獲得證明，即使能夠找到十萬億個偶數(shù)對該表述成立，也不能說問題已經(jīng)解決，因為我們不知道，在那遙遠的地方，會不會有一個“例外”。

正是這些貌似簡單，實則隱藏著無窮奧秘的數(shù)學問題，激發(fā)著人們的好奇心，激勵著一代又一代的數(shù)學家為之奉獻終身。歐拉函數(shù)與黎曼函數(shù)乃至與素數(shù)分布之間的關系，仍有待于進一步的探索。