徐沈陽(yáng) 熊友兵 劉秀明

（天津工業(yè)大學(xué)，天津 300387）

門式起重機(jī)是橋式起重機(jī)的一種變形，又叫龍門吊。龍門吊作為一種運(yùn)輸機(jī)械被廣泛應(yīng)用于工程方面[1]，國(guó)內(nèi)外的專家和學(xué)者對(duì)此系統(tǒng)的研究也早已開(kāi)始，但是缺少對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)分析和評(píng)價(jià)。如何通過(guò)使用模型進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)后能夠滿足安全、高效的需求以完成檢測(cè)已成為各位專家和學(xué)者密切關(guān)注的問(wèn)題[2-3]。吊車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)引起貨物的擺動(dòng)，合理進(jìn)行防擺控制是提高吊車工作效率和安全性的重要手段[4]。本文通過(guò)深入分析貨物擺動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，研究貨物擺動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，這對(duì)貨物的消擺具有重大意義。

1.動(dòng)力學(xué)分析

1.1 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析

由于貨物擺動(dòng)過(guò)程中，纜繩受力隨速度、擺角等因素的變化而變化，導(dǎo)致纜繩長(zhǎng)度會(huì)產(chǎn)生一定的伸張，從而對(duì)擺角等因素產(chǎn)生影響。本文只分析貨物擺動(dòng)過(guò)程中纜繩長(zhǎng)度不變的情況。

另外，由于貨物運(yùn)動(dòng)時(shí)，其所受空氣阻力難以簡(jiǎn)單界定，受到多種因素的影響。因此，在理想狀態(tài)下（忽略空氣阻力）研究問(wèn)題，能更加方便、準(zhǔn)確地得出結(jié)論。本文忽略貨物擺動(dòng)過(guò)程中空氣阻力對(duì)負(fù)載的影響。根據(jù)達(dá)朗伯原理[5]，對(duì)貨物m進(jìn)行受力分析，得到系統(tǒng)的微分方程：

運(yùn)用 MATLAB求解方程組[6-7]，繪制吊車運(yùn)動(dòng)速度曲線、擺角隨時(shí)間變化曲線以及貨物在平衡位置振動(dòng)時(shí)擺角變化曲線，可得吊車加速至勻速階段的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。本文給出了擺角和平衡位置的定義。

（1）擺角：纜繩與豎直方向的夾角；

（2）平衡位置：貨物在某擺角處不停振蕩的中心位置。

通過(guò)對(duì)兩個(gè)微分方程的求解，可以得到在系統(tǒng)加速階段各物理量的變化情況，如圖1、圖2所示。

由圖1可知，貨物擺角由初始狀態(tài)零度開(kāi)始增大，隨著吊車速度增加，貨物擺角恒為正值且逐漸減大，在加速階段結(jié)束時(shí)擺角的大小為在勻速運(yùn)動(dòng)階段擺角的峰值。勻速運(yùn)動(dòng)階段，貨物擺動(dòng)的平衡位置為零位置；吊車在減速運(yùn)動(dòng)階段，貨物的擺角為負(fù)值且逐漸減??；最終吊車勻速階段，貨物在零位置附近擺動(dòng)。

由圖2可知，貨物在每個(gè)平衡位置不停振動(dòng)，類似簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

1.2 運(yùn)動(dòng)過(guò)程

根據(jù)吊車運(yùn)動(dòng)曲線，可將整體運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為四個(gè)階段。第一階段為吊車勻加速階段，擺角由最大位置逐漸減小并在每個(gè)平衡位置不停振蕩做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；第二階段為吊車勻速階段，貨物的平衡位置為零位置，在零位置附近不停振蕩；第三階段為吊車勻減速階段，貨物擺角變?yōu)樨?fù)值；第四階段為吊車勻速階段，貨物從負(fù)最大擺角回到零位置。

1.2.1 加速階段

貨物擺動(dòng)的模型如圖3所示。吊車加速時(shí)間為t1，勻速運(yùn)行時(shí)間為 t2，減速時(shí)間為t3。m1為吊車質(zhì)量，m2為貨物質(zhì)量，θ為貨物的擺角，F(xiàn)為小車所受合外力，F(xiàn)T為纜繩的拉力，l為纜繩的長(zhǎng)度。貨物在擺動(dòng)過(guò)程中θ比較小，可近似認(rèn)為Sinθ≈θ，cosθ≈1。

設(shè)小車與貨物的坐標(biāo)分別為（x,0）、（xm,ym），則有

忽略纜繩的形變，則上述方程可簡(jiǎn)化為

根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系，可以得到系統(tǒng)的動(dòng)能為

拉格朗日方程標(biāo)準(zhǔn)形式[8]為

該系統(tǒng)的拉格朗日方程為

將式（1）分別帶入式（2）、（3）中可得

采用Laplace變換的方法對(duì)兩個(gè)微分方程進(jìn)行求解[9-10]，吊車開(kāi)始加速，貨物由零位置開(kāi)始擺動(dòng)，故初始條件為

經(jīng)過(guò)Laplace變換得

求Laplace逆變換得

對(duì)于纜繩受力，對(duì)吊車應(yīng)用牛頓第二定律得

將（4）式帶入上式得貨物在擺動(dòng)過(guò)程中對(duì)系統(tǒng)水平方向的力為

其中，T1為纜繩的拉力，θ1為第一階段運(yùn)動(dòng)的擺角。

1.2.2 勻速運(yùn)動(dòng)階段

吊車經(jīng)過(guò)時(shí)間進(jìn)入勻速階段，貨物過(guò)渡到在零位置擺動(dòng)的階段，式（5）變?yōu)?/p>

利用加速階段求解過(guò)程，解得

1.2.3 減速運(yùn)動(dòng)階段

類比吊車在加速階段的動(dòng)力學(xué)分析，第二階段勻速運(yùn)動(dòng)擺角的末值為減速階段的初始值，對(duì)式（6）求Laplace反變換可得

1.2.4 最終勻速運(yùn)動(dòng)階段

第四階段勻速過(guò)程可類比第二階段勻速過(guò)程，擺角變化為負(fù)值，得到微分方程

利用加速階段求解過(guò)程，解得

2.運(yùn)輸模型的建立

2.1 目標(biāo)分析

運(yùn)輸過(guò)程中，運(yùn)輸效率是評(píng)價(jià)運(yùn)輸方案優(yōu)劣的指標(biāo)，本文定義系統(tǒng)運(yùn)輸效率為單位時(shí)間內(nèi)運(yùn)輸貨物的重量

2.2 約束分析

（1）距離約束

前三個(gè)階段運(yùn)動(dòng)距離D1為

吊車第一階段做加速運(yùn)動(dòng)，初始狀態(tài)為靜止的，即：v1=0。

吊車第二階段做勻速運(yùn)動(dòng)，初始速度為吊車所達(dá)到的最大速度，等于第一階段運(yùn)動(dòng)末速度，即：v2=a1t1。

吊車第三階段做減速運(yùn)動(dòng)，初始速度等于勻速階段速度，即：v3＝v2=a1t1。

第四階段運(yùn)動(dòng)距離 D2為：D2＝v4t4。

吊車第四階段做勻速運(yùn)動(dòng)，初始速度為減速時(shí)間后的速度，即：

（2）時(shí)間約束

由整個(gè)調(diào)運(yùn)時(shí)間不超過(guò)最大可接受時(shí)間，可得

其中，Tmax為四個(gè)階段的總時(shí)間，ti為第 i個(gè)運(yùn)動(dòng)階段時(shí)間。

第一階段和第四階段吊車運(yùn)動(dòng)加速度大小相等方向相反，由于在第四階段吊車仍有速度，則可知加速階段時(shí)間大于減速階段時(shí)間，即

（3）速度約束

貨物第三階段運(yùn)動(dòng)最終擺動(dòng)速度和最終時(shí)刻的擺角，決定了第四階段貨物的水平速度。

如圖4，對(duì)貨物的擺動(dòng)速度分解得到

式中vf3是第三階段末貨物的擺動(dòng)速度，vx是貨物運(yùn)動(dòng)的水平速度。

（4）擺角約束

第四階段勻速過(guò)程可類比第二階段勻速過(guò)程，擺角變化為負(fù)值，得到微分方程

利用Laplace變換求解微分方程，解得

其中θ4為第四階段勻速運(yùn)行時(shí)貨物的擺角。

受力分析得出的每個(gè)階段擺角的函數(shù)，設(shè)過(guò)程中允許的最大擺角為θmQX，得到如下限制

式中θ4為第四階段勻速運(yùn)行時(shí)貨物運(yùn)動(dòng)的擺角。在尋求最終目標(biāo)時(shí)，采用保守策略是穩(wěn)妥的，即在最壞的情況下尋求最好的結(jié)果，所以采用極小極大法求解。由于貨物在平衡位置不停地振動(dòng)，求出貨物最大的振動(dòng)擺角，使該角度最小，即為所要達(dá)到的擺動(dòng)范圍。

（5）纜繩承載力約束，纜繩受力不能超過(guò)其最大承載力范圍限制為

3.實(shí)例分析

為了進(jìn)行應(yīng)用驗(yàn)證，本文選取了代表性較強(qiáng)的龍門吊配置進(jìn)行分析：繩長(zhǎng)15m，貨物運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)在75-80m之間，最大加速度為 1m/s2，最大運(yùn)輸時(shí)間為120s，纜繩最大承載能力為20000kg。利用MATLAB求解非線性規(guī)劃問(wèn)題，設(shè)置時(shí)間的精度為0.01，得到各個(gè)運(yùn)動(dòng)的擺角變化曲線如圖4、圖 5所示。

圖4 第一階段擺角變化圖

圖5第二階段擺角變化圖

圖4 為第一階段貨物擺角變化，5.1s內(nèi)貨物的擺角逐漸向正方向增大，在1.2s時(shí)形成最大擺角，為 1.0813°。

圖5為第二階段貨物擺角變化，第二階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為16.8s，在該段時(shí)間內(nèi)貨物在零位置附近不停振動(dòng)，在1.2s時(shí)形成最大的擺角，為2.5143°。

圖6 第三階段擺角變化圖

圖7第二階段擺角變化圖

圖6 為第三階段貨物擺角變化，第三階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0.2s，擺角向負(fù)方向逐漸增大，在21.3s時(shí)形成最大擺角，為-2.2877°.

圖7為第四階段貨物擺角變化，第四階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為28s，擺角在零位置附近振動(dòng)且擺角很小。在35.2s時(shí)形成最大擺角，為-2.1686°。

綜上所示，運(yùn)輸過(guò)程中，總時(shí)間為53s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間和擺角關(guān)系如表1所示。

表1 運(yùn)動(dòng)時(shí)間和最小擺幅

此時(shí)的加速階段的加速度為0.83m/s2，調(diào)運(yùn)質(zhì)量為6050kg。求解出的四個(gè)階段擺動(dòng)均比較小，保證貨物安全。加減速時(shí)間較短，兩段勻速時(shí)間較長(zhǎng)，貨物平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)，符合實(shí)際吊運(yùn)情況。

更改上述實(shí)例中目標(biāo)為調(diào)運(yùn)質(zhì)量最大，利用建立模型進(jìn)行模擬，得到模擬結(jié)果如表2。

表2 調(diào)運(yùn)質(zhì)量為目標(biāo)求解

兩實(shí)例進(jìn)行對(duì)比，可以得到，實(shí)例1中保持運(yùn)輸效率最高，但單次運(yùn)輸質(zhì)量較小，更改目標(biāo)后的實(shí)例2以質(zhì)量最大為目標(biāo)，雖增加了單次運(yùn)輸質(zhì)量，但過(guò)程中擺角也有所增加。

該模型能根據(jù)實(shí)際需求，調(diào)整參數(shù)，更改目標(biāo)和約束，得到運(yùn)輸過(guò)程以擺角最小、運(yùn)輸效率最高、運(yùn)輸質(zhì)量最大等為目標(biāo)的方案，更符合運(yùn)輸過(guò)程中的實(shí)際情況，對(duì)實(shí)際運(yùn)輸具有重要指導(dǎo)意義。

4.結(jié)語(yǔ)

龍門吊系統(tǒng)在運(yùn)輸過(guò)程中的工作狀況是多變的，可根據(jù)不同需求，修改本文實(shí)例中的纜繩最大承載能力、繩長(zhǎng)、運(yùn)輸長(zhǎng)度、最大加速度等參數(shù)，得到最適合的運(yùn)輸方案。本文從力學(xué)的角度，結(jié)合現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)，分析不同狀態(tài)下的受力情況，利用非線性規(guī)劃建立了擺角非線性規(guī)劃模型，以此來(lái)分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，具有良好的效果。

對(duì)于龍門吊運(yùn)輸問(wèn)題，利用仿真模擬的方法得到運(yùn)輸過(guò)程中最佳配置，對(duì)實(shí)際運(yùn)輸具有十分重要的參考價(jià)值。但由于不同變量之間關(guān)系復(fù)雜，需要不斷加深對(duì)運(yùn)輸過(guò)程的研究，以實(shí)現(xiàn)運(yùn)輸?shù)母咝?、智能的控制?/p>