后小君

摘 要：利用向量法求二面角的大小的原理：構(gòu)成二面角的兩個(gè)平面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角等于這個(gè)二面角的平面角。課本中是憑直覺觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，這種方法缺乏理性，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。在復(fù)雜的立體圖中，要準(zhǔn)確判斷是銳二面角還是鈍二面角比較困難，為了讓學(xué)生思維更清晰，能得到一個(gè)理性的結(jié)果，給法向量取定方向后可準(zhǔn)確地求出二面角。

關(guān)鍵詞：法向量；求二面角；應(yīng)用

一、二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角與二面角的關(guān)系

1.確定法向量的指向

2.確定兩個(gè)法向量的夾角與二面角的關(guān)系

如圖1，當(dāng)兩個(gè)法向量一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，一個(gè)指向二面角的內(nèi)部時(shí)，法向量的夾角就是二面角；如圖2和圖3，當(dāng)兩個(gè)法向量都指向內(nèi)或者都指向外時(shí)，法向量的夾角就是二面角的補(bǔ)角。

二、法向量在求二面角中的應(yīng)用

求二面角的大小或二面角的余弦值：當(dāng)二面角為銳二面角時(shí)，二面角的余弦值為正值，當(dāng)二面角為鈍二面角時(shí)，二面角的余弦值為負(fù)值，二面角和它的補(bǔ)角的余弦值不相等。用向量法解決這類型題時(shí)需判斷法向量的指向以保證兩向量的夾角就是二面角。

例1.【2017全國1卷（理）】如圖4所示，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD。

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。

【解析】（1）證明：因?yàn)椤螧AP=∠CDP=90°，所以PA⊥AB，PD⊥CD。

又因?yàn)锳B∥CD，所以PD⊥AB，又因?yàn)镻D∩PA=P，PD、PA？奐平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB？奐平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。

點(diǎn)評(píng)：注意某些平面的法向量在條件中隱含，不用單獨(dú)求，取該平面的法向量時(shí)和另一個(gè)平面的法向量指向不同即可。

書中一直提倡用觀察法判斷二面角的大小是鈍角還是銳角，難免存在一些因視角問題而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，而很多老師和學(xué)生常常對(duì)于這一問題上往往忽視它的重要性，但是我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，更是一門科學(xué)，要求的是簡潔性與準(zhǔn)確性，所以，研究這一性質(zhì)是非常重要的。

注：本文系2017年甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃“隴原名師”專項(xiàng)課題“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中圖形教學(xué)的策略及效果研究”（立項(xiàng)號(hào)：GS[2017]MSZX057）的成果之一。

編輯 魯翠紅