廣東 魏志鐘

圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高中物理的重點(diǎn)內(nèi)容，由于圓周運(yùn)動(dòng)的基本解題思路相同，讓我們常有“似曾相識(shí)”的感覺(jué)，但圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題錯(cuò)綜復(fù)雜，臨界條件相對(duì)隱蔽，讓學(xué)生不知從何下手。對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)模型，按照知識(shí)點(diǎn)的綜合歸類情況，主要分以下三類情形：

一、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題通常分兩類，一類是與摩擦力有關(guān)的臨界問(wèn)題，物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間的靜摩擦力恰好達(dá)到最大值；一類是與彈力有關(guān)的臨界問(wèn)題，壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零，繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無(wú)彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等。

【答案】BC

【動(dòng)態(tài)分析】解題前我們應(yīng)先構(gòu)建其運(yùn)動(dòng)模型，當(dāng)ω較小時(shí)線O1A拉直，O2A松弛，當(dāng)細(xì)線O1A、O2A都拉直時(shí)，隨著ω增加，線O1A的拉力逐漸減小、O2A的拉力逐漸增加；而當(dāng)ω太大時(shí)，O2A拉直,O1A將松弛。

【解析】設(shè)O2A剛好拉直，但其拉力F2仍為零時(shí)角速度為ω1，此時(shí)∠O2O1A=30°,設(shè)O1A產(chǎn)生的拉力為F1,對(duì)小球：

在豎直方向F1cos30°=mg……①

設(shè)O1A由拉緊轉(zhuǎn)到剛被拉直，F(xiàn)1變?yōu)榱銜r(shí)角速度為ω2

對(duì)小球F2cos60°=mg……③

【解題技巧】圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問(wèn)題分析，應(yīng)首先考慮達(dá)到臨界條件時(shí)物體所處的狀態(tài)，然后分析該狀態(tài)下物體的受力特點(diǎn)，并確定向心力，再結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，列出相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程求解。

二、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)，一般情況下，只討論最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況。這類題目的綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，物理情景變化空間大，是我們復(fù)習(xí)中的難點(diǎn)。我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)充分分析研究對(duì)象的受力和運(yùn)動(dòng)情況，建立其運(yùn)動(dòng)的物理模型，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)、功能關(guān)系和動(dòng)量觀點(diǎn)等知識(shí)來(lái)綜合解題。

【例3】如圖3所示，讓擺球從圖中的C位置由靜止開(kāi)始擺下，擺到最低點(diǎn)D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的水平面上由D點(diǎn)向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A孔進(jìn)入半徑R=0.3 m的豎直放置的光滑圓弧軌道，當(dāng)擺球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉A孔。已知擺線長(zhǎng)L=2 m，θ=60°，小球質(zhì)量為m=1 kg，D點(diǎn)與小孔A的水平距離s=2 m，g取 10 m/s2。試求：

(1)求擺線能承受的最大拉力為多大？

(2)要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，求粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍。

【動(dòng)態(tài)分析】擺球從C到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在豎直平面內(nèi)做加速圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)擺線剛好被拉斷，說(shuō)明此時(shí)擺線承受的拉力達(dá)到最大；小球從D到A運(yùn)動(dòng)過(guò)程做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入A孔后沿圓軌道做豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，要使擺球不脫離軌道，可能有兩種情況，一是在到達(dá)圓心等高處之前停下來(lái)；二是順利通過(guò)最高點(diǎn)。

【解析】(1)當(dāng)擺球由C到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程做圓周運(yùn)動(dòng)，擺球的機(jī)械能守恒：

擺球在D點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得：

聯(lián)立兩式可得：

Fm=2mg=20 N。

(2)要使擺球能進(jìn)入圓形軌道，則擺球到達(dá)A孔時(shí)速度必須滿足：vA≥0

擺球從D到A運(yùn)動(dòng)過(guò)程由動(dòng)能定理可得：

聯(lián)立兩式可得：μ1≤0.5

①若進(jìn)入A孔的速度較小，那么將會(huì)在圓心以下做等幅擺動(dòng)，不脫離軌道。其臨界情況為到達(dá)圓心等高處速度為零，由機(jī)械能守恒可得：

由動(dòng)能定理可得：

可求得：μ2≥0.35

②若小球能過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)則不會(huì)脫離軌道，在圓周的最高點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：

小球從D到圓周的最高點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理可得：

解得：μ3≤0.125

綜上，動(dòng)摩擦因數(shù)μ的范圍為：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125。

【變式訓(xùn)練】例題3中，將光滑圓形軌道改成光滑的圓形管道，則要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍？

大家試分析一下此時(shí)的結(jié)果是否與例題3的結(jié)果相同呢？又或者改成拱形橋的話，結(jié)果又如何呢？

三、帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是高中物理的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。在歷年的高考試題中幾乎年年都有這方面的考題。帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)考生的空間想象能力、物理過(guò)程的分析能力以及物理規(guī)律的綜合應(yīng)用能力都有很高的要求。解決這類問(wèn)題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何中的圓及解析幾何知識(shí)。

(1)粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度多大?

(2)所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度多大?

【動(dòng)態(tài)分析】粒子沿徑向飛出，可以用“縮放圓”的方法判斷出臨界情況為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與外環(huán)相切，根據(jù)幾何關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，再根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑公式求出最大的速度。粒子沿環(huán)狀域的內(nèi)邊界圓的切線方向射入磁場(chǎng)時(shí)，此時(shí)的軌道半徑為最小的軌道半徑，此時(shí)粒子若不能出磁場(chǎng)，則所有粒子都不會(huì)出磁場(chǎng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道半徑，再通過(guò)軌道半徑公式求出最大的速度。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與外圓相切時(shí)(如圖5所示)半徑最大，由圖中的幾何關(guān)系可得：

聯(lián)立上面的速度表達(dá)式并代入數(shù)據(jù)可得：

v1=1.5×107m/s

此速度即為沿環(huán)狀半徑方向射入的粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。

(2)粒子沿內(nèi)圓切線方向射入磁場(chǎng)，軌跡與外圓相切，此時(shí)軌跡半徑r2最小(如圖5所示)，則有

要使所有粒子都不能穿越磁場(chǎng)區(qū)域，必須滿足r≤r2

即所有粒子都不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為1.0×107m/s。

【解題技巧】臨界值可能以極值形式出現(xiàn)，也可能是邊界值(即最大值和最小值)，解題關(guān)鍵：畫(huà)圖→動(dòng)態(tài)分析→找臨界軌跡→確定圓心、半徑和粒子射入、射出磁場(chǎng)邊界的臨界點(diǎn)。(這類題目關(guān)鍵是作圖，圖畫(huà)準(zhǔn)了，問(wèn)題就解決了一大半，余下的就只有計(jì)算了——這一般都不難。)