程相文，于 巍

（華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063009）

1 引言

傳統(tǒng)液壓圓錐破碎機(jī)存在耗能高，產(chǎn)量低，產(chǎn)品粒度不理想等缺點(diǎn)，為了讓液壓圓錐破碎機(jī)達(dá)到更好地破碎效果，對(duì)其破碎過(guò)程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析是十分必要的。

液壓圓錐破碎機(jī)工作過(guò)程中，破碎物料存在能量積累與耗散，在動(dòng)錐與定錐之間傳遞能量，因此，破碎物料層是液壓圓錐破碎機(jī)破碎系統(tǒng)重要組成部分[1]。物料破碎過(guò)程中存在滯回現(xiàn)象，目前國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀：

2010年，文獻(xiàn)[2]從物體之間的摩擦滯回特性角度出發(fā)，進(jìn)行遲滯摩擦阻尼器的研究開(kāi)發(fā)，通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)得出滯后特性，進(jìn)一步優(yōu)化分析模型；2011年，文獻(xiàn)[3]研究圓錐破碎機(jī)動(dòng)力學(xué)特性，分析破碎運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物料的滯回特性，采用分段雙線性遲滯模型，構(gòu)建動(dòng)力學(xué)微分方程，實(shí)現(xiàn)破碎機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性分析；2014年，文獻(xiàn)[4]考慮物料對(duì)稱滯回性質(zhì)對(duì)壓路機(jī)振動(dòng)輪進(jìn)行響應(yīng)特性分析，應(yīng)用雙線性對(duì)稱滯回模型表達(dá)物料的滯回特性，從而建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析；2015年，文獻(xiàn)[5]對(duì)Bouc-Wen滯回模型特性和能量耗散進(jìn)行研究分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)封閉的循環(huán)位移滯回模型能量耗散的數(shù)值評(píng)價(jià)，可應(yīng)用到機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)中，表達(dá)破碎物料非線性滯回力；2015年，文獻(xiàn)[6]基于物料顆粒的相互作用，對(duì)機(jī)械模型進(jìn)行數(shù)值分析和研究，得到簡(jiǎn)化的顆粒接觸特性，并運(yùn)用離散元法實(shí)現(xiàn)仿真分析。

通過(guò)擠壓破碎動(dòng)力學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)[7]，不難發(fā)現(xiàn)物料層滯回作用與曲線模型下非線性力更為接近，雙線型等分段直線型模型僅能初步對(duì)滯回現(xiàn)象進(jìn)行近似，與實(shí)際差異較大。研究液壓圓錐破碎機(jī)破碎系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況，建立三維動(dòng)力學(xué)模型，采用具有光滑特性的曲線滯回模型Bouc-Wen模型，利用合理的等效線性化方法進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)對(duì)液壓圓錐破碎機(jī)的動(dòng)力學(xué)分析。

2 液壓圓錐破碎機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

2.1 液壓圓錐破碎機(jī)主要結(jié)構(gòu)和工作原理

液壓圓錐破碎機(jī)主要結(jié)構(gòu)，如圖1所示。液壓圓錐破碎機(jī)工作原理：電動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力，經(jīng)由錐齒輪帶動(dòng)偏心套及主軸進(jìn)行旋擺運(yùn)動(dòng)，由于存在偏心，使動(dòng)錐和定錐之間距離發(fā)生周期性增大和減小，從而實(shí)現(xiàn)物料的擠壓和破碎，同時(shí)，液壓裝置可帶動(dòng)動(dòng)錐做上下運(yùn)動(dòng)，控制排料粒度和過(guò)鐵保護(hù)。

圖1 液壓圓錐破碎機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The Structure Diagram of Hydraulic Cone Crusher

2.2 液壓圓錐破碎機(jī)動(dòng)力學(xué)模型建立

液壓圓錐破碎機(jī)破碎系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。動(dòng)錐剛體做空間運(yùn)動(dòng)，具有3個(gè)自由度，分別為沿動(dòng)錐軸向移動(dòng)Z，徑向移動(dòng)r，繞動(dòng)錐軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)θ，偏心塊作為質(zhì)點(diǎn)連接在動(dòng)錐上，動(dòng)錐靜止時(shí)質(zhì)心位置O，建立絕對(duì)坐標(biāo)系（r，θ，z），動(dòng)錐運(yùn)動(dòng)時(shí)質(zhì)心位置 O′，建立相對(duì)坐標(biāo)系（r′，θ′，z′），動(dòng)錐的進(jìn)動(dòng)角，破碎過(guò)程中受物料滯回力作用。

圖2 液壓圓錐破碎機(jī)動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamics Model of Hydraulic Cone Crusher

動(dòng)錐在電動(dòng)機(jī)扭矩的作用下圍繞中心線轉(zhuǎn)動(dòng)，物料產(chǎn)生擠壓破碎，與動(dòng)錐之間存在摩擦，使動(dòng)錐發(fā)生周向自轉(zhuǎn)；偏心塊作用簡(jiǎn)諧激勵(lì)，實(shí)現(xiàn)動(dòng)錐的偏擺運(yùn)動(dòng)，同時(shí)物料對(duì)動(dòng)錐產(chǎn)生非線性滯回力；液壓系統(tǒng)控制動(dòng)錐沿其軸向方向的運(yùn)動(dòng)，考慮動(dòng)錐的進(jìn)動(dòng)角α很小，其垂直分力近似為重力，因此，建立液壓圓錐破碎機(jī)的動(dòng)力學(xué)微分方程：

式中：J1—?jiǎng)渝F繞中心線轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg/m2；J2—?jiǎng)渝F自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg/m2；m—?jiǎng)渝F參振質(zhì)量，kg；m0—偏心塊質(zhì)量，kg；T—電動(dòng)機(jī)扭矩，N/m；c1—?jiǎng)渝F周向阻尼系數(shù)；c2—?jiǎng)渝F徑向阻尼系數(shù)；c3—?jiǎng)渝F軸向阻尼系數(shù)；k1—?jiǎng)渝F周向剛度系數(shù)，N/m；k2—液壓系統(tǒng)等效剛度系數(shù)，N/m；ω—偏心塊回轉(zhuǎn)角速度，rad/s；θ—?jiǎng)渝F轉(zhuǎn)過(guò)角度，rad；r—?jiǎng)渝F徑向位移，m；z—?jiǎng)渝F軸向位移，m；e—偏心塊的偏心距離，m；f（r，r˙）—物料的非線性滯回力，N；

3 物料非線性滯回力研究

3.1 非線性滯回力模型的建立

液壓圓錐破碎機(jī)破碎過(guò)程中，物料層非線性滯回力對(duì)破碎運(yùn)動(dòng)影響很大，因此，合理分析物料層非線性滯回力，從而提高液壓圓錐破碎機(jī)動(dòng)力學(xué)分析的準(zhǔn)確性。

液壓圓錐破碎機(jī)破碎腔中散體物料會(huì)形成具有一定松散程度的物料層。破碎初始階段，物料對(duì)動(dòng)錐的應(yīng)力逐漸增大，同時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變斜率快速加大，當(dāng)物料破碎到一定粒度時(shí)開(kāi)始下落，此時(shí)應(yīng)力仍然繼續(xù)增大，但應(yīng)力-應(yīng)變斜率逐漸減??；動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線達(dá)到峰值后進(jìn)入卸載階段，料層貯存能量進(jìn)行釋放，用于料層顆粒的破碎，由于物料層具備強(qiáng)化性質(zhì)，將卸載剛度看作與加載時(shí)相等。因此，以Bouc-Wen模型[5]描述破碎物料層非線性滯回力，如圖3所示。

圖3 物料層非線性滯回力模型Fig.3 The Nonlinear Hysteretic Force Model of Material Layer

Bouc-Wen模型表達(dá)式[5]：

式中：A—系統(tǒng)振幅控制參數(shù)；β、r—滯回環(huán)尺寸與形狀控制參數(shù)；n—滯回環(huán)彈性區(qū)域到非彈性區(qū)域過(guò)渡光滑性控制參數(shù)。

3.2 非線性滯回力的等效線性化

對(duì)于式（1）b這樣的非線性系統(tǒng)，求解其非線性微分方程較困難。在分析諧波激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，常采用諧波平衡法或函數(shù)描述法[8-9]對(duì)非線性系統(tǒng)的非線性項(xiàng)進(jìn)行等效線性化處理，其中非線性項(xiàng)與系統(tǒng)激勵(lì)同頻率，且為系統(tǒng)變量顯函數(shù)，但式（2）是關(guān)于r與r˙的隱函數(shù)，因此，在函數(shù)描述法基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，對(duì)式（2）進(jìn)行等效線性化處理，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)非線性微分方程式（1）的求解。

由式（1），假設(shè)非線性函數(shù) f輸入項(xiàng) r（t）=Rsin（τ），其中 τ=ωt+φ，根據(jù)函數(shù)描述法[9]f等效線性化表達(dá)式：

式中：ks、kx—等效剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)，將式（3）進(jìn)行復(fù)數(shù)變化[10]，得：

式中：kˉ—等效線性化系數(shù)，根據(jù)函數(shù)描述法[9]可知：

顯然，結(jié)合式（2）、式（5）和式（6）是無(wú)法直接求出 ks、kx，這體現(xiàn)了函數(shù)描述法的弊端，即無(wú)法對(duì)表達(dá)式為隱函數(shù)的非線性項(xiàng)進(jìn)行等效線性化，因此為解決以上問(wèn)題，分別對(duì)式（5）、式（6）兩式進(jìn)行時(shí)間t的一階求導(dǎo)，得：

由圖3可知，根據(jù)f與r˙數(shù)值的正負(fù)，可將圖3的滯回環(huán)分成四個(gè)部分，因此f表達(dá)式簡(jiǎn)化為如下形式：

其中，η1、η2的取值，如表 1 所示。

表1 滯回環(huán)不同區(qū)域?qū)?yīng)的系數(shù)η1、η2Tab.1 The Coefficients η1and η2for Different Intervals of Hysteresis Loop

將式（12）代入式（11），得：

式中：當(dāng)n—奇數(shù)時(shí)i=1；當(dāng)n—偶數(shù)時(shí)i=2。

根據(jù)圖 3 可知，滯回環(huán)各相鄰部分的r˙（t）異號(hào)，所以式（13）中對(duì)應(yīng)的積分區(qū)間為：

由式（16）、式（17）不難發(fā)現(xiàn)，n 取不同值時(shí)，ζn、ζˉn取值不同，當(dāng) n=1 時(shí)，ζn=1，ζˉn=1。把對(duì)應(yīng) n 值的 ζn及ζˉn代入式（15），便可得到相應(yīng)階數(shù)下的kˉ值。

4 液壓圓錐破碎機(jī)動(dòng)力學(xué)分析

將非線性項(xiàng)f（r，r˙）等效線性表達(dá)式（3）代入式（1）b，得：

求解式（18），得等效線性化振動(dòng)系統(tǒng)（18）響應(yīng)振幅R為：

聯(lián)立式（15）～式（17），可得不同階數(shù) n 對(duì)應(yīng) ks、kx表達(dá)式，并將其分別代入式（19）、式（20），得出對(duì)應(yīng)階數(shù)響應(yīng)振幅R。文獻(xiàn)[11]對(duì)Bouc-Wen模型參數(shù)靈敏性進(jìn)行分析，可知n具有很低的靈敏性，隨著n值增大，滯回環(huán)光滑度逐漸降低，因此，為了使滯回環(huán)具有足夠光滑度，取 n=1，則（3）式 ks、kx為：

對(duì)液壓圓錐破碎機(jī)破碎系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，選定表2中參數(shù)值。

表2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和幾何參數(shù)Tab.2 Parameters of Structure and Size in System

圖4 考慮物料作用時(shí)動(dòng)錐徑向運(yùn)動(dòng)幅頻響應(yīng)曲線Fig．4 The Amplitude-Frequency Response Curve of Moving Cone with Considering The Effect of Materials

將表2參數(shù)值代入式（1），通過(guò)Matlab軟件，求解得破碎機(jī)動(dòng)錐在徑向方向上振幅R隨外部激勵(lì)角速度ω變化曲線圖，如圖4所示。數(shù)值結(jié)果與等效線性化結(jié)果對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)通過(guò)等效線性化方法可以較準(zhǔn)確反映破碎機(jī)動(dòng)錐動(dòng)力學(xué)特性。不考慮破碎腔內(nèi)物料作用時(shí)，破碎機(jī)動(dòng)錐振幅變化曲線，如圖5所示。曲線隨角速度ω增大而逐漸上升，最終趨于平穩(wěn)，該曲線不存在由于物料作用產(chǎn)生共振波峰，如圖4所示。

圖5 不考慮物料作用時(shí)動(dòng)錐徑向運(yùn)動(dòng)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.5 The Amplitude-Frequency Response Curve of Moving Cone without Considering The Effect of Materials

研究特定參數(shù)A、m0、m、e取不同數(shù)值時(shí)，對(duì)液壓圓錐破碎機(jī)動(dòng)錐振幅影響。隨著參數(shù)A增大，動(dòng)錐共振振幅隨之增大，且其共振頻率逐漸增大，隨著ω的增大，動(dòng)錐振幅最終趨近一數(shù)值；隨著偏心塊質(zhì)量小幅增加，動(dòng)錐振幅出現(xiàn)較為明顯的增大現(xiàn)象，且振幅最終趨近的數(shù)值有所增大。隨著動(dòng)錐質(zhì)量的逐漸增大，動(dòng)錐共振振幅減小，共振頻率有較為顯著的減小趨勢(shì)，動(dòng)錐振幅的趨近值有所減小。隨著偏心距的小幅增大，動(dòng)錐振幅出現(xiàn)了明顯的增大現(xiàn)象，且振幅最終趨近值有所增大（圖略）。

圖6 動(dòng)錐周向運(yùn)動(dòng)時(shí)間響應(yīng)曲線及相平面曲線Fig.6 The Time Response Curve and Phase Plane Curve of Moving Cone Circumferential Movement

圖7 動(dòng)錐軸向運(yùn)動(dòng)時(shí)間響應(yīng)曲線及相平面曲線Fig.7 The Time Response Curve and Phase Plane Curve of Moving Cone Axial Movement

對(duì)液壓圓錐破碎機(jī)動(dòng)錐進(jìn)行周向時(shí)間歷程運(yùn)動(dòng)分析，得出時(shí)間響應(yīng)曲線及相平面曲線，如圖6所示。θ位移和速度的振幅具有有界性，并隨時(shí)間衰減，增大電動(dòng)機(jī)扭矩T，θ位移及速度的振幅明顯減?。粚?duì)液壓圓錐破碎機(jī)動(dòng)錐進(jìn)行軸向時(shí)間歷程運(yùn)動(dòng)分析，得出時(shí)間響應(yīng)曲線及相平面曲線，如圖7所示。z位移及速度的振幅同樣具有有界性，并隨時(shí)間衰減，增大液壓系統(tǒng)等效剛度系數(shù)k2，z位移及速度的振幅明顯減小。

5 結(jié)論

（1）研究液壓圓錐破碎機(jī)破碎運(yùn)動(dòng)過(guò)程，將Bouc-Wen模型作為物料層滯回力模型，使物料層對(duì)動(dòng)錐的作用更加符合實(shí)際情況，通過(guò)合理地等效線性化方法，解決Bouc-Wen模型非線性項(xiàng)難以求解的問(wèn)題，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)對(duì)破碎系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析。

（2）通過(guò)圖4與圖5對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)隨著激勵(lì)角速度的增大，圖4考慮物料層作用的動(dòng)錐振幅存在明顯的波峰且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圖5未考慮物料層作用的情況，由此可知物料層具有很好的儲(chǔ)能與放能作用，物料層的這一性質(zhì)可以為液壓圓錐破碎機(jī)節(jié)能優(yōu)化研究提供極大幫助。

（3）通過(guò)圖可知，動(dòng)錐振幅對(duì)破碎機(jī)的一些參數(shù)具有不同程度的敏感性，其中對(duì)偏心塊質(zhì)量及偏心距較為敏感，對(duì)動(dòng)錐質(zhì)量，Bou-Wen模型參數(shù)A的敏感性較差，同時(shí)由于參數(shù)的變化，破碎系統(tǒng)的共振頻率存在不同程度的偏移。

（4）非線性滯回系統(tǒng)作為動(dòng)力學(xué)研究的一項(xiàng)前沿課題，具有十分豐富及復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，滯回系統(tǒng)引入Bouc-Wen模型，可以更為合理的反映液壓圓錐破碎機(jī)破碎系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。