周建軍，李 靜，胡 濤，尚輝輝

（杭州電子科技大學(xué) 機(jī)械電子工程研究所，浙江 杭州 310018）

1 引言

關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器是機(jī)器人的核心組成部分[1]，其設(shè)計(jì)的好壞直接決定機(jī)器人的整體表現(xiàn)。由于傳統(tǒng)機(jī)器人在功率質(zhì)量比、力質(zhì)量比、柔順性等方面與人存在很大的差距，以至于在運(yùn)動(dòng)性、安全性、能量利用率上無法達(dá)到要求；為了從根本上增強(qiáng)人機(jī)交互的安全性和對(duì)環(huán)境的適應(yīng)性，柔順關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器逐漸成為研究的熱點(diǎn)。

驅(qū)動(dòng)器的柔順性根據(jù)實(shí)現(xiàn)方法可分為主動(dòng)柔順和被動(dòng)柔順：（1）主動(dòng)柔順是指通過軟件程序定義驅(qū)動(dòng)器的柔性，使驅(qū)動(dòng)器表現(xiàn)出具有類似于理想彈性元件的行為特性；（2）被動(dòng)柔順是指在傳統(tǒng)剛性驅(qū)動(dòng)器中引入彈性元件或彈性機(jī)構(gòu)（如扭簧等），使該驅(qū)動(dòng)器具備了類似于彈性元件的固有柔性特性[2]。

國(guó)內(nèi)外已有很多關(guān)于驅(qū)動(dòng)器方面的研究。在1995年，文獻(xiàn)[3]提出SEA（SeriesElasticActuators）的概念，如今發(fā)展到VSA（Variable Stiffness Actuators）[4]，即變剛度驅(qū)動(dòng)器。變剛度驅(qū)動(dòng)器通過將簡(jiǎn)單的彈性元件或復(fù)雜的彈性機(jī)構(gòu)與傳統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)器組合，實(shí)現(xiàn)預(yù)先設(shè)計(jì)的變剛度特性。其優(yōu)點(diǎn)在于使得驅(qū)動(dòng)器具備了柔性的特點(diǎn)，增強(qiáng)驅(qū)動(dòng)器的安全性，減弱外界沖擊，內(nèi)置彈性元件使系統(tǒng)具有儲(chǔ)能和釋放能量的特點(diǎn)；但彈性元件的引入增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性，對(duì)系統(tǒng)控制和穩(wěn)定性提出了更高的要求。國(guó)外已有一批代表性的成果，根據(jù)不同的剛度調(diào)節(jié)原理將所設(shè)計(jì)的成果概括為四類：（1）平衡位置控制變剛度[5-6]；（2）仿生拮抗作用變剛度[7]；（3）有效彈性物理結(jié)構(gòu)變剛度[8]；（4）彈性結(jié)構(gòu)預(yù)調(diào)整控制剛度[9]。盡管國(guó)內(nèi)變剛度驅(qū)動(dòng)器的研究起步較晚，但也有不少成果，如可變剛度柔性關(guān)節(jié)和多指靈巧手等。在前人研究基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一種仿生拮抗變剛度關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器，該驅(qū)動(dòng)器由雙驅(qū)動(dòng)電機(jī)、彈性元件及帶輪等零件組成，可以得到良好的剛度變化特性，適用于不同載荷應(yīng)用環(huán)境，具有一定的儲(chǔ)能能力。

2 拮抗變剛度驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 拮抗驅(qū)動(dòng)原理

拮抗驅(qū)動(dòng)最典型的例子就是肘關(guān)節(jié)的肱二頭肌和肱三頭肌。肱二頭肌和肱三頭肌是一對(duì)既拮抗又協(xié)調(diào)的屈肌和伸肌，一方收縮，另一方放松，或一方放松，另一方收縮，通過兩者相互之間的收縮與放松，實(shí)現(xiàn)肘關(guān)節(jié)的屈伸運(yùn)動(dòng)。對(duì)現(xiàn)有仿生拮抗柔順驅(qū)動(dòng)器分析可知，拮抗驅(qū)動(dòng)的主要實(shí)現(xiàn)形式是人工氣動(dòng)肌肉拮抗驅(qū)動(dòng)、液壓伺服拮抗驅(qū)動(dòng)和電機(jī)彈簧拮抗驅(qū)動(dòng)。由于氣動(dòng)肌肉驅(qū)動(dòng)和伺服驅(qū)動(dòng)本身的粘彈特性，控制問題很難實(shí)現(xiàn)，綜合考慮，采用電機(jī)彈簧拮抗驅(qū)動(dòng)。

2.2 變剛度原理

變剛度機(jī)構(gòu)是仿生關(guān)節(jié)的關(guān)鍵組成部分，是區(qū)別于傳統(tǒng)剛性驅(qū)動(dòng)器的重要部件，能夠直接影響關(guān)節(jié)的變剛度性能。由于彈性元件的引入，變剛度機(jī)構(gòu)應(yīng)該具有非線性特性。以彈簧為例，其中，xOA和xOB分別代表左右彈簧變形后的長(zhǎng)度，x代表彈簧初始長(zhǎng)度。

假設(shè)1：兩個(gè)彈簧為線性彈簧，具有相同的彈性系數(shù)k，且分別由兩個(gè)電機(jī)獨(dú)立控制，這時(shí)中心塊受到的合力為：

根據(jù)剛度定義，該驅(qū)動(dòng)模型輸出剛度K：

由上式可知，系統(tǒng)的剛度為一個(gè)常數(shù)，與彈簧的形變量無關(guān)。因此，此種機(jī)構(gòu)無法實(shí)現(xiàn)剛度可調(diào)。

假設(shè)2：彈簧為非線性（彈簧的剛度K隨彈簧形變量的變化而變化），假如k（x）具有拋物線特性，中心塊的受力如下：

根據(jù)剛度定義：

上式表明，系統(tǒng)的剛度與彈簧的形變量有關(guān)且呈線性關(guān)系。

由上述假設(shè)可知，機(jī)構(gòu)具有變剛度特性的必要條件是驅(qū)動(dòng)器中的彈性元件為非線性。

本結(jié)構(gòu)用彈性張緊裝置替換傳統(tǒng)帶傳動(dòng)中的高剛性的張緊裝置[10]，而同步帶在彈性張緊輪作用下受力張緊，同時(shí)，同步帶將壓迫彈性張緊裝置產(chǎn)生變形，利用張緊裝置變形過程中表現(xiàn)出來的非線性特點(diǎn)，進(jìn)行拮抗變剛度驅(qū)動(dòng)器的設(shè)計(jì)。

2.3 拮抗變剛度關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

圖1 變剛度驅(qū)動(dòng)器模型Fig.1 Model of Variable Stiffness Actuator

一般的拮抗驅(qū)動(dòng)，其單向張緊的特點(diǎn)使得關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍受彈簧有效長(zhǎng)度的限制，且其驅(qū)動(dòng)力矩受限于單個(gè)動(dòng)力源的最大驅(qū)動(dòng)力矩。為了克服單向拮抗驅(qū)動(dòng)的局限性，在相互拮抗的動(dòng)力源之間引入第三個(gè)彈性元件，實(shí)現(xiàn)循環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)。基于以上原理，設(shè)計(jì)了三維模型，如圖1所示。該驅(qū)動(dòng)器模型包括舵機(jī)，同步帶輪，同步帶，聯(lián)軸器，軸承座，線性彈簧，張緊裝置，連桿及連接件。其中，兩個(gè)舵機(jī)固定于機(jī)架背部，并通過聯(lián)軸器分別連接帶輪1、2，再通過同步帶實(shí)現(xiàn)三個(gè)同步帶輪之間力和運(yùn)動(dòng)的傳遞，連桿與帶輪3連接；張緊裝置由三個(gè)間隔120°的張緊輪構(gòu)成，并通過軸承座約束，分別用相同的線性彈簧提供張緊力。

3 數(shù)學(xué)模型建立與靜態(tài)剛度特性分析

經(jīng)過設(shè)計(jì)計(jì)算，同步帶輪分度圓直徑d=26.7mm，同步帶長(zhǎng)=363mm以及張緊彈簧的自由長(zhǎng)度H0=35.62mm。根據(jù)這些參數(shù)，對(duì)拮抗變剛度驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)建模，并以此模型對(duì)驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行靜態(tài)剛度特性分析，并為后面的動(dòng)態(tài)性能仿真提供模型基礎(chǔ)。

3.1 數(shù)學(xué)模型

剛度即單位形變量所需要的力或力矩，剛度特性則定義為驅(qū)動(dòng)器輸出力矩T與轉(zhuǎn)角θ3之間的關(guān)系，即K=?T/?θ3。帶輪a、b分別代表驅(qū)動(dòng)輪和輸出帶輪，且關(guān)于張緊輪移動(dòng)副軸心線對(duì)稱分布，同步帶受張緊輪的作用力F發(fā)生內(nèi)凹，此時(shí)同步帶與垂直線形成銳角α，為了方便數(shù)學(xué)模型的建立，對(duì)張緊輪半徑r做了近似處理：r≈0，且忽略同步帶實(shí)際傳動(dòng)過程中，帶齒與輪齒嚙合間出現(xiàn)的滑齒。

各幾何尺寸的含義分別是：初始夾角α0、輪間同步帶初始長(zhǎng)度l0、帶輪半徑R、帶輪中心距ɑ0，如圖2所示。

圖2 驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Diagram of Actuator’s Structure

輪a對(duì)輪b的力矩Tab為：

式中：k—張緊彈簧的彈性系數(shù)；R—同步帶輪的半徑，且三個(gè)帶輪一致；hab—t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的彈簧形變量；c0、c1—張緊輪和同步帶的接觸點(diǎn)在初始時(shí)刻和t時(shí)刻與帶輪圓心連線的距離；l0、l—初始時(shí)刻和t時(shí)兩帶輪之間同步帶的長(zhǎng)度。驅(qū)動(dòng)器的扭矩T為：

根據(jù)剛度定義，扭矩T對(duì)輸出轉(zhuǎn)角θ3求導(dǎo)即為剛度，即：

3.2 驅(qū)動(dòng)器靜載剛度特性分析

驅(qū)動(dòng)器關(guān)節(jié)靜載下的剛度特性是指當(dāng)關(guān)節(jié)上加載緩慢勻速的角位移時(shí)，驅(qū)動(dòng)器所表現(xiàn)出來的剛度變化規(guī)律；t時(shí)刻的驅(qū)動(dòng)器的靜態(tài)剛度可簡(jiǎn)單的理解為驅(qū)動(dòng)器空載剛度的基礎(chǔ)上，在外部靜載的作用下引起的剛度變化，此時(shí)的剛度由驅(qū)動(dòng)輪運(yùn)動(dòng)規(guī)律（θ1，θ2）和負(fù)載運(yùn)動(dòng)規(guī)律θ3兩部分決定的。

在圖示所示2幾何中，根據(jù)它們之間存在的幾何關(guān)系計(jì)算化簡(jiǎn)之后可得=363mm，R=13．35mm，a0=78mm，解得 α0=59．62°，l0=99．79mm。

將上述參數(shù)代入式（7）中，可以得到該驅(qū)動(dòng)器剛度特性的數(shù)學(xué)模型，然后在MATLAB中進(jìn)行靜態(tài)剛度特性分析，其曲線，如圖3所示。

圖3 靜態(tài)剛度特性圖Fig．3 Static Stiffness Characteristic Diagram

在不同空載剛度下，受到靜載作用時(shí)所表現(xiàn)出來的剛度變化規(guī)律一致。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，隨著δ值的增大，驅(qū)動(dòng)器的最小剛度隨之增大，且預(yù)留給θ3的角位移量變小，即回驅(qū)角區(qū)間將減小，乃至于消失（當(dāng) δ=1．0°時(shí)）。以 δ=0．2°為例，當(dāng) θ3≤0．7rad 時(shí)，隨 θ3的增大，驅(qū)動(dòng)器的剛度變化并不明顯，說明當(dāng)驅(qū)動(dòng)器受到撞擊時(shí)，在該區(qū)間內(nèi)驅(qū)動(dòng)器有一個(gè)較大的回驅(qū)角度，可有效的保證驅(qū)動(dòng)器和使用者的安全；當(dāng)θ3＞0．7rad時(shí)，驅(qū)動(dòng)器的剛度特性近似于指數(shù)型變化規(guī)律，在該區(qū)間里，驅(qū)動(dòng)器在快速達(dá)到較高的剛度，近似剛性的狀態(tài)。

隨著空載關(guān)節(jié)初始剛度的增加，即圖3中從右向左δ的增加，驅(qū)動(dòng)器的回驅(qū)角區(qū)間將減小，乃至于消失（當(dāng)δ=1．0°時(shí)）。一個(gè)合適的回驅(qū)角區(qū)間對(duì)驅(qū)動(dòng)器的安全性和動(dòng)態(tài)性能影響較大。

4 驅(qū)動(dòng)器動(dòng)力學(xué)分析

4.1 動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中：IR—驅(qū)動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J—輸出端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；β—驅(qū)動(dòng)軸上的等效阻尼；m，L—輸出桿的質(zhì)量和長(zhǎng)度；θ1、θ2、θ3—三個(gè)帶輪的角位移；T12、T13、T23—同步帶對(duì)帶輪的扭矩，且規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍籘1、T2—電機(jī)的控制扭矩；τe—外部負(fù)載扭矩。

系統(tǒng)的拉格朗日方程，動(dòng)能及勢(shì)能如下所示：

系統(tǒng)除了受有勢(shì)力作用之外，同時(shí)還受到非有勢(shì)力M1，M2的作用，系統(tǒng)是兩自由度機(jī)械系統(tǒng)，通過拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，表達(dá)式如下：

4.2 動(dòng)力學(xué)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在ADAMS中，建立驅(qū)動(dòng)器模型并搭建小球撞擊實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，為了更好的反映驅(qū)動(dòng)器在蓄能方面的能力，取轉(zhuǎn)角差δ=0°和轉(zhuǎn)角差δ=15°進(jìn)行小球與驅(qū)動(dòng)器連桿碰撞實(shí)驗(yàn)?zāi)M，觀察碰撞之后小球的平拋運(yùn)動(dòng)；虛擬樣機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)得到，如圖4所示。

圖4 驅(qū)動(dòng)器虛擬樣機(jī)模型Fig．4 Model of Actuator Virtual Prototype

通過觀察小球落在地面上的距離可知，柔性狀態(tài)下小球平拋得更遠(yuǎn)，這得益于連桿與小球碰撞接觸時(shí)能量的傳遞；連桿獲得的能量以彈性勢(shì)能的方式儲(chǔ)存在彈簧中，柔性狀態(tài)下良好的儲(chǔ)能特性使得小球在平拋運(yùn)動(dòng)中的水平位移增加；而且撞擊過程中都有一定的回驅(qū)現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)說明該驅(qū)動(dòng)器在發(fā)生撞擊時(shí)具有一定的安全性。

為了驗(yàn)證仿真結(jié)果的可靠性，制作實(shí)驗(yàn)樣機(jī)并搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)行小球撞擊實(shí)驗(yàn)。該實(shí)驗(yàn)室為對(duì)比實(shí)驗(yàn)，連桿從同一角度，在不同的剛度條件下，以相同的速度變化規(guī)律擺動(dòng)撞擊小球。

圖5 小球撞擊實(shí)驗(yàn)Fig．5 Test of Ball Impact

撞擊實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖5所示。轉(zhuǎn)角差δ=0°對(duì)應(yīng)于2cm的水平位移，而轉(zhuǎn)角差δ=15°對(duì)應(yīng)于8cm的水平位移。產(chǎn)生該現(xiàn)象的主要原因是在撞擊時(shí)，剛度不同且兩次撞擊發(fā)生了回驅(qū)現(xiàn)象。由于彈性元件的儲(chǔ)能，小球平拋得更遠(yuǎn)，且初始剛度是δ=0°時(shí)，回驅(qū)角度大，傳遞給小球的動(dòng)能??；通過該實(shí)驗(yàn)說明驅(qū)動(dòng)器在發(fā)生撞擊時(shí)，具有一定的儲(chǔ)能性和安全性。

5 結(jié)論

根據(jù)變剛度驅(qū)動(dòng)器的系統(tǒng)組成，以及生物體關(guān)節(jié)拮抗驅(qū)動(dòng)原理，設(shè)計(jì)了一種兩自由度變剛度關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器；通過對(duì)驅(qū)動(dòng)器數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)演算，得到了該驅(qū)動(dòng)器剛度變化特性，分析了剛度變化與轉(zhuǎn)角的關(guān)系，說明該驅(qū)動(dòng)器具有變剛度特性和儲(chǔ)能特性；通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)，初步驗(yàn)證了驅(qū)動(dòng)器良好的儲(chǔ)能特性和安全性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模型基本一致。最后，研制了一臺(tái)拮抗變剛度驅(qū)動(dòng)器樣機(jī)，用該驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行簡(jiǎn)單的小球撞擊實(shí)驗(yàn)，初步驗(yàn)證了驅(qū)動(dòng)器良好的儲(chǔ)能特性和安全性。