王仲根，唐曉菀，聶文艷

(1. 安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.淮南師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

矩量法(Method of Moments， MoM)[1]在計算目標(biāo)寬帶雷達(dá)散射截面(Radar Cross Section，RCS)時需要對頻段內(nèi)每個頻率點(diǎn)逐一計算，計算效率低。隨著一些高效方法的提出，如多層快速多極子法(Multilevel Fast Multipole Method，MLFMM)[2-3]以及特征基函數(shù)法(Characteristic Basis Function Method，CBFM)[4-6]的提出，有效地提高了單頻率點(diǎn)的計算效率，但如果頻段內(nèi)需計算的頻率點(diǎn)數(shù)多，將大大增加計算量，因此如何避免對每個頻率點(diǎn)逐一計算是急需解決的一個難題。文獻(xiàn)[7-8]提出應(yīng)用阻抗插值技術(shù)以及最佳一致逼近技術(shù)減少阻抗矩陣的計算時間，但是這兩種方法采用迭代法求解方程組，存在難以收斂的問題；文獻(xiàn)[9-10]分別將漸近波形估計技術(shù)、最小二乘擬合與CBFM相結(jié)合計算目標(biāo)寬帶RCS，雖然上述兩種方法有效地減少了所需計算的頻率點(diǎn)數(shù)，但是每個采樣點(diǎn)需重新計算特征基函數(shù)(Characteristic Basis Functions， CBFs)。文獻(xiàn)[11-12]提出了一種通用特征基函數(shù)法(General Characteristic Basis Function Method， GCBFM)計算目標(biāo)寬帶RCS，該方法在待求頻段的最高頻率點(diǎn)構(gòu)造與頻率無關(guān)的通用特征基函數(shù) (General Characteristic Basis Functions， GCBFs)，該GCBFs能夠在待求頻段內(nèi)的每個頻率點(diǎn)復(fù)用，節(jié)省了每個頻率點(diǎn)計算CBFs的時間。

文獻(xiàn)[13]提出了一種GCBFs自適應(yīng)構(gòu)造方法，減少了低頻段的冗余計算，提高了計算效率；文獻(xiàn)[14]應(yīng)用奇異值分解技術(shù)(Singular Value Decomposition， SVD)對激勵數(shù)目進(jìn)行壓縮，有效地減少了GCBFs數(shù)目，但是上述兩種方法仍需重復(fù)計算每個頻率點(diǎn)的阻抗矩陣以及縮減矩陣。

本文將GCBFM與模型參數(shù)估計技術(shù)(Model Based Parameter Estimation， MBPE)[15]相結(jié)合，通過計算少量采樣頻率點(diǎn)的RCS來獲取目標(biāo)整個寬頻帶RCS，該方法有效地解決了傳統(tǒng)通用特征基函數(shù)法逐點(diǎn)計算RCS的難題，可應(yīng)用于電大目標(biāo)寬帶RCS的計算。

1 通用特征基函數(shù)法

GCBFM將待分析目標(biāo)剖分為M個子域，每個子域含有Ni個未知數(shù)(i=1，2，…，M)。在最高頻率點(diǎn)fh，用多個方向的平面波激勵照射每個子域，為每個子域構(gòu)造主要特征基函數(shù)(PCBFs)。

(1)

(2)

(3)

求解式(2)、(3)，即可得到各階SCBFs。假設(shè)在θ和φ方向上各構(gòu)造Nθ、Nφ個入射波激勵，考慮2種激化方式，每個子域均可得到2NθNφ個PCBFs(JP)、2NθNφ個第一階SCBFs(JS1)和2NθNφ個第二階SCBFs(JS2)。應(yīng)用SVD去除PCBFs以及各階SCBFs中的冗余信息，即可得到每個子域的GCBFs。假設(shè)SVD后每個子域均得到K個GCBFs，則目標(biāo)表面的電流可用GCBFs線性表示為

(4)

ZR(f)·α(f)=VR(f)

(5)

(6)

(7)

式中：α(f)為系數(shù)矩陣，直接求解式(5)并將α(f)代入式(4)，便可計算出目標(biāo)在任意頻率f處的表面電流。雖然GCBFs可以在待求頻段內(nèi)每個頻率點(diǎn)復(fù)用，但當(dāng)頻率f變化時，ZR(f)需重新構(gòu)造。從式(6)可以看出，ZR(f)構(gòu)造過程中存在大量的矩陣向量積運(yùn)算，對每個頻率點(diǎn)重新構(gòu)造縮減矩陣將不可取。本文將GCBFM與MBPE結(jié)合，通過計算少量插值頻率點(diǎn)的RCS，快速獲得整個頻段的RCS，提高計算效率。

2 模型參數(shù)估計技術(shù)

根據(jù)有理函數(shù)插值法的基本原理，變量x的解析函數(shù)f(x)可以用一個有理分式表示。假設(shè)f(x)∈C[a，b]，則在區(qū)間[a，b]上，f(x)可表示成如下形式

(8)

式中：m、n分別為分子、分母的階數(shù)，Dn(x)、Nm(x)均不可約，且Dn(x)≠0。f(x)中包含了m+n+2個參數(shù)，但自由度t只有m+n+1個，因此只需對f(x)進(jìn)行t次采樣，得到t組采樣數(shù)據(jù)(xi，f(xi))(i=1，2，…，t)，便可得到f(x)的近似表達(dá)形式。

為得到有理分式f(x)的表達(dá)式，引入Thiele連分式[16]，假設(shè)第k次采樣后，式(8)中分母Dn(x)和分子Nm(x)的表達(dá)式可通過下式確定

(9)

(10)

(11)

f-1[x0，x1，…，xi-1，x]=

(12)

式中：i=1，2，…，k，通過k次采樣后，得有理插值函數(shù)

(13)

因此在待求頻段[a，b]內(nèi)，通過對采樣點(diǎn)RCS的計算，即可得到待求頻段內(nèi)每個頻率點(diǎn)的RCS，避免了對每個頻率點(diǎn)縮減矩陣的重復(fù)構(gòu)造，提高了計算效率。

3 數(shù)值算例與結(jié)果

為驗證GCBFM-MBPE方法的有效性和精確性，分別對一個導(dǎo)體球以及一個導(dǎo)體組合體的寬帶RCS進(jìn)行了計算，SVD門限取0.001。

算例1：計算了一個半徑為0.3m導(dǎo)體球在0.1～1GHz的寬帶RCS，入射角θ=0°，φ=0°。在1GHz對目標(biāo)進(jìn)行剖分， 獲得三角單元數(shù)2 346， 將其劃分為8個子域， 未知數(shù)為5 250。 采用GCBFM， 在θ、φ方向上分別構(gòu)造20個平面波激勵，每個子域平均得到97個GCBFs，共778個GCBFs。分別應(yīng)用商業(yè)軟件FEKO、GCBFM以及GCBFM-MBPE計算了目標(biāo)寬帶RCS，計算結(jié)果如圖1所示，GCBFM-MBPE的計算結(jié)果與與FEKO吻合較好，具有較高的計算精度。在GCBFM中，采樣間隔為18MHz， 計算了51個頻率點(diǎn)的RCS， 耗時33 469s。而采用GCBFM-MBPE只需計算24個頻率點(diǎn)的RCS即可獲得目標(biāo)整個頻段的RCS，耗時16 299s，與GCBFM相比計算效率提高了51%。

圖1 導(dǎo)體球的寬帶RCS

算例2：計算了一個導(dǎo)體組合體的寬帶RCS，頻率范圍為0.1～3GHz，入射角θ=0°，φ=0°，組合體頂部邊長為0.15m，疷部邊長為0.075m，高為0.25m。應(yīng)用FEKO軟件對目標(biāo)剖分，三角單元數(shù)為2 326，沿z軸方向?qū)⑵鋭澐?個子域，未知數(shù)為5 584，采用多激勵入射共得到686個GCBFs。分別應(yīng)用GCBFM、GCBFM-MBPE計算目標(biāo)寬帶RCS，兩種方法計算結(jié)果如圖2所示，GCBFM-MBPE的計算結(jié)果與GCBFM吻合較好。在應(yīng)用GCBFM時，采樣間隔為58MHz，計算了51個頻率點(diǎn)的RCS，耗時38 732s；應(yīng)用GCBFM-MBPE時，僅計算出22個采樣頻率點(diǎn)的RCS即可獲得目標(biāo)在整個頻段的RCS，耗時18 204s，與GCBFM相比計算效率提高了53%。

圖2 組合體導(dǎo)體寬帶RCS

4 結(jié)論

本文將GCBFM與MBPE相結(jié)合實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)體目標(biāo)寬帶RCS的快速計算，該方法融合了GCBFM、MBPE兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，即利用了GCBFM無需對每個插值頻率點(diǎn)的CBFs重復(fù)計算的優(yōu)點(diǎn)，又通過插值計算避免對每個頻率點(diǎn)的阻抗矩陣以及縮減矩陣重復(fù)計算。算例驗證結(jié)果表明，GCBFM-MBPE與傳統(tǒng)GCBFM相比，計算效率得到了大幅度提高。