雷敏 孫迎娜

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。

善用圖示，尋找數(shù)量關(guān)系

在小學(xué)階段，解決問題是孩子們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，理清題目中的數(shù)量關(guān)系就成為解決問題的關(guān)鍵。借助幾何直觀，用畫圖的方式來呈現(xiàn)題目中的已知信息和所求問題，能夠幫助學(xué)生更好地分析問題。

小學(xué)階段用來幫助理解題意的圖有很多種，最常用的就是線段圖了。在我執(zhí)教的一個(gè)關(guān)于分?jǐn)?shù)解決問題的教學(xué)片段中，對(duì)同一幅線段圖（如圖），學(xué)生從不同的角度去觀察，就能得出不同的解題思路：

解法1： 650×（1+[2/5]）

解法2：650+650×[2/5]

解法3：650÷5×（5+2）

這充分體現(xiàn)線段圖在解決問題中的優(yōu)勢(shì)，僅僅只反映數(shù)量間最為本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，從不同角度可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)量之間不同的內(nèi)在聯(lián)系，從而找到不同的解題方法。除了線段圖，還可以借助其他圖示來尋找更直接的數(shù)量關(guān)系。例如：人教版四年級(jí)上冊(cè)有這樣一道題：長(zhǎng)方形綠地面積200平方米，寬度為8米，要求是長(zhǎng)不變，寬增加到24米，求擴(kuò)大后的綠地面積是多少？

題中說長(zhǎng)不變，那可以先求出長(zhǎng)，再乘新的寬，求出擴(kuò)大后的綠地面積：200÷8=25（米）25×24=600（平方米）。雖然能解決這個(gè)問題，但是借助矩形圖還可以更快捷。長(zhǎng)不變，寬由8米擴(kuò)大到24米，擴(kuò)大到原來的3倍，相當(dāng)于將綠地面積擴(kuò)大到原來的3倍，就可以得出擴(kuò)大后的綠地面積24÷8=3，200×3=600（平方米）。善于借助圖示，可以找到更快捷的解題方法。

善用圖示，突破難解之謎

動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)過程助理解

中高年級(jí)的很多問題難就難在題目往往是對(duì)一個(gè)動(dòng)態(tài)過程的描述。由于是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，中間的每一個(gè)數(shù)量都在不斷變化，所以難以找到問題的突破口。善于利用示意圖還原動(dòng)態(tài)過程，是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的幾何直觀手段，化抽象為直觀。

例如人教版五年級(jí)上冊(cè)有這樣一個(gè)題：小亮說“我的玻璃球是你的2倍”，小麗說“要是你給我3顆，我們倆就一樣多了”，他們兩人分別有多少顆玻璃球？

題目的描述不多，關(guān)系卻難以理清楚，在畫圖的過程中可以還原動(dòng)態(tài)過程，找到數(shù)量關(guān)系，從而找到解決問題的途徑。學(xué)生不單單是解決這一個(gè)問題，而是學(xué)會(huì)分析解決這類問題的方法、手段，那才是學(xué)會(huì)了解決這一類問題。

圖示顯現(xiàn)結(jié)果助分析

只有從低段開始滲透幾何直觀的數(shù)學(xué)思想，讓這種方式深入孩子們的內(nèi)心，到了真正復(fù)雜的問題，學(xué)生才有可能把這個(gè)解決問題的工具拿來就用。

五年級(jí)上冊(cè)總復(fù)習(xí)的一個(gè)練習(xí)題：某地舉行長(zhǎng)跑比賽，運(yùn)動(dòng)員跑到離起點(diǎn)3km處要返回起跑點(diǎn)，領(lǐng)先的運(yùn)動(dòng)員每分鐘跑310m，最后的運(yùn)動(dòng)員每分鐘跑290m，起跑后多少分鐘這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員相遇？相遇時(shí)離返回點(diǎn)有多少米？

如果學(xué)生不畫圖，題目描述復(fù)雜使問題更抽象。即使有的孩子想到是相遇問題，但也容易把總路程當(dāng)成一個(gè)全長(zhǎng)。有了圖就不一樣了，這個(gè)圖將兩個(gè)人的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了動(dòng)態(tài)地刻畫，對(duì)比較復(fù)雜、抽象的問題進(jìn)行了形象地描述。

有了直觀的感知，學(xué)生很容易看出相遇時(shí)兩個(gè)人的總路程是2個(gè)全長(zhǎng)，用總路程÷兩人的速度和=相遇的時(shí)間，知道了相遇時(shí)間，再求相遇時(shí)距返回點(diǎn)多遠(yuǎn)，既可以用跑得快的人減去一個(gè)全長(zhǎng)，也可以用全長(zhǎng)減去跑得慢的人的路程。

如果學(xué)生想到畫圖，那思考問題就有了方向；如果學(xué)生會(huì)畫圖，那就找到了難點(diǎn)的突破口，就抓住了問題的關(guān)鍵，解決問題就可以水到渠成。

善用圖示，驗(yàn)證反思結(jié)果

在不斷地解決問題中，學(xué)生會(huì)形成一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，或者說形成一定的思維定式，如果只是憑借經(jīng)驗(yàn)去解題，缺乏對(duì)問題的反思與檢驗(yàn)，很容易走進(jìn)一個(gè)誤區(qū)，也容易造成分析問題不全面、不嚴(yán)謹(jǐn)。

善于利用幾何直觀可以對(duì)已有的解決問題方法進(jìn)行檢驗(yàn)，形成完整嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例如學(xué)習(xí)面積單位之間的進(jìn)率時(shí)，我們遇到一個(gè)問題：在一個(gè)長(zhǎng)50厘米，寬10厘米的長(zhǎng)方形布上能剪出多少個(gè)同樣的三角巾，直角三角巾的兩條直角邊分別長(zhǎng)10厘米、4厘米。學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)是看大長(zhǎng)方形里有多少個(gè)直角三角形，很容易列出算式10×50÷（10×4÷2）=25個(gè)，可是這樣到底對(duì)不對(duì)呢？我們可以畫圖驗(yàn)證。

通過動(dòng)態(tài)想象，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)50÷4≈12（個(gè)）……2（厘米）12×2=24個(gè)。本題僅僅依靠除法的含義是不能正確解答的，更要在腦海中動(dòng)態(tài)想象生成過程。

有了這樣的幾何直觀經(jīng)驗(yàn)，也慢慢有了質(zhì)疑反思的精神，學(xué)生在學(xué)習(xí)立體圖形時(shí)，就不會(huì)單刀直入，就會(huì)在頭腦中想象進(jìn)行的過程。

例如在五年級(jí)下冊(cè)體積單位進(jìn)率中，有一個(gè)練習(xí)題：“食品廠工人要將長(zhǎng)、寬各為15cm，高為5cm的長(zhǎng)方體月餅盒裝入棱長(zhǎng)為20cm的正方體紙箱，最多能裝幾盒？當(dāng)有學(xué)生以為是用大體積除以小體積時(shí)，20×20×20÷（5×15×15）≈7（個(gè)），立刻有學(xué)生指出實(shí)際操作的限制性，教師借助動(dòng)態(tài)演示發(fā)現(xiàn)答案只能是6個(gè)。讓學(xué)生頓悟在思考這類問題時(shí)要想象出真實(shí)的擺放過程，正常擺放后還要盡量利用剩余空間。

就在學(xué)生以為只要正常擺放后考慮剩余空間就可以了，我又出示了一道題：爸爸買了一個(gè)長(zhǎng)30厘米，寬20厘米，高15厘米的長(zhǎng)方體禮盒，里面裝有媽媽愛吃的長(zhǎng)方體形狀的花生酥。每塊花生酥長(zhǎng)5厘米，寬3厘米，高2厘米，最多能裝多少塊花生酥？如果學(xué)生僅僅是考慮到正常擺放充分利用剩余空間那還不能得到最多的情況，學(xué)生的思維再一次被沖擊，怎么辦？改變花生酥的擺放方向，需要將花生酥的寬對(duì)禮盒的長(zhǎng)，高對(duì)寬，長(zhǎng)對(duì)高，那么就得到30÷3=10（塊）20÷2=10（塊），也就是說一行有10塊，共有10行，第一層有100塊，15÷5=3（層）10×10×3=300（塊）。

學(xué)生的思維進(jìn)一步發(fā)展，那由此及彼，還可以怎樣放呢？學(xué)生的思路被拓展，還可以將花生酥的長(zhǎng)對(duì)禮盒的長(zhǎng)，高對(duì)寬，寬對(duì)高，（30÷5）×（20÷2）×（15÷3）=300（塊）學(xué)生的思維能力就是在這樣一次次認(rèn)識(shí)、理解、打破認(rèn)識(shí)中不斷發(fā)展。

小學(xué)階段，解決問題的類型復(fù)雜，題目多變，如能善用、巧用幾何直觀的策略，突破難點(diǎn)，更好地理解題意，理清數(shù)量關(guān)系，簡(jiǎn)化數(shù)量間的關(guān)系，突破教學(xué)中的重點(diǎn)，破解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，必能事半功倍，讓學(xué)生體會(huì)到更多的數(shù)學(xué)樂趣，使學(xué)生愛上數(shù)學(xué)。

（作者單位：雷敏，武漢市江漢區(qū)大興路小學(xué)；孫迎娜，武漢市江漢區(qū)紅領(lǐng)巾學(xué)校）