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導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題

2018-07-17 09:29郝清鵬
新課程·中學(xué) 2018年3期
關(guān)鍵詞:洛必達(dá)法則導(dǎo)數(shù)

摘 要:高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)接軌,以高等數(shù)學(xué)為背景的命題形式成為熱點(diǎn).許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題,其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點(diǎn)考查題型.其中涉及一些高中沒(méi)有教授過(guò)的重要的數(shù)學(xué)定理,洛必達(dá)法則就是運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決高考題的很好體現(xiàn).用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)解決高考試題并將這種方法應(yīng)用于其他試題,從中可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解題的優(yōu)越性.

關(guān)鍵詞:洛必達(dá)法則;導(dǎo)數(shù);參數(shù)取值范圍

高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)接軌,以高等數(shù)學(xué)為背景的命題形式成為熱點(diǎn).許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題,其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點(diǎn)考查題型.這類題目容易讓考生想到用分離參數(shù)的方法,一部分題用這種方法很湊效,另一部分題在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決.利用分離參數(shù)的方法不能解決這類問(wèn)題的原因是出現(xiàn)了“”型的式子,而這就是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問(wèn)題,解決這類問(wèn)題的有效方法就是洛必達(dá)法則.利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,再用洛必達(dá)法則就能順利解決上面提出的“”型的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題.本文首先給出洛必達(dá)法則,然后用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)解決高考試題并將這種方法應(yīng)用于其他試題,從中可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解題的優(yōu)越性.

洛必達(dá)法則:設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足:

(1)f(x)=g(x)=0;

(2)在U0(a)內(nèi),f ′(x)和g′(x)都存在,且g′(x)≠0;

(3)=A(A可為實(shí)數(shù),也可以是±∞).則==A.

1.(2011海南寧夏理21)已知函數(shù)f(x)=+,曲線y=

f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.

(1)求a,b的值;

(2)如果當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),f(x)>+,求k的取值范圍.

解析:(1)略解,易知a=1,b=1;

(2)當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),由f(x)>+,易得k<+1-=+1.

記g(x)=+1,則g′(x)==(lnx+),

記h(x)=lnx+,則h′(x)=+=>0,從而h(x)=lnx+在x∈(0,+∞)時(shí)單調(diào)遞增,且h(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)>0;當(dāng)x∈(0,1)時(shí),

g′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有:

g(x)=(+1)=1+=1+=0,

即當(dāng)x→1時(shí),g(x)→0所以當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),g(x)>0.

因?yàn)閗

綜上所述,當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),f(x)>+成立,求k的取值范圍是(-∞,0].

通過(guò)例題1的分析,我們不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足:①可以分離變量;②用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端函數(shù)的單調(diào)性;③出現(xiàn)“”型的式子.洛必達(dá)法則是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要的求不定式極限的方法.在分離參數(shù)之后,洛必達(dá)法則就能幫助我們解決“”型的高考?jí)狠S題.

本題很容易想到分離變量的方法把參數(shù)分離出來(lái),然后對(duì)分離出來(lái)的函數(shù)g(x)=+1求導(dǎo),研究其單調(diào)性、極值.此時(shí)遇到了“當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)值沒(méi)有意義”這一問(wèn)題,很多考生陷入困境.如果考前對(duì)優(yōu)秀學(xué)生講洛必達(dá)法則的應(yīng)用,再通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練就能掌握解決此類難題的這一有效方法.

2.(2010海南寧夏理21)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2

(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.

解析:(1)略;

(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,即ex-1-x≥ax2.

①當(dāng)x=0時(shí),a∈R;②當(dāng)x>0時(shí),ex-1-x≥ax2?圳a≤.

記g(x)=,x∈(0,+∞),則g′(x)=.

記h(x)=(x-2)ex+x+2,x∈(0,+∞),則h′(x)=(x-1)ex+1,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h″(x)=xex>0,所以h′(x)=(x-1)ex+1在x∈(0,+∞)時(shí)單調(diào)遞增,且h′(x)>h′(0)=0,所以h(x)=(x-2)ex+x+2在x∈(0,+∞)時(shí)單調(diào)遞增,且h(x)>h(0)=0,因此當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),

g′(x)=>0,從而g(x)=在x∈(0,+∞)時(shí)單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有:

g(x)====,即當(dāng)x→0時(shí),g(x)→,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g(x)>,因此a≤.

綜上所述,當(dāng)x≥0且f(x)≥0時(shí),a的取值范圍是a≤.

洛必達(dá)法則是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要的求不定式極限的方法.在分離參數(shù)之后,洛必達(dá)法則就能幫助我們解決“”型的高考?jí)狠S題,分離參數(shù)是廣大學(xué)生容易想到而且易于操作的一個(gè)方法,只要掌握了洛必達(dá)法則,就能突破瓶頸順利地解決這類求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題.

通過(guò)以上例題對(duì)洛必達(dá)法則的應(yīng)用對(duì)比,我們可以感受到高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用,感受到高等數(shù)學(xué)的優(yōu)越性,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力.隨著新課標(biāo)的推進(jìn),高觀點(diǎn)下的高考命題頗受命題者的青睞,這似乎也是新課標(biāo)命題的一種趨勢(shì)和方向.因此,加強(qiáng)對(duì)高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的研究就顯得很重要也很必要.

參考文獻(xiàn):

[1]王海光.巧用洛必達(dá)法則解高考題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2017(1):47-48.

[2]唐偉.洛必達(dá)法則巧解高考數(shù)學(xué)壓軸題:函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題求解[J].西藏教育,2014(7).

作者簡(jiǎn)介:郝清鵬,男,1975年6月生,湖北十堰人,中學(xué)高級(jí)教師。2010年被評(píng)為湖北省優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師。長(zhǎng)期從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作。

?誗編輯 郭小琴

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