□　海南省洋浦中學　黃發(fā)長

□海南省洋浦中學黃發(fā)長

一、釋題：

1.把握教學內(nèi)容的本質(zhì)。

剛走上講臺的年青教師一般會有一段時間痛苦于學過的理論不能在課堂上運用，自己的教學停留在教教材上。甚至不知道知識目標教學這樣的評價概念，到了后來寫出了所謂的三維目標，其中過程與方法、情感態(tài)度與價值觀兩個維度的目標也大都是紙上談兵，千篇一律的現(xiàn)象非常普遍，普遍到懷疑自己寫后三維目標的用處。

好多年前，我曾夢想擁有一種教學模式——沒有固定教材。教學圍繞學科知識體系，以其框架為線索，單個課時設計相關命題或問題，教師引導學生在解決問題過程中，概念、定理自然生成，伴隨抽象、分析、歸納、同化，教學目標在探索過程中得到落實。還夢想著這種課堂模式完全沒有我們課堂“一統(tǒng)天下”的五段式教學設計（或五環(huán)節(jié)教學，即引入復習、新課講解、鞏固提高、小結(jié)歸納、布置作業(yè)）的嚴格框架，更沒有“下面，我們學習××，這是××考試的必考內(nèi)容”等類似將學習結(jié)果明晰指向考試分數(shù)的話語。一課時的活動看起來很隨意，整個課堂始終跟著學生的思考走。學生思維是指向終極目標——創(chuàng)造性思維的，是可持續(xù)發(fā)展的。

多年的實踐探索，我以為挖掘、激勵學生潛力，培養(yǎng)、發(fā)展學生創(chuàng)造力應該是課堂教學的核心關注。從學生創(chuàng)造力發(fā)展規(guī)律來說，一節(jié)課的教學設計有一個或多個（多數(shù)情況下應該有多個）預案，教師作為組織者，根據(jù)自己的經(jīng)驗、根據(jù)課堂實際進展適時選取、調(diào)整、修正或補充原有的相關設計。教師關注的（或者說圍繞的）的重心是學生的好奇、想像、疑問和批判思維發(fā)展之需要，課本（教材）充其量是類似《新華詞典》一樣的工具，作為科學和規(guī)范以一個直觀形象的存在幫助學生把新知識納入相應的結(jié)構(gòu)體系。新的知識點好比一次馬拉松比賽終點的那條沖線，學生是這次比賽的主角、看點和成長對象，教師是賽前幫助運動員（學生）成長的教練和比賽時跑道外的服務員。

2.數(shù)學課堂教學應重點關注思維。

“數(shù)學的基本特征是：高度的抽象性和嚴密的邏輯性，應用的廣泛性與描述的精確性，研究對象的多樣性與內(nèi)部的統(tǒng)一性。數(shù)學是一個有機的整體，它像一個龐大的、多層次的、不斷生長的、無限延伸的網(wǎng)絡，高層次的網(wǎng)絡是由低層次網(wǎng)絡和結(jié)點組成的，后者是各種概念、命題和定理。各種層次的網(wǎng)絡和結(jié)點之間是用嚴密的邏輯連接起來的?！保ㄗⅲ褐锌圃簭埞c院士語）

課堂教學的核心關注是幫助學生構(gòu)建學科知識體系，并能通過教學促進學生主動補充、完善學科知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學課堂教學把關注重點放在對思維的研究，顯然是根據(jù)數(shù)學自身特點來決定的。關注學生思維，從可持續(xù)發(fā)展角度看，關鍵在于解決一個矛盾，即處理好各種思維習慣的養(yǎng)成與各種思維習慣定式的突破之間的矛盾。

二、理論與實踐

數(shù)學課堂教學要講數(shù)學，這是共識。數(shù)學是鍛煉思維的體操，數(shù)學課堂關注學生思維是重中之重。

1.數(shù)學課堂教學要注重學生思維的啟動。

要學生主動思考，舍棄解題套路，明確知識的來龍去脈，數(shù)學課堂教學就要注重引導學生啟動思維。學生思維打開了，自主提出、思考并理解問題，總結(jié)思想方法，這就是學生的成長內(nèi)涵。

下面以《二元一次方程組的解法》第一課時為例具體談一談對學生思維調(diào)動的方法，以及存在的誤區(qū)。

（1）在網(wǎng)上隨意百度的一篇教學設計（部分），是所謂傳統(tǒng)的五環(huán)節(jié)教學模式的典型代表。

①復習引入：

1.什么叫做二元一次方程？

2.什么叫做二元一次方程組？

3.什么叫做二元一次方程組的解？

4.由 x+4y=-15得 x=______，或 y=______.

②授新（見下左圖）：

③鞏固練習（見下右圖）：

④小結(jié)：

通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？有什么感想？

⑤作業(yè)布置：（略）

這個教學設計曾經(jīng)（現(xiàn)在也依然流行）統(tǒng)治或者說至少是絕大多數(shù)一線教師在課堂教學中所采用的五環(huán)節(jié)教學法：復舊引新、新課講解、鞏固提高、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。每個環(huán)節(jié)名稱的具體描述不一定相同，不過內(nèi)容大致一樣。

這篇教學設計存在兩個明顯的疑問：

其一，復習引入應從學生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，其意義更值得研討。如該設計中第4個問題，多數(shù)課堂熱衷使用，其原因是為代入法作鋪墊。可是，我還清楚地記得我上學那會（30多年了），當老師要我填空時，我首先想的是，要求出未知數(shù)的值？而我既感覺不能求出來，又不敢確認自己的感覺是否正確，我糾結(jié)于如何解這個方程。當老師帶領我們用關于一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)時，我是云里霧里的狀態(tài)，我不知道這個方程是不定方程，不可能求出唯一的數(shù)值化的解，也不知道老師這么做的目的是為了后面用代入法解二元一次方程組作準備，在我看來老師的做法就是個游戲，是個無趣的游戲。換句話說，我沒有指向課堂后續(xù)內(nèi)容的需要，沒有指向發(fā)展或成長思維的啟動，有的頂多是被老師牽著做了個無趣游戲而已。

其次，例題的講解與鞏固練習的關系是典型的“葫蘆與畫瓢”的模仿式關系。試問：對于解一個二元一次方程組為什么非得先研究代入法？難道代入法比加減法簡單？難道具備代入法特征的方程組一定是學生先碰到？這些可以隨時想到的簡單問題很容易被教學設計者忽略，而它們涉及到課堂教學的核心問題，那就是學生主動式成長性思維是否得到了啟動？

（2）教學要追求自身的規(guī)律，不能走形式、趕時髦，否則會失去本真。下面的設計（部分）也是來自網(wǎng)絡，從教學過程“二、探究新知”開始截取。

如果一個全蝦堡比一杯圣代多6元，買一杯圣代和兩個全蝦堡共需30元，你能算出一杯圣代多少元嗎？一個全蝦堡是多少元呢？

【活動方略】

教師出示問題，學生回答，教師引入新問題。

【設計意圖】

通過問題情境，激發(fā)學生學習興趣，引出解二元一次方程組的學習。

觀察你所列的二元一次方程組和一元一次方程有什么關系？能否將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進而求得方程組的解呢？

分析我們發(fā)現(xiàn)，二元一次方程組中第一個方程y－x＝6可變形為y＝6+x，再將第二個方程x＋2y＝30中的y換為（6+x），二元一次方程組就化為一元一次方程。解這個方程，得x＝6，再把x＝6代入y＝6+x，得y＝12，從而得到這個方程組的解。

歸納：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數(shù)，然后再設法求另一個未知數(shù)．這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的想法，叫做消元思想，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

對這個教學設計，有以下幾個問題值得考量：

其一，聯(lián)系實際導出問題，讓學生體會數(shù)學來自生活實際，這快成為當下中小學數(shù)學課堂的主流。本文也是“通過問題情境，激發(fā)學生學習興趣，引出解二元一次方程組的學習”。經(jīng)驗豐富的教師知道，這種設計在實際教學中往往會出現(xiàn)兩個問題：首先，所謂的實際問題引入激發(fā)興趣，可事實是學生（至少有部分學生）不能準確列出方程或方程組，從而出現(xiàn)課堂重難點偏移，如果想避免這種偏移，教師直接拿出結(jié)論（列出方程組，忽略構(gòu)建方程組的過程），學生帶著疑惑進行后續(xù)活動，請問學生興趣何在？另外，學生列出的方程可能是一元一次方程，而不能（解方程組沒有學，學生的潛意識中第一反應肯定是一元一次方程）列出二元一次方程組。即使教師強行要學生尋求第二種方法，那可能也是算術法，這種情形下，請問如何引出新課？所以，彭翕成博士說“數(shù)學課的主要（或首要）任務是教數(shù)學、學數(shù)學、解數(shù)學問題。而不是解決實際問題。將實際問題化為教學問題，這并不是教學的主要任務。這種能力的培養(yǎng)需要各門學科（如理、化、生、通用技術、信息技術等等）的綜合，不能全由數(shù)學課來承擔?！?/p>

其二，在設計預設中，看到學生思維被忽視的影子。如“二元一次方程組中第一個方程y－x＝6可變形為y＝6+x，再將第二個方程x＋2y＝30中的y換為（6+x），二元一次方程組就化為一元一次方程。”教學過程中，教師要盡量想辦法讓學生“思”起來，然后在科學、恰當?shù)匾龑?，使課堂活動隨著學生所思所想而動，這才是有效教學的前提。本預設中“二元一次方程組中第一個方程y－x＝6可變形為y＝6+x”，試問此設計老師憑什么肯定學生列的第一個方程是yx＝6？這好比一場戰(zhàn)役開始前，作為指揮者的責任主要是制定戰(zhàn)略戰(zhàn)術，至于士兵具體如何握槍、如何扣動板機，這些絕不是制定作戰(zhàn)計劃時該考慮的問題。

（3）啟動學生思維，重點是引導學生主動思考，要注意思維指向不能偏離。解二元一次方程組第一節(jié)課把知識目標定為對代入法、加減法初步的整體感知，第二、三節(jié)課對代入法、加減法進行深化研究和提煉，這樣處理學生對方程組的解法才可能易于同化，對消元思想的理解才能深入，學生思維才能順乎自然。我在自己的課堂中經(jīng)常是這樣做的：

首先從分層教學、因材施教的角度出發(fā)，要學生按自己的理解寫一個由兩個二元一次方程組成的方程組，盡量寫自己可能會求解的二元一次方程組。寫完后，同周圍的某個同學相互交換方程組，試著解對方提供的方程組。接著由提供方程組的同學給對方講解自己寫方程組時的構(gòu)想，做題者再談自己的解題體會，討論的主題是解方程組的方法（或設想）、解方程組的疑惑。然后，讓每位同學再寫至少一個二元一次方程組，要求是自己不會解，或者估計其他同學不會解。之中，教師有意識地把比較典型的方程組在全班展示，如下面兩組方程是我曾經(jīng)的課堂上學生寫的比較典型的方程組。典型方程組展示出來之后，先讓學生獨立思考這兩個方程組各自的解法，最后找學生演排，并組織全班評講及其他解法展示、交流。

我設計這節(jié)課的想法是把握從特殊到一般的思想，從學生現(xiàn)有理解層次出發(fā)，以對策（解法）反構(gòu)特征（當然學生此時并不知道自己所寫方程組的特有特征）方程組、抽象出典型特征方程組及解法、尋求一般形式的方程組及解法。歸納提升二元一次方程組的概念及解法，經(jīng)歷這些過程的同時要特別注重數(shù)學感覺的培養(yǎng)。在整個探索過程中，提出問題、分析問題、解決問題、總結(jié)問題是在教師的引導下，學生思維自然自覺打開的。

2.數(shù)學課堂教學要注重思維品質(zhì)的培養(yǎng)

人有哪些思維品質(zhì)？哪些又是與數(shù)學重點聯(lián)系的品質(zhì)？哪些是與生俱來的？哪些是可以通過一定的方式方法進行培養(yǎng)的？尤其是數(shù)學課堂教學中能有效培養(yǎng)的？這些問題的答案可以不斷更新，這些問題值得探討，每次自覺思考這些問題會有不同層度的成長。以下，我的思考只能說是在追尋這些問題答案過程中一些小經(jīng)驗、小見解。

如果給思維附加定語，可以得到很多偏正詞組，如邏輯思維、分類思維、類比思維、結(jié)構(gòu)思維、整體思維、發(fā)散思維、聚合思維、批判性思維（審辯式思維）、創(chuàng)造性思維等等。在數(shù)學課堂教學中，哪些思維是常見的？如何對學生進行培養(yǎng)？關于這兩個問題，下面舉兩個例子進行幾個側(cè)面的剖析。

（1）《有理數(shù)的加法》課堂教學之引入方法

對于初一的學生來說，加法不是陌生概念，那為什么還要學習呢？原因在于初中在小學學習的基礎上引入新的數(shù)——負數(shù)，數(shù)得到了擴充，數(shù)擴充后，曾經(jīng)的加、減、乘、除等各種運算規(guī)則是否改變？這個問題對層次好的學生是個自然會想到的問題，對于層次差點的學生，在老師的引導下他們也是可以提出類似問題的。

按教師對學生的了解，下面分熟悉或不熟悉介紹不同的引入方法。下文所說的熟悉，是對我本人而言，指我自己的學生，不熟悉是指我曾經(jīng)在各種場合上示范課等類型課時，借用其他班級上課時的學生。

熟悉的學生。（注：課堂實錄，片段）

師：前面我們一起認識了“有理數(shù)”，以及三個“工具”（數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值），還掌握了兩個有理數(shù)的大小關系。在學習的過程中，我們還了解了一些詞語的涵義，比如“規(guī)律”、“分類”。數(shù)學學習中對一個知識點的學習過程，其實也是按一定的規(guī)律來進行的。一般來說，都是先認識它，知其名，然后解剖它，知其義，最后再運用它，知其用。在引入負數(shù)后，我們所學習的數(shù)的范圍擴充到了有理數(shù)，接下來，我們就有必要重新“審視”我們過去的各種運算，并找尋之中的規(guī)律。今天，我們先研究有理數(shù)的加法。（板書課題）

根據(jù)有理數(shù)的分類，兩個有理數(shù)相加，可以分成哪些不同的類別？

（預想答案：?。﹥蓚€正數(shù)相加；ⅱ）兩個負數(shù)相加；ⅲ）一個正數(shù)與0相加；ⅳ）一個負數(shù)與0相加；ⅴ）一個正數(shù)與一個負數(shù)相加。）

師：在上述類別中，哪些是小學已經(jīng)學過的？哪些沒有學過？沒有學過的將是本節(jié)課研究的重點問題。

【說明】?。椭鷮W生理清知識脈絡，也就是建構(gòu)知識體系，讓知識以“塊”或“結(jié)構(gòu)”的形式進行內(nèi)化；ⅱ）對規(guī)律、分類等詞語的涵義進行強化，明晰學習、探究問題的方法；ⅲ）有理數(shù)分類一般有“三分法”（見下左圖），“二分法”（見下右圖），課程標準和現(xiàn)行教材對二分法一般不作要求，有的已刪減。

陌生（主要針對公開課、比賽課等而言）的學生，下面按學生水平層次分兩類分別介紹引入方法。

①對已學內(nèi)容掌握的比較好的學生。（注：課堂實錄，片段）

師（直接板書課題）：（手指課題）加法？有必要學嗎？為什么？

（預想答案：有必要學習。因為引進負數(shù)后，有些加法規(guī)則就可能要變了，比如兩個負數(shù)相加等于什么？一個正數(shù)與一個負數(shù)相加又等于什么？還有0與一個負數(shù)相加會等于什么？）

②對已學內(nèi)容掌握的不夠好的學生。（注：課堂實錄，片段）

師（直接板書課題）：（手指課題）當引入負數(shù)后，負數(shù)參與了運算，原來的運算法則會進行相應的變化。今天，我們先從兩個數(shù)相加進行學習。請大家先試做或猜想下列各題的結(jié)果，然后我們一起“驗證”，最后爭取總結(jié)出規(guī)律。

【說明】對照有理數(shù)加法法則，先讓學生猜想計算結(jié)果，加強感性認識，再引導學生進行驗證，培養(yǎng)理性思維，最后總結(jié)規(guī)律，并加以運用，構(gòu)建知識體系，學生易于接受，也樂于接受。

從培養(yǎng)學生思維品質(zhì)的角度審視以上有理數(shù)加法新課引入的方法，我們可以窺見：提出問題、推廣問題是多運用到邏輯思維，在分析問題時多用到分類思維、類比思維，在歸納總結(jié)過程中，結(jié)構(gòu)性思維會發(fā)揮巨大作用，而這些疊加在一起，學生的創(chuàng)造性思維也就自然得到了發(fā)展與培養(yǎng)。

（2）在數(shù)學課堂教學，尤其教學比武類的課堂教學中，單節(jié)課容易以碎片的形式出現(xiàn)，授課者、評課者也往往忽視教學的長期性、缺乏整體性的思考。下面以《特殊的平行四邊形》一章的教學設計為例（本文因篇幅所限，僅以部分內(nèi)容圍繞設計與教學進行探討），大體論述一下教師在教學中對整體章節(jié)教學的關注方法，重點探討整體性思維培養(yǎng)的策略。

對這章的學習，學什么？發(fā)展什么？按傳統(tǒng)應付考試拿高分的目標，關于知識點（定義、判定、性質(zhì)）的教學無疑是重中之重，導致模仿式、機械式學習占有大量市場，主動探索，提出問題、解決問題相反就成了教學的附屬品。這章蘊含的理性美，諸如邏輯美、簡潔美、對稱美、公平與公正（平衡之美）就會被忽略掉。顯然，這樣的教學是有失偏頗的，是要糾正的。

平行四邊形、矩形、菱形、正方形，對初中生而言，這些在小學時他們已有感性認識，層次好的學生可以大致分清它們的隸屬關系。以華東師大版教材為例，這章在定義、性質(zhì)、判定的規(guī)范上，是一個完整嚴密的體系，其與自然是融合的。下面以特殊平行四邊形的同層級圖形，即矩形、菱形的判定為例說明其來自自然，又被提煉后的這種融洽、和諧之美。矩形有兩個判定，一個是關于角的，建立在四邊形的基礎上：“平面中有三個角是直角的四邊形是矩形”；另一個是關于對角線的，建立在平行四邊形的基礎上：“對角線相等的平行四邊形是矩形”。菱形也有兩個判定，一個是關于邊的，同樣建立在四邊形的基礎上：“四條邊相等的四邊形是菱形”；另一個是關于對角線的，同樣又建立在平行邊形的基礎上：“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”。在這里，平行四邊形、矩形、菱形的關系之融洽，可以把平行四邊形比作父輩，矩形、菱形好比是一對雙胞胎兒子，判定定理好比父母送給雙胞胎孩子非常公平的禮物。具體看其判定的“公平之美”，我們會發(fā)現(xiàn)矩形定義中關注了角，“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”，于是它的第一個判定以角作為切入點；而菱形的定義關注的是邊，“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，于是它的第一個判定以邊為切入點；作為本章研究圖形的三個切入點之角、邊、對角線，前面的判定用到了角與邊，剩下的就只有對角線了，“所以”在對角線上矩形、菱形都存在判定。公平、公正存在于自然中，在教材判定布局中，正是抓住了公平之特點，其判定看起來才那么自然、和諧，充滿著理性美。

綜合以上分析，對這章的學習，完全可以打破教材編寫框架，結(jié)合學生的實際情況，把平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合為一個整體，從定義、判定、性質(zhì)出發(fā)，以結(jié)構(gòu)形式、語言邏輯、演繹關系為研究入口，靈活設計進行教學。比如對定義的教學，可以把平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合起來作為一個整體進行研究。因為首先，從形式上看平行四邊形定義在四邊形圖形的基礎上，矩形、菱形建立在平行四邊形圖形上，正方形也建立在平行四邊形圖形的基礎上。作為第三層級的正方形，其定義為什么不定義在矩形或菱形的基礎上？若定義在矩形或者菱形基礎上，一方面其形式結(jié)構(gòu)是不美的、不對稱的，也是“不公平”的；另一方面，從數(shù)學感覺（感性認識）上看，平行四邊形強調(diào)的是平行，“兩組對邊平行的四邊形是平行邊形”，矩形強調(diào)的是正（角為90°為正），菱形強調(diào)了長度（四條邊的長度）相等，而作為第三層級的正方形在這里有如大海，大海海納百川，所以它建立在平行四邊形的基礎上，強調(diào)正、也強調(diào)了長度相等，“有一個角是直角、且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形”，這樣更符合它們間的隸屬關系。其次，從語言上看本章蘊藏的邏輯美、簡潔美更值得進行整體教學，這樣容易在比較中發(fā)掘特質(zhì)，給人以深刻印象。如對于矩形、菱形的定義，矩形定義中說“有一個角是直角”，為什么不說四個角是直角？因為由三線八角、多邊形內(nèi)角和公式、平行四邊形的定義等輕松推出另三個角是直角，既然可以推得，所以就只需說一個角是直角了，否則說“四個角是直角的平行四邊形是矩形”，那就重復啰嗦了；類似的，菱形的定義也是如此，只需說鄰邊相等，就自然可推得四條邊相等。把定義作為一個整體進行教學，讓學生體會到定義的建構(gòu)之美，這也是屬于自然本身的魅力。

3.數(shù)學課堂教學終極關注為創(chuàng)造性思維的發(fā)展

“數(shù)學教學的最終目標，是要讓學習者會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。而數(shù)學的眼光就是抽象，數(shù)學的思維就是推理，數(shù)學的語言就是模型。？”（東北師范大學史寧中教授語）“數(shù)學教學到底教什么呢？根據(jù)數(shù)學核心素養(yǎng)的要素，可以很自然地得出：數(shù)學教學應該教理解、教思維、教思想方法。（華東師范大學出版社基礎教育分社李文革語）

下面以《整式的乘除》第一單元第二課時《冪的乘方》教學為例，介紹對學生潛意識的發(fā)掘，及對學生創(chuàng)造性思維的關注。后面課堂實錄著重于真實記錄課堂上給學生營造自由環(huán)境后，學生好奇心漸漲、思維打開后的教學效果。

《冪的乘方》是《整式的乘除》這章鋪墊單元第一單元4個課時的第二課，第一課時是《同底數(shù)冪的乘法》，第三課時是《積的乘方》，第四課時是《同底數(shù)冪的除法》，前三個課時相對是一個整體。由于這章內(nèi)容依課程標準、教材（華東師大版）安排在八年級（初二）學習，與之前七年級（初一）學習的有理數(shù)的乘方運算在時間上相隔太久，所以對這三個課時的學習，我將其分為兩個階段。第一階段引導學生專門研究《同底數(shù)冪的乘法》，除達成應有的知識目標之外，在研究方法、知識點的回顧與儲備上為后續(xù)研究作準備。第二階段將第2、3課時的內(nèi)容揉合在一起，分兩至三個課時進行學習：首先，在前面第一課時的基礎上，調(diào)動學生的好奇心，給學生充分的時間，讓他們展開想象的翅膀，結(jié)合分類思想、類比思維，猜想、分析，并把所思所想（包括疑問）通過展示的方式表達出來（下面記錄的兩個課堂片段，就屬于本內(nèi)容的教學實錄）；其次，在上述學生展示的基礎上組織學生分析他們交流展示的內(nèi)容；最后，再結(jié)合教材內(nèi)容規(guī)范地將其進行歸納總結(jié)。

［課堂實錄●片段］

課前問題設計：上節(jié)課我們學習了同底數(shù)冪的乘法，我相信大家昨晚按以往的習慣對該內(nèi)容進行了溫習，同時在上節(jié)課內(nèi)容的基礎上進行了一定的拓展。下面，請同學們就溫習中思考或碰到的疑問，以及對新課的預想（猜想本節(jié)課將要研究的內(nèi)容），以代數(shù)式的形式表示出來。大家先獨自思考3分鐘，3分鐘之后，大家可以自由地、輪流上黑板把自己所想寫在黑板上。（注：以下是同一天在兩個不同班級上課時，學生寫在黑板上的代數(shù)式，以學生演排順序進行記錄。）

●三班：

如果仔細研究學生的思考，會有很多的結(jié)論。比如把兩個班的情況進行對比，會發(fā)現(xiàn)至少有如下幾點特別突出：

其一，給學生思考的自由，就會有奇跡。結(jié)合數(shù)學本身的特點，調(diào)動學生的主動性，學生完全可以通過自己的創(chuàng)造性思維品質(zhì)輕松推得將要學習的新知識點。如四班第一位同學在思考：上節(jié)課學的是“同底數(shù)”冪的乘法，那“同指數(shù)”冪的乘法會是什么情況呢？這實際上是教材安排的第三節(jié)課內(nèi)容《積的乘方》中公式（ab）n=anbn的逆用。相比之下三班的第一位同學看起來，好像寫了很好笑（不能再計算）的式子（a2b3），但他有思考，他在思考：上節(jié)課學了“同底數(shù)”冪的乘法，要是底數(shù)不相同呢？四班這位同學是把指數(shù)與底數(shù)概念地位等同，主要運用了類比思維思考問題。三班這位同學呢？他是否定思維，或者說運用了審辨式思維?，F(xiàn)在，你能判斷這兩名同學孰優(yōu)孰劣嗎？顯然不能，他們各自都有自己的優(yōu)點，只是思考問題的角度不同而已。

其二，學生的水平層次決定他們的所思所想，兩個平行班學生按通常所謂優(yōu)、中、差水平層次來說，各類層次的人數(shù)都差不多，所以他們的思考幾乎也是類似的，這是很奇妙的現(xiàn)象。比如兩個班都有學生提到243（（-3）2×243；3a=243,求 a），究其原因（事后我也咨詢過當事學生），原來他們在學習有理數(shù)乘方運算時曾在做作業(yè)時遇到過243=35，而當時覺得很好奇（好奇在243的末尾數(shù)是3，為奇數(shù)，可243=35），于是就記下來了，至今印象深刻。還比如兩個班學生都提到了絕對值，其原因在于這兩個學生在過去學習中，他們害怕有絕對值參與的運算，所以在課堂上提出來，想讓別人幫助他解惑。

另外，前面演排的同學會對后面同學的思考與演排產(chǎn)生積極或者消極的影響，也就是前面同學的發(fā)言對后面同學發(fā)言存在暗示，它可能是積極的啟迪，也可能產(chǎn)生消極的定勢思維、負遷移，但所有的真實思考都是值得尊重的。為了盡量避免這種現(xiàn)象，所以在學生展示前給學生足夠的時間獨立思考是非常必要的。比如四班第一位同學寫的代數(shù)式?jīng)]有用字母，而用的具體數(shù)，這一點直接影響了緊接著上臺演排的后兩位同學，他們也都用具體數(shù)字來描述所思。而第四位演排的同學又開始用字母了，為什么？其實他很可能在老師提出問題后，3分鐘的獨自思考時間里就想好了，只是沒有第一個上臺演排而已。