朱婭梅

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義務教育階段學生數學建模能力評價框架和行為測評指標

朱婭梅

（華東師范大學 考試與評價研究院，上海 200062）

2011年頒布的《義務教育數學課程標準》出現了模型思想，模型思想是數學素養(yǎng)的十大核心詞匯之一．在文獻分析的基礎上建立義務教育階段數學建模能力評價框架和行為測評指標，該測評體系為義務教育階段學生數學建模能力的培養(yǎng)和評價提供了具體參考．

數學建模；評價框架；數學化；測評指標

數學建?；顒邮且粋€強調學生數學創(chuàng)造力與問題解決能力的活動，透過這樣的活動，學生們可以發(fā)展出適用于隱藏在生活中的數學概念和其它一些可以進一步被應用的基礎概念．在建模活動中，學生被要求以數學的觀點來解釋并解決一個實際生活中所發(fā)生的復雜情境，最后學生必須形成一套關于數學的描述、數學的程序或數學的方法和工具，然后在現實生活中運用這個方法來解決問題[1]．形象地說，數學建?；顒涌梢宰寣W生體會如何通過數學的“眼睛”來觀察和認識現實世界中的一些事情，并且利用數學的“語言”來描述和分析這些事情[2]．因此，數學建模對于學生的發(fā)展非常重要，進入2l世紀，各國與各地區(qū)啟動的數學課程改革都將學生數學建模思想的形成以及數學建模能力的培養(yǎng)作為數學教育的重要目標．

1 數學建模能力的內涵

正如對問題解決的研究經歷了認知過程觀、知識結構觀以及二者的結合，數學建模的研究也有兩個取向：認知過程觀及知識結構觀，充分體現了從宏觀（重視過程、階段和系統(tǒng)結構）到微觀（重視具體知識的作用）的整合[3]．

數學建模是現實到數學的映射求解過程．如果將整個世界劃分為現實世界和數學世界的話，那么數學建模將現實與數學打通并聯系，建模就是聯結數學的“兩張臉”（two faces），即現實的數學和抽象形式的數學[4]．把數學之外領域選擇出來的實體，包括問題，映射（或翻譯）到數學領域里，通過數學方式尋找答案，并將數學領域的答案翻譯到數學之外的領域，然后解釋和評估這些答案是否適合開始提出的數學之外領域的問題．這種從數學之外領域開始，移動到數學領域尋求答案，獲得數學的結論并翻譯回到數學之外領域的過程叫做數學建模[5]．針對這個過程，研究者提出了各種經典的數學建模循環(huán)——七階段循環(huán)（Blum& Niss，1996[6]）、四階段循環(huán)（CCSSM，2010[7]）和三階段循環(huán)（PISA，2012[8]），均涵蓋了數學化（表述為數學形式）、數學求解、闡釋和轉譯3個關鍵環(huán)節(jié)，均強調數學建模起始于沒有“編輯”的現實世界，要求在問題解決之前進行數學表述，而且一旦問題獲得解決，還要回到現實世界考慮初始情境中的答案[9]．

數學建模體現了現實世界蘊涵獨特的數學規(guī)律和模式，揭示出潛藏在千變萬化的實例中內在統(tǒng)一的數學結構．為此，研究者提出“基本思想”（Blum W，1998[10]）、“直觀意義”（Fischbein，1987[11]）、“工具意義”（Usiskin，1991[12]）和“內在意義”（Noss，1994[13]）用以強調在數學建模過程中，數學與現實之間的轉換需要那些承載數學概念和數學方法的基本思想來幫助學生更好地理解數學和現實之間的關系，如減法被看作是拿掉、補充和比較，除法被看作是分割或分配，分數被看作是整體的一部分、運算符或者比率，方程將未知量當作已知量進入計算并通過等號兩邊“算兩次”求取未知量，函數反映兩個變量相互依賴的變化規(guī)律．當初中生為現實世界和數學中的現象建模并解決問題時，他們學習用變量表征未知量，也學會用方程、表和圖像來表征和分析關系．通過分析不同情境，包括物理和社會情境中的基本元素，并設計能表示元素間數學關系的表征，高中生能夠為范圍更廣泛的現象建模并分析這些現象[14]．

綜上分析，數學建模，目的是利用形式化的數學模型去反映（模寫、刻劃、表征）現實系統(tǒng)中的關系結構（關系—映射），然后利用通過對模型的邏輯分析演繹得出的結論，把它反演（翻譯）回去解答現實原型中的某些問題（反演）[15]．其中的數學模型是一個包含元素、關系、操作和相互作用的法則，并用符號系統(tǒng)表示的數學概念系統(tǒng)，這個概念系統(tǒng)被用來建構，描述，或解釋現實系統(tǒng)的行為，以便能操作或預測它們[16]．數學建模能力就是這種將現實問題表述為數學形式，并使用數學求解，將數學結果轉譯為現實結果并檢驗的能力．

2 數學建模能力評價框架的構建

近40年來，許多學者提出了各種數學建模能力評價框架，這些框架多涉及現實情境、數學內容、建模過程、建模水平4個要素．例如，Jesen[17]（2007）構建了一個3個維度的建模能力評價框架，一個人建模能力的水平可以被3個方面決定：覆蓋率（個體所能進行的建模子過程）、活動范圍（個體能進行建?；顒拥默F實情境范圍和數學內容范圍）和技術水平（個體所能運用的數學技術與概念的高級程度）．PISA 2012[18]以數學建模活動作為評價學生數學素養(yǎng)的框架，將數學建模能力分析為以下3個方面：（1）過程：描述個體將數學與情境聯系從而解決問題的過程，以及這個過程中所用到的數學能力；（2）內容：測評試題所用到的數學內容，分為4個類別；（3）背景：測評試題設置的情境，也分為4個類別．

在理論分析和文獻分析的基礎上，建構了包含4個要素的義務教育階段數學建模能力評價框架（圖1）．義務教育階段學生數學建模能力評價框架即評價學生在真實問題情境中，運用數學建立模型解決問題的能力，包括4個維度：（1）學生將要面對數學挑戰(zhàn)的4類情境（個人生活、社會生活、職業(yè)生活、科學情境）；（2）蘊含在4類數學情境下的數學知識的4個內容類別（數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐）；（3）學生將現實與數學聯系，即進行數學建模活動的過程（數學化、數學求解、解釋和轉譯、檢驗）；（4）學生進行建模活動的水平（再現、聯系、反思）．

圖1 義務教育階段學生數學建模能力評價框架

一方面從整體上看，4個關鍵環(huán)節(jié)串聯了數學建模的完整過程：數學化，數學求解，解釋和轉譯，檢驗．數學化，即將現實情境中的本質元素表示為變量，通過創(chuàng)造和選擇能夠描述變量之間關系的幾何的、圖示的、表格的、代數的或統(tǒng)計的表征形式，系統(tǒng)地闡述內含的數學結構．數學求解，即使用數學求解模型的過程，應用數學推理、使用數學概念、程序、事實和工具推導數學結果．這個過程包括執(zhí)行運算、操作代數表達式、方程和其它數學模型，分析數學圖表里的數學形式的信息，開發(fā)數學描述和解釋，并使用數學工具解決問題．解釋和轉譯即闡釋數學求解答案的過程，包括反思數學求解和答案，并在問題情境中轉譯它們．這個過程包括評估與問題背景相關的數學求解或推理，決定結果在情境中是否合理和有意義．檢驗，即在現實情境中檢驗答案是否正確．

另外一方面，現實情境、數學內容、建模水平均顯示出測評的意義．數學內容和現實領域顯示了一個人在建模過程中“數學工具箱”的體積和內容．一個能用函數關系方式對情境建模的人比那些僅能用方程“捆綁”變量的人更有能力，卻比那些也能考慮微分方程的人能力更低．一個通常能進行幾何方面建模的人在遇到離散數學或者統(tǒng)計建模時可能不是那么有能力．一個擅長在每天的購物情境中開發(fā)和使用最優(yōu)模型的人，不保證在遇到設計問題時同樣有能力．一個能對數學明顯表露的現實情境建模的人，不保證在數學內容隱藏的情境中同樣能順利建模．因此，采用4個指標反映義務教育階段學生的數學建模能力——情境范圍、內容范圍、建模過程、建模水平．一個學生所能建模的情境范圍和所用的數學知識越廣泛，在越高水平的建模任務上所能進行的建模過程越多，這個人的數學建模能力越強．

3 數學建模能力行為測評指標

在PISA 2012的數學測評框架中，把數學化的能力當做數學的一種基本能力，將建模能力主要成分的數學化能力——將現實轉譯為數學，根據調用的復雜程度劃分為3個水平，以此來預測測試題的難度．德國新的教育標準[19]，也是按照數學化的復雜程度將數學建模能力劃分為3個水平．參考以上數學建模能力水平劃分方式，按照數學建模的關鍵環(huán)節(jié)——數學化的難易程度來劃分數學建模能力水平．

再現：跳傘[20]

當跳傘時，飛機飛到4?000多米的高空．從那兒，跳傘員從飛機跳下，先自由降落將近3?000米．在1?000多米高的時候，跳傘員打開降落傘，滑翔到地面．當降落的時候，風會從水平角度吹著飛行員前行．求飛行員滑行的距離．

說明：飛行員滑行的距離是降落高度和水平距離構成的直角三角形的斜邊，可以用勾股定理計算自由降落和滑翔兩次斜邊長之和，是標準模型的識別屬于直接套用，屬于再現水平．

聯系：燈塔[21-22]

在歐洲不來梅港岸邊有一座“Roter Sand”燈塔，建造于1884年，307米高，用來警告開始看見它的船已經靠近海岸了．船離海岸線多遠時，海員將會第一次從地平線看到燈塔？

說明：船離海岸線的距離可以構建解圓與直角三角形的模型求得，燈塔、視線、船和燈塔距離構成直角三角形，同時這個直角三角形在地球這個圓的切線上，是遷移、組合標準模型解決問題，屬于聯系水平．

反思：流行病傳播預測[23]

如圖是HINI禽流感（2009）到達時間示意圖，（到達時間以當地第一例病例確診時間為準），試查閱相關數據建立一個數學模型，根據前21天到達地點和時間預測在50天內將到達的地點和時間，并以實際數據作為檢驗．

說明：該題是在復雜的現實情境中建模，情境中需要考慮各大城市的地理位置、幾何距離、各大城市之間的航班、交通流量，等等．簡單的線性回歸模型和最小二乘法是不可以直接套用或者組合的，必須設計甚至創(chuàng)造表示有效距離的公式并根據實際數據進行計算，才能使用回歸預測，因此是反思水平．

綜合上述數學建模能力3個層次的分析，并參考上海市中小學數學課程標準的認知水平分類[24]，將數學建模能力從低到高分為再現、聯系和反思3個水平，并給出具體的行為測評指標，如表1所示．

表1 數學建模能力水平行為測評指標

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Assessment Framework of Mathematical Modeling Competence Over Compulsory Education Period

ZHU Ya-mei

(East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Based on the literature analysis, this paper establish Assessment framework of mathematical modeling competence over compulsory education period, namely the evaluation of students’ ability to use mathematical model to solve real problem, including four dimensions: 1) four kinds of situations (personal life, social life, occupation life, science situation); 2) mathematical knowledge (number and algebra, graph and geometry, probability and statistics, comprehensive and practical); 3) mathematical modeling process (Mathematics, mathematical, interpretation and translation, inspection); 4) the student modeling activity level (reproduction, connect, reflection).

mathematical modeling; assessment framework; mathematization; assessment indicators

2018–02–14

教育部人文社會科學重點研究基地重大項目——義務教育階段數學學科核心能力模型與測評框架研究（11JJD880027）

朱婭梅（1987—），女，云南大理人，華東師范大學考評院學科分析師，碩士，主要從事數學學業(yè)測評研究．

G420

A

1004–9894（2018）03–0093–04

朱婭梅．義務教育階段學生數學建模能力評價框架和行為測評指標[J]．數學教育學報，2018，27（3）：93-96．

[責任編校：周學智]