唐恒鈞，HAZEL TAN，徐元根，張維忠

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基于問(wèn)題鏈的中學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)研究——一項(xiàng)課例研究的啟示

唐恒鈞1，HAZEL TAN2，徐元根1，張維忠1

（1．浙江師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004；2．莫納什大學(xué)，澳大利 亞墨爾本 3800）

以問(wèn)題解決數(shù)學(xué)觀為依據(jù)，提出基于問(wèn)題鏈的數(shù)學(xué)教學(xué)理念．課例研究中，新手教師與專家教師整體上體現(xiàn)了該理念，通過(guò)問(wèn)題鏈為學(xué)生提供逐漸深入的數(shù)學(xué)理解和一定的探索空間．在數(shù)學(xué)主題聯(lián)結(jié)上分別表現(xiàn)出知識(shí)關(guān)聯(lián)與方法關(guān)聯(lián)兩種類型，并對(duì)整個(gè)教學(xué)產(chǎn)生影響．問(wèn)題鏈教學(xué)受到課時(shí)的限制較為明顯，這需要單元設(shè)計(jì)等方式加以進(jìn)一步解決．

數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈；有效教學(xué)；課例研究

中國(guó)學(xué)生在PISA、數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽上的卓越表現(xiàn)引起了人們的廣泛關(guān)注，但在解決富有挑戰(zhàn)性數(shù)學(xué)問(wèn)題上的不足[1]，對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的狹隘認(rèn)識(shí)[2]等方面的問(wèn)題也讓人擔(dān)憂．顧泠沅等基于實(shí)驗(yàn)與反思，提出中國(guó)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革應(yīng)取得的如教師主導(dǎo)取向的有意義接受學(xué)習(xí)與學(xué)生自主取向的探究學(xué)習(xí)等若干平衡[3]．

一些調(diào)查研究表明課堂教學(xué)的改變比數(shù)學(xué)課程改革慢許多，也困難許多[4-6]，高中階段的教學(xué)改革更為艱難．因此，如何在現(xiàn)有教學(xué)傳統(tǒng)與教師信念的基礎(chǔ)上，推進(jìn)教學(xué)改革，以更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中各個(gè)對(duì)立面間的平衡？特別是，如何在歸納概括與邏輯推理的過(guò)程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)變化中的不變性，如何實(shí)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)和教師課堂指導(dǎo)基礎(chǔ)上的學(xué)生探究學(xué)習(xí)？以“問(wèn)題鏈”為載體的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施方式也許能在一定程度上促進(jìn)上述平衡．“問(wèn)題鏈”是指在課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生的、有序的主干問(wèn)題串．

該研究是基于問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)與實(shí)施的一個(gè)數(shù)學(xué)課例研究，并采用新手教師與專家教師之間對(duì)比的方式，初步考察實(shí)施過(guò)程中新手教師（NT）與專家教師（ST）有何共性與差異，為進(jìn)一步推進(jìn)問(wèn)題鏈教學(xué)提供線索．

1 數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的基本理念

著名數(shù)學(xué)家P. R. Halmos曾指出，“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”[7]．朱德全對(duì)教學(xué)本質(zhì)的哲學(xué)思考后指出，“人的發(fā)展促成問(wèn)題解決，問(wèn)題解決指向人的發(fā)展”，“問(wèn)題是教師教學(xué)的心臟，是學(xué)生學(xué)習(xí)的心臟”[8]．一些研究也將數(shù)學(xué)問(wèn)題作為數(shù)學(xué)教育改革與研究的一個(gè)重要抓手[9-13]．可見(jiàn)，無(wú)論是數(shù)學(xué)的發(fā)展，還是對(duì)教學(xué)而言，問(wèn)題都有著非常重要的意義．當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)及其發(fā)展是一種文化實(shí)踐，教學(xué)改革需要同時(shí)關(guān)注作為顯性表現(xiàn)的教學(xué)行為及其背后隱性的教學(xué)觀念．

1.1 關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)

Skemp認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)的不同認(rèn)識(shí)決定了教師不同的教學(xué)方法[14]．Ernest把教師具有的數(shù)學(xué)觀分為3種不同的類型：?jiǎn)栴}解決式的數(shù)學(xué)觀、柏拉圖主義的數(shù)學(xué)觀、工具主義的數(shù)學(xué)觀[15]．黃毅英等曾對(duì)中國(guó)大陸數(shù)學(xué)教師的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，主要持柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀，即把數(shù)學(xué)看成是一個(gè)與邏輯有關(guān)的、有嚴(yán)謹(jǐn)體系的、關(guān)于圖形和數(shù)量的精確運(yùn)算的一門學(xué)科[16]．蔡金法等的研究也得到類似的結(jié)論[17]．

而數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈期望能為學(xué)生提供數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)及其背后的數(shù)學(xué)方法論，因此更多地傾向于“問(wèn)題解決式的數(shù)學(xué)觀”．即數(shù)學(xué)是一種多樣化的、連續(xù)不斷地、由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的人類創(chuàng)造性活動(dòng)，是刻畫客觀世界和可能世界數(shù)量關(guān)系與空間形式的模式．這種觀念與教師原有觀念可能會(huì)存在一定的沖突．為緩沖其中的觀念矛盾，研究中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)觀念中的以下幾方面．

首先，數(shù)學(xué)是一種模式．?dāng)?shù)學(xué)教育中重要的不僅是作為模式的結(jié)果，還有模式的建構(gòu)過(guò)程．前者是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳承，后者則幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈及其合理性．

其次，學(xué)校數(shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)化、脈絡(luò)化存在的．作為預(yù)設(shè)性的學(xué)校教育，其數(shù)學(xué)內(nèi)容是經(jīng)過(guò)篩選整理的，因此學(xué)校數(shù)學(xué)是在數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯與學(xué)生認(rèn)知邏輯基礎(chǔ)上加以理性重構(gòu)的．在教學(xué)過(guò)程中要體現(xiàn)知識(shí)之間、方法之間的關(guān)聯(lián)，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程及其背后的方法論原理．

1.2 關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的觀念

基于學(xué)校中的數(shù)學(xué)是一種模式，并以結(jié)構(gòu)化、脈絡(luò)化的形式存在的，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中并不是所有的新知識(shí)要當(dāng)新知識(shí)來(lái)教．教學(xué)中展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法間的類比、轉(zhuǎn)化極為重要，它也能使新知識(shí)的學(xué)習(xí)變得簡(jiǎn)單而有脈絡(luò)．比如，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)等3個(gè)初等函數(shù)的教學(xué)中，將指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)當(dāng)成新知識(shí)學(xué)習(xí)，教學(xué)中放慢節(jié)奏讓學(xué)生體會(huì)研究指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)時(shí)的基本角度與方法，對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)則可以作為例題教學(xué)，給學(xué)生更多的探索空間去歸納形成其定義及性質(zhì)，而冪函數(shù)則作為練習(xí)，其教學(xué)需給學(xué)生以更大的自由探索空間．所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中擁有聯(lián)系、轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，用問(wèn)題解決的方式教學(xué)新知識(shí)，教學(xué)節(jié)奏是先慢后快的，學(xué)生探索空間也是先小后大的．

上述教學(xué)觀念不僅僅強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)已有知識(shí)及常規(guī)問(wèn)題解決方法的傳承，還強(qiáng)調(diào)展現(xiàn)如何針對(duì)問(wèn)題選擇數(shù)學(xué)知識(shí)與方法甚至建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法加以解決的過(guò)程，后者是需要學(xué)生自己親自體驗(yàn)與習(xí)得的．比如，在學(xué)生學(xué)習(xí)高中圓錐曲線中的拋物線方程時(shí)，常規(guī)的教學(xué)方法是為學(xué)生建立好坐標(biāo)系，并結(jié)合拋物線的概念求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再配以練習(xí)加以理解與鞏固．這樣的教學(xué)確實(shí)能使學(xué)生比較好地掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并以此為基礎(chǔ)解決相關(guān)的問(wèn)題．但問(wèn)題是，學(xué)生能理解這么建立坐標(biāo)系的理由嗎？因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中要為學(xué)生提供個(gè)體探索與冷靜思考的時(shí)間與空間，學(xué)生在教師所設(shè)計(jì)的主干問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行獨(dú)立探索是問(wèn)題鏈教學(xué)中非常重視的學(xué)習(xí)行為．

1.3 “數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈”及教學(xué)

“問(wèn)題鏈”教學(xué)，一方面為學(xué)生提供思考的問(wèn)題，在內(nèi)容上可以引導(dǎo)學(xué)生獲得較為深入的數(shù)學(xué)．而另一方面，問(wèn)題與問(wèn)題之間的跨度為學(xué)生多樣的思維與探索提供了可能性．

在構(gòu)建問(wèn)題鏈的過(guò)程中，首先需要考察所教學(xué)的數(shù)學(xué)主題與其它主題之間的關(guān)聯(lián)，并構(gòu)思該數(shù)學(xué)主題的教學(xué)聯(lián)結(jié)點(diǎn)．這里的關(guān)聯(lián)包括知識(shí)內(nèi)容、思想方法、研究視角等3個(gè)方面的關(guān)聯(lián)形式．其次，思考該主題學(xué)習(xí)過(guò)程中需要解決的核心問(wèn)題及其順序．再次，進(jìn)一步結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，構(gòu)建教學(xué)設(shè)計(jì)中的主干問(wèn)題鏈，并在課堂上以這一問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)．

2 課例研究過(guò)程

參與研究的新手教師擁有數(shù)學(xué)教育碩士學(xué)位，實(shí)驗(yàn)進(jìn)行時(shí)已有3年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而專家教師是′′省名師工程班學(xué)員，擁有高級(jí)職稱，并曾獲得省級(jí)教學(xué)比賽一等獎(jiǎng)．

課例研究的主題為“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”第一課時(shí)．但為了更好地突顯研究意圖，并減少教師在教學(xué)該內(nèi)容時(shí)受原有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的影響，將該內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)間提前．具體地，新手教師的學(xué)生剛學(xué)過(guò)“曲線與方程”，而專家教師的學(xué)生還未學(xué)習(xí)“曲線與方程”這一內(nèi)容．

在數(shù)據(jù)收集過(guò)程中，兩節(jié)課都被錄像并轉(zhuǎn)譯成文字，其它數(shù)據(jù)還包括授課教師的反思、研究者的田野筆記等．在數(shù)據(jù)分析的過(guò)程中，先提煉了課堂上的問(wèn)題鏈，并結(jié)合課堂觀察與課后反思提煉出每個(gè)問(wèn)題的目的，并在此基礎(chǔ)上對(duì)新手教師與專家教師的問(wèn)題鏈及其目的進(jìn)行對(duì)比；其次通過(guò)對(duì)問(wèn)題鏈的時(shí)間線分析，提煉出兩位教師教學(xué)重點(diǎn)及教學(xué)節(jié)奏的特點(diǎn)．

3 研究發(fā)現(xiàn)

新手教師與專家教師在教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂上呈現(xiàn)的問(wèn)題鏈及其目標(biāo)如表1和表2所示．

表1 專家教師問(wèn)題鏈及其目的

表2 新手教師問(wèn)題鏈及其目的

3.1 拋物線與其它主題的關(guān)聯(lián)

由表1和表2可以發(fā)現(xiàn)，專家教師以直線方程的建立過(guò)程為例，回顧解析幾何中研究直線的方法以及從建系到求出直線方程的整個(gè)過(guò)程．新手教師則從“拋物線”這個(gè)主題詞入手，激活新主題與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)聯(lián)，并通過(guò)“拋物線除了開(kāi)口方向、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸這些特征外，還有哪些特征？”引入新課．當(dāng)然新手教師在Q3中也回顧了解析幾何的研究方法，但僅作為一個(gè)子問(wèn)題以引導(dǎo)學(xué)生思考拋物線方程的求法．

可見(jiàn)，當(dāng)面對(duì)方法關(guān)聯(lián)或知識(shí)關(guān)聯(lián)的選擇時(shí)，專家教師更會(huì)關(guān)注方法上的聯(lián)系，并在整節(jié)課的實(shí)施過(guò)程中關(guān)注學(xué)生對(duì)方法的體驗(yàn)；而新手教師則更容易建立起知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，雖然也注重方法的聯(lián)系，但更多地只是將這種聯(lián)系作為方法應(yīng)用的鋪墊，而非方法本身．這里其實(shí)體現(xiàn)了兩位教師不同的教學(xué)觀點(diǎn)．即新手教師更多地是從多角度理解給定的主題，并建立不同角度之間的關(guān)聯(lián)，其目的在于對(duì)該主題內(nèi)容的深入學(xué)習(xí)；而專家教師則更重視作為某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域的通法學(xué)習(xí)，其目的是通過(guò)更具普遍性的方法統(tǒng)整學(xué)習(xí)內(nèi)容．也正是這一原因，專家教師由Q1至Q2的過(guò)渡更具有內(nèi)在連貫性．

3.2 問(wèn)題鏈中問(wèn)題間的關(guān)系及其潛在邏輯

從兩節(jié)課的一級(jí)問(wèn)題及其關(guān)系來(lái)看，除了導(dǎo)入部分的差異之外，體現(xiàn)了如下核心問(wèn)題或任務(wù)：拋物線上動(dòng)點(diǎn)具有什么特征？如何用解析幾何的方法刻畫這些特征？拋物線、準(zhǔn)線、焦點(diǎn)之間的關(guān)系以及相應(yīng)的方程或坐標(biāo)，并加以應(yīng)用．

因此，整體教學(xué)思路是一致的，均是通過(guò)作圖呈現(xiàn)拋物線的幾何特征，然后用解析幾何方法得到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，再進(jìn)一步應(yīng)用拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程以及相關(guān)概念解題．問(wèn)題鏈的建構(gòu)也以此為依據(jù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程．通過(guò)問(wèn)題使學(xué)生體會(huì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的脈絡(luò)．

進(jìn)一步分析兩節(jié)課的二級(jí)問(wèn)題，新手教師表現(xiàn)出對(duì)知識(shí)細(xì)節(jié)的關(guān)注與落實(shí)，強(qiáng)調(diào)層層遞進(jìn)的教學(xué)思路．比如，學(xué)生根據(jù)作圖過(guò)程獲得了拋物線的定義（Q2-2），教師馬上追問(wèn)“書上的定義中，為什么定點(diǎn)不在定直線上？（Q2-3）”；在獲得開(kāi)口向右的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程（Q3-4）后，新手教師又通過(guò)Q3-5和Q3-6對(duì)這一概念進(jìn)行深化理解；Q4的4個(gè)二級(jí)問(wèn)題的設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)方程”細(xì)致的理解；在對(duì)開(kāi)口向右的拋物線進(jìn)行了精細(xì)學(xué)習(xí)之后，才進(jìn)一步去討論其它開(kāi)口方向的拋物線．而專家教師則表現(xiàn)出先粗后細(xì)、前鋪墊后雕琢的教學(xué)思路．比如，關(guān)于定點(diǎn)不能在定直線上這一問(wèn)題，專家教師是在學(xué)生考察了所有4個(gè)開(kāi)口方向的拋物線之后才提出來(lái)的（Q4-4）；關(guān)于拋物線開(kāi)口方向與定點(diǎn)、定直線的關(guān)系，專家教師在畫第一條拋物線之后就讓學(xué)生開(kāi)始想象（Q2-2）．

反思中，新手教師認(rèn)為新知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)盡可能地細(xì)化，“因?yàn)槿绻蛔⒁?，可能?huì)對(duì)后面的理解與解題產(chǎn)生影響．比如說(shuō)，如果學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程中的‘標(biāo)準(zhǔn)’二字理解不到位，就會(huì)在解題中出錯(cuò)．”專家教師也指出，“知識(shí)的細(xì)化很重要，這往往也是教學(xué)難點(diǎn)，這需要慢慢地輔墊．可以是先放得開(kāi)一些，然后回過(guò)來(lái)再作進(jìn)一步精煉，這其實(shí)也是數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的本來(lái)面目．”可見(jiàn)，雖然基于問(wèn)題鏈的教學(xué)試圖更多地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，但新手教師會(huì)在知識(shí)形成與知識(shí)同化兩種學(xué)習(xí)邏輯上徘徊，表現(xiàn)出“發(fā)展性”與“控制性”兩種數(shù)學(xué)價(jià)值取向[18]間的博弈，而專家教師強(qiáng)調(diào)知識(shí)的形成過(guò)程，體現(xiàn)出較為一致的“發(fā)展性”價(jià)值取向．

3.3 課堂行為與時(shí)間分布

根據(jù)對(duì)課堂教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)放式編碼分析，提煉出課堂上出現(xiàn)的以下7種課堂行為：教師解釋（A）、教師演示（B）、教師布置任務(wù)（C）、師生問(wèn)答（D）、學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)（E）、學(xué)生表述與解釋（F）、教師呈現(xiàn)學(xué)生作品并（由教師或?qū)W生）解釋（G）．根據(jù)這一分類得到兩位教師的教學(xué)活動(dòng)時(shí)間線：

NT:_B_D_B_ D_E_D_E_D_ E_ E_ E_ D_ end

ST: D_ E_ E_ B_ D_ E_ E_ E_ D_ E_ D_ end

圖1直觀地呈現(xiàn)了兩節(jié)課課堂行為的時(shí)間線，可見(jiàn)各類活動(dòng)的安排比較瑣碎．這似乎表明，教師在課堂上會(huì)不斷地細(xì)化學(xué)習(xí)任務(wù)．圖2顯示了不同類型的課堂行為在整節(jié)課中所占的時(shí)間百分比．其中，“師生問(wèn)答”是最常見(jiàn)的活動(dòng)形式，兩課均占整節(jié)課的34%左右，曹一鳴等也將此行為作為數(shù)學(xué)課堂關(guān)鍵性最高的A層教學(xué)行為[19]．教師在反思中表明了這樣做的兩個(gè)主要原因，一是為了能按時(shí)完成教學(xué)任務(wù)并適應(yīng)學(xué)生的實(shí)際，這是對(duì)教學(xué)現(xiàn)實(shí)理性把握與妥協(xié)；二是因?yàn)?，他們長(zhǎng)期以來(lái)已習(xí)慣于問(wèn)答式的教學(xué)，在課堂上不自覺(jué)地問(wèn)了許多小問(wèn)題．

圖1 時(shí)間線上課堂行為

圖2 不同課堂行為的時(shí)間比重

其次是學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)，專家教師和新手教師的課上分別占22.09%和25.97%．進(jìn)一步考察兩節(jié)課上要求學(xué)生獨(dú)立完成的具體任務(wù)，新手教師的課上共有10分36秒，分布在拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程形成過(guò)程中的求方程階段（3′57″），根據(jù)已知拋物線求標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)（3′10″），例題求解（3′29″），均為求值的問(wèn)題．而專家教師的課上共有9′45″，分布在回憶研究直線的解析幾何方法（37′），建立合適的坐標(biāo)系（4′38″），求標(biāo)準(zhǔn)方程（2′40″），根據(jù)已知拋物線求標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)（1′6″），因此將一半以上的時(shí)間放在方法的回顧和坐標(biāo)系的建立上．

另外，專家教師習(xí)慣于在任務(wù)布置的過(guò)程中非常明確地表達(dá)要求（占14.84%，而新手教師只占2.45%）．專家教師在反思中指出，“這樣做能提前解決學(xué)生容易誤解的地方”．可見(jiàn)，盡管專家教師強(qiáng)調(diào)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的過(guò)程，但又通過(guò)教學(xué)對(duì)其中一些容易出錯(cuò)的問(wèn)題加以控制，這同樣體現(xiàn)在專家教師對(duì)課堂上的解釋與說(shuō)明予以重視（占9.93%，而新手教師只占2.2%）．比較而言，新手教師更強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生作品的評(píng)價(jià)以及學(xué)生自己的解釋（分別占17.39%和10.86%，而相應(yīng)地專家教師課上分別為5.59%和5.17%）．她認(rèn)為，“學(xué)生作品是很重要的學(xué)習(xí)資源，特別可以讓學(xué)生從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)．另外，學(xué)生的解釋不僅可以給其他同學(xué)以啟示，也能進(jìn)一步理清他自己的思路．”這里似乎體現(xiàn)出專家教師在教學(xué)中出現(xiàn)了更具控制性的價(jià)值取向，而新手教師則表現(xiàn)了更具發(fā)展性的取向，這與之前問(wèn)題鏈的分析結(jié)果出現(xiàn)了差異．也說(shuō)明教師的價(jià)值取向在不同情境下會(huì)有所變化．即，專家教師在知識(shí)形成過(guò)程中強(qiáng)調(diào)發(fā)展性，而在解題過(guò)程中強(qiáng)調(diào)控制性；新手教師在解題過(guò)程中表現(xiàn)出發(fā)展性，在知識(shí)形成過(guò)程中則處于兩種價(jià)值取向的徘徊狀態(tài)．

3.4 課堂教學(xué)的重心與教學(xué)節(jié)奏

將兩節(jié)課的問(wèn)題鏈按照教學(xué)功能進(jìn)行歸納提煉，可以分成復(fù)習(xí)引入、拋物線概念形成（包括實(shí)驗(yàn)與觀察、特征與定義等環(huán)節(jié)）、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建立（包含建立坐標(biāo)系、方程求解、標(biāo)準(zhǔn)方程概念等）、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程深化（包括拋物線各要素間的關(guān)系、其它開(kāi)口方向的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程等相關(guān)問(wèn)題）、例題、作業(yè)、小結(jié)等環(huán)節(jié)．

由時(shí)間的分布看（表3），拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立是兩節(jié)課的共有教學(xué)重點(diǎn)，新手教師和專家教師分別占28.5%和28.2%，但從二級(jí)環(huán)節(jié)來(lái)看，新手教師將重點(diǎn)放在根據(jù)設(shè)置好的坐標(biāo)系求方程，而專家教師則將重點(diǎn)放在坐標(biāo)系的建立上．兩節(jié)課在其它環(huán)節(jié)的重視程度明顯不一致．具體地，新手教師的教學(xué)比重從高到低依次為深化理解（29.7%），例子（24%），拋物線概念形成（15%），復(fù)習(xí)（1.9%），小結(jié)（0.9%）；而專家教師則依次是復(fù)習(xí)（24.8%），拋物線概念形成（20.1%），深化理解（15%），作業(yè)（6.2%），小結(jié)（0.8%）．

表3 各教學(xué)環(huán)節(jié)的時(shí)間比重

另外，從圖3可以發(fā)現(xiàn)，專家教師的課堂節(jié)奏整體上呈現(xiàn)出前松后緊的特點(diǎn)，課的前半段更強(qiáng)調(diào)方法的學(xué)習(xí)，而后半段則變成方法的應(yīng)用，特別表現(xiàn)在“深化理解”這一環(huán)節(jié)上．整節(jié)課試圖體現(xiàn)以問(wèn)題為明線、以方法為暗線，前慢后快的教學(xué)節(jié)奏．新手教師的課堂則將教學(xué)的重心均衡分配，特別關(guān)注與求值、解題相關(guān)的內(nèi)容．

圖3 不同教學(xué)環(huán)節(jié)的時(shí)間比重

4 結(jié)論與反思

首先，兩位教師的教學(xué)都在一定程度上體現(xiàn)了“問(wèn)題鏈”教學(xué)的理念．從問(wèn)題鏈來(lái)看，呈現(xiàn)了以下邏輯：對(duì)動(dòng)點(diǎn)幾何特征的歸納中形成拋物線概念，讓學(xué)生體會(huì)客體變化中的本質(zhì)不變性（幾何特征）；在此基礎(chǔ)上利用解析幾何的方法研究拋物線的幾何特征，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)模式觀念；又通過(guò)研究其它開(kāi)口方向的拋物線體現(xiàn)類比思維和共同的方法．同時(shí)通過(guò)問(wèn)題鏈將整節(jié)課引向深入，為學(xué)生提供高水平數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，通過(guò)學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)，也讓學(xué)生有一定的探索空間．

其次，從問(wèn)題鏈的具體設(shè)計(jì)與實(shí)施而言，雖然兩節(jié)課均表現(xiàn)出對(duì)“關(guān)聯(lián)”的重視，但聯(lián)結(jié)點(diǎn)不同：知識(shí)關(guān)聯(lián)與方法關(guān)聯(lián)．這種差異除了表現(xiàn)在作為教學(xué)聯(lián)結(jié)點(diǎn)的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，還表現(xiàn)在二級(jí)問(wèn)題的設(shè)計(jì)、教學(xué)重心的安排等方面．其背后體現(xiàn)了兩位教師不同的教學(xué)觀點(diǎn)．即新手教師強(qiáng)調(diào)知識(shí)層層遞進(jìn)，而專家教師則強(qiáng)調(diào)先粗后細(xì)、前鋪后琢．進(jìn)一步從時(shí)間線的角度看，方法聯(lián)結(jié)能較好地實(shí)現(xiàn)前慢后快的教學(xué)節(jié)奏，更能體現(xiàn)“問(wèn)題鏈”教學(xué)的理念．

再次，盡管兩節(jié)課最終完成預(yù)定的教學(xué)任務(wù)，學(xué)生也能解決預(yù)設(shè)的大部分問(wèn)題，但教學(xué)時(shí)間的限制仍是影響“問(wèn)題鏈”教學(xué)的重要因素．雖然兩位教師在課堂上采取細(xì)化問(wèn)題鏈、師生問(wèn)答等方法加快教學(xué)節(jié)奏，但都存在不同程度的超時(shí)現(xiàn)象．事實(shí)上，當(dāng)采用問(wèn)題鏈進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師都試圖為學(xué)生提供較多的探索空間，這勢(shì)必會(huì)增加教學(xué)時(shí)間．由前述，“方法聯(lián)結(jié)”能使教學(xué)節(jié)奏變得前慢后快，因此在未來(lái)的“問(wèn)題鏈”教學(xué)中應(yīng)更多地倡導(dǎo)“方法聯(lián)結(jié)”，讓學(xué)生體驗(yàn)、獲得數(shù)學(xué)探究的基本視角與通法．另外，還應(yīng)探索并實(shí)踐單元設(shè)計(jì)的思路，將具有共同研究視角或共通研究方法的數(shù)學(xué)主題作為一個(gè)單元，進(jìn)行整體設(shè)計(jì)與實(shí)施，重新調(diào)整單元內(nèi)各主題的課時(shí)，并體現(xiàn)以下教學(xué)思路：通過(guò)第一個(gè)主題的學(xué)習(xí)提煉并獲得基本的研究視角與方法，并在后續(xù)主題中以問(wèn)題解決的形式加以應(yīng)用．

盡管從目前的試驗(yàn)來(lái)看，參與的教師能接受這一改革理念，也能在課堂中加以采用，學(xué)生也能獲得較好的數(shù)學(xué)體驗(yàn)．但值得注意的是，該研究主要是在一個(gè)教師專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目中得以實(shí)施的，因此所形成的研究共同體是松散的，在時(shí)間上也表現(xiàn)出零散性，課例研究的數(shù)量也非常有限．因此，未來(lái)需要開(kāi)展更深入而具有連貫性的探索．

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Effective Teaching with Mathematics Question-Chain in Senior High Schools

TANG Heng-jun1, HAZEL TAN2, XU Yuan-gen1, ZHANG Wei-zhong1

(1. College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China; 2. Faculty of Education, Monash University, Melbourne 3800, Australia)

Ideal of teaching mathematics with question-chain was proposed based on the mathematical conception of problems solving. In a lesson study, both novice teacher and specialist teacher implemented the ideal in their classes, aimed to provide students with gradually deepening mathematical understanding and a certain exploring space. There were two kinds of mathematics connections used by the novice and the specialist respectively, i.e. content connectionmethods connection, which influenced latter instruction. Its value was limited by class time, which needed more studies on solutions such as unit plan.

mathematical question-chain; effective teaching; lesson study

2018–01–08

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目——文化視野下中澳數(shù)學(xué)課程的比較研究（14YJC880066）；浙江師范大學(xué)研究生重點(diǎn)課程建設(shè)一般項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教材分析

唐恒鈞（1979—），男，浙江余姚人，副教授，博士后，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究．

G632

A

1004–9894（2018）03–0030–05

唐恒鈞，HAZEL TAN，徐元根，等．基于問(wèn)題鏈的中學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)研究——一項(xiàng)課例研究的啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：30-34．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]