劉春艷

?

理解試題內(nèi)涵 把好教學方向——從一道北京中考試題說起

劉春艷

（北京教育學院 數(shù)學系，北京 100120）

中高考改革在目前的教育改革中備受關注，考試試題變化會直接影響學校課堂教學．正確發(fā)揮考試的導向作用，真正理解試題是關鍵．以2013年一道北京中考壓軸題為例，解析試題的命制過程，分析考生作答情況，給出教學建議：認真分析課標教材，將“認知過程”落實到教學中；充分關注概念學習，用“結(jié)構(gòu)體系”串聯(lián)章節(jié)知識；真正理解能力立意，將“能力分解”進行整體設計．

中考試題；能力立意；認知過程；概念學習

目前，新課程背景下的又一輪中高考改革正在逐步展開，這次改革更聚焦考試科目的選擇和考試內(nèi)容的改革．一方面，通過考試科目的選擇能甄別出考生的興趣特長，為學生規(guī)劃自己的人生發(fā)展方向提供坐標；另一方面，通過考試內(nèi)容引導教學、服務教學，使教師更關注學科本質(zhì)和內(nèi)在價值、更注重學生能力的培養(yǎng)．簡言之，就是要將現(xiàn)在的中高考從“指揮棒”功能，轉(zhuǎn)變?yōu)椤胺掌鳌惫δ埽瑸榻虒W服務,為學生的成長發(fā)展服務．

一線教師非常重視考試題的變化，但他們往往只關注變化的形式，而對變化的實質(zhì)缺乏應有的分析，由此導致了教學的偏差．在“以考定教”的現(xiàn)實下，理解命題的立意和試題的內(nèi)涵，毋庸置疑是充分發(fā)揮中高考試題的導向作用，讓考試助力教學改革的一個關鍵問題．北京近年中考數(shù)學最后一題有很大的變化，受到廣泛關注，也對一線教學產(chǎn)生一定的影響．如2013年中考的最后一題，受到各方面的好評，且在各種考試中被多次改編．但是作者在教師培訓中發(fā)現(xiàn)，一線教師對此題的理解存在很多問題，因此，以該題為例，從試題命制的角度分析題目的內(nèi)涵，并結(jié)合考生解答情況所反應出的問題，給出一些教學建議．

（1）當⊙的半徑為1時．

①在點、、中，⊙的關聯(lián)點是_________；

（2）若線段上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，求這個圓的半徑的取值范圍．

1 試題的命制

下面從試題的立意、情境和設問3個方面進行分析．

1.1 試題的立意

能力立意是目前中高考命題的原則，也就是要將能力考查置于命題的核心位置．該題作為北京中考最后一題，重點考查考生的數(shù)學抽象概括能力和邏輯推理能力，也就是要求考生會對問題或者已有信息進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，會用演繹、歸納和類比進行推理，同時要求考生會利用數(shù)學的符號語言，準確、清晰、有條理地進行表達．在實際操作中，命題者一般將抽象概括能力和推理論證能力整合為邏輯思維能力[1]．

1.2 情境的設置

為了實現(xiàn)上述考查目的，該題以平面直角坐標系、一次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、特殊三角形、以及圓的相關內(nèi)容為素材，設置新情境，并以新定義的形式呈現(xiàn)題干．這樣，就將抽象概括能力和邏輯推理能力的考查融入到解決問題的過程中，具體體現(xiàn)在將上述初中數(shù)學的主干知識遷移到不同情境中，由此可以檢測考生思維的深度、廣度和靈活度，并能在一定程度上反映出學習潛能[2]．

該題中的“關聯(lián)點”是以數(shù)學符號語言的形式直接給出的，在解題中，需要等價轉(zhuǎn)化為圖形中的位置關系．對于這個定義首先要明白“存在”的含義是“有”，可以“不唯一”；其次在尋找點和點的過程中，需要將這兩個點看作圓上的動點，∠的大小隨著點和點的變化而變化，因為點和點是在圓上變化，所以∠的大小是有范圍的．在分析∠取值范圍時，需要對點的位置分3種情況討論，即點在圓內(nèi)、在圓上和在圓外．最后要分析每種情況中60°是否在∠的取值范圍內(nèi)？若使∠=60°，那么點和點的位置有什么特殊要求？進而得到一個圓的所有關聯(lián)點在半徑為其2倍的同心圓上和圓內(nèi)，反過來，同心圓上和圓內(nèi)的所有點都是該圓的關聯(lián)點．在理解新定義的過程中，需要觀察、比較、歸納、類比，并充分利用一般到特殊、特殊到一般等推理形式，從背景中逐步抽象概括出新定義的結(jié)構(gòu)特征[3]．

1.3 設問的形式

試題最后要通過設問的形式來呈現(xiàn)，不同的設問形式直接影響題目的難度．該題選擇了一題多問的形式．第一問又分為兩小問，第一小問是填空形式的判斷題，判斷具體的點是否是定圓的關聯(lián)點．每一個判斷對象都是一類元素的代表，形式熟悉，只判斷不用書寫證明過程，起點低．第二小問是求解形式，關鍵是明白一個定圓的所有關聯(lián)點的位置，考查對新定義本質(zhì)特征是否理解，承上啟下，具有一定難度．第二問也是求解形式，對于具體的關聯(lián)點尋找滿足條件的圓的半徑的最值，也就是從反面考查對新定義的理解．

題目層層設問，由正到反，由靜到動，由淺到深，也是為理解新定義逐步搭設臺階，為不同水平的考生提供展示的平臺．

2 考生解答情況

全市有84?540名考生作答，該題滿分8分，平均分0.90分，難度0.11，區(qū)分度0.19．難度曲線如圖1所示，文中所有數(shù)據(jù)均來自《中考數(shù)學分析報告（命題研究版）》北京教育考試院2013年7月．

圖1 難度曲線

作為壓軸題，對于高分段的學生的確起到了很好的區(qū)分作用，但是總體上，考生的得分情況并不理想，該題只有215名考生得滿分．具體得分情況如表1所示．

表1 具體得分情況

由統(tǒng)計數(shù)據(jù)，此題39%的考生得0分，這些考生中有兩千多考生的數(shù)學總成績超過100分；有47%的考生此題得1分，而這些考生全卷平均分已經(jīng)超過90分．基于數(shù)據(jù)分析，結(jié)合閱卷和部分師生訪談情況，具體分析此題在解答過程中存在的問題如下．

2.1 直接放棄作答

一是由于考生不能讀懂題意，無從下手，有的考生直接放棄解答得0分；由于此問是填空形式的判斷題，因此有的考生采取“猜”的辦法直接判斷3個點都是關聯(lián)點，根據(jù)得分標準可以得1分．

二是有些考生根本沒有看題就放棄解答，理由是作為新情境的壓軸題肯定難．有些教學水平中等或者較差的學校，教師在備考中就明確告訴學生：試卷最后幾道題太難，是給高水平學生做的，與你們無關．還有很多教師和考生都覺得新情境的題目在日常教學中根本不可能涉及，更無法通過反復練習來習得，所以對于此類題目不要浪費時間和精力．此題得0分的考生中絕大多數(shù)是這種情況．

2.2 不能正確理解題意

一是不能正確理解新定義中的數(shù)學符號語言．有些考生錯誤地認為“存在”是“有”而且“唯一”的意思，導致對新定義的理解出現(xiàn)偏差，而新定義是該題的核心，因此該題解答錯誤．

二是不能理解題目各問之間的邏輯關系．題目的第（1）問中①是對于具體的、特殊的例子進行判斷，每個例子作為一類元素的代表，其判斷方法具有一定的代表性．在后面的問題解答中，最關鍵的一步是需要考生將這些具體的、特殊的例子推廣至一般，也就將每一類情況分析清楚，進而得到一個圓的所有關聯(lián)點．第（1）問是利用新定義從正面、靜態(tài)的角度來研究問題，第（2）問是利用新定義從反面、動態(tài)的角度研究問題．前面的問題是為后面的問題作鋪墊的，很多考生沒有體會到整個題目的內(nèi)在邏輯關系，缺少主動推廣的意識和能力，導致后續(xù)解答出現(xiàn)困難．

2.3 邏輯推理不嚴謹

一是對于第（1）問中①，考生憑幾何直觀很快就得到答案．由于此問不需要書寫理由，很多考生都沒有從邏輯上進行嚴格的證明，對新定義的理解就可能出現(xiàn)問題．不要求書寫過程并不是不需要思考，這里就暴露了考生思維不嚴謹．

二是很多考生能正確得到一個圓的所有關聯(lián)點，求解問題直接給出結(jié)論，沒有推理過程．考生在第（2）問求圓半徑的取值范圍時，很多考生也是只有結(jié)論沒有推理過程．

三是書寫過程不嚴謹，考生的數(shù)學符號化表征能力比較薄弱，不能用嚴謹規(guī)范的數(shù)學符號語言清晰準確地表達邏輯關系．比如最后一問中，不等式中符號是大于還是大于等于，前后表達比較混亂，這也說明考生思維不夠嚴謹．

3 教學建議

在對教師的訪談中發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)教師認為此題難的原因是“新”，沒有見過的題目自然就是難題．在一所基礎比較薄弱的市區(qū)初中校調(diào)研時，請8位教師現(xiàn)場作答，只有一位教師答案完全正確，兩位教師表示此題自己也不會做．教師對試題的理解必然會影響到相關內(nèi)容的教學，不少學校因此增加大量的此類題型練習，加重了學生的課業(yè)負擔，這是與命題者的初衷相背離的．為此，從關注課標和教材，處理好知識與認知過程、章節(jié)結(jié)構(gòu)體系以及能力培養(yǎng)之間的關系等方面給出一些教學建議．

（1）認真分析課標教材，將“認知過程”落實到教學中．

所有考試都會明確設定考核范圍．以北京中考考試說明為例，明確提出：“數(shù)學學科考試以教育部頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的‘課程目標’與‘課程內(nèi)容’的規(guī)定為考試范圍．”歷年考試中，很多考查基礎知識和基本技能的基礎性題目直接來源于教材，甚至區(qū)分較高水平考生的難題的素材和背景也來源于教材，是對教材內(nèi)容的再思考，北京這道中考題就是一個例子．

該題與圓的內(nèi)容密切相關，圓心角和圓周角的內(nèi)容是圓的主要性質(zhì)．在教材中，對于∠，點和點在圓上，點運動到圓心和圓周這兩個特殊位置得到圓心角和圓周角，通過分類討論，利用圓的對稱性得到圓周角定理．對于這部分內(nèi)容可以進一步思考，當點運動到圓內(nèi)其它位置或者圓外，∠的大小有什么變化？反過來，當點固定，點和點在圓上運動時，∠的大小有什么變化？∠有可能是60°嗎？當點在什么位置時，∠＝60°的情況一定存在？這也就是北京中考題的關聯(lián)點的背景．

對于圓心角和圓周角的學習，從定性的角度來看，兩者之間的位置關系是一個角的頂點在運動過程中的兩種不同的特殊情況，從定量的角度來看，兩者之間的數(shù)量關系就得到圓周定理．利用運動變化、變與不變的辯證關系來分析，圓心角與圓周角的內(nèi)在聯(lián)系也是圓的對稱性的體現(xiàn)．利用圓的對稱性，在研究⊙的關聯(lián)點范圍時，也只需要研究點在軸上的變化情況．因此，無論是背景來源，還是研究方法，考試題目與教學相關內(nèi)容一脈相承．

另外，該題涉及平面直角坐標系、圓、銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)等內(nèi)容，都是初中數(shù)學主干知識，考核的認知層次的要求與課標中的要求是一致的．有的老師認為該題考查了直線與圓的相關內(nèi)容，所以拔高了相關內(nèi)容的認知要求，提高了相關內(nèi)容練習題的難度，甚至將高中解析幾何內(nèi)容下放到初中，這種觀點顯然是不對的．

在日常教學中，首先要處理好課標、教材與考試之間的關系．課標是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據(jù)，教材是課標的具體化，因此認真研究課標和教材是教學的出發(fā)點[4]．其次，對于具體的數(shù)學知識，要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的理解，注重知識的來龍去脈，明確知識之間的內(nèi)在聯(lián)系[5]．最后，要認真分析具體知識的考核要求，不能盲目提高認知要求，加重學生學習負擔．對于具體知識認知過程的正確理解是教學目標制定的基礎，也是教學目標達成的判斷標準．

（2）充分關注概念學習，用“結(jié)構(gòu)體系”串聯(lián)章節(jié)知識．

在數(shù)學學習中，概念學習是一個非常重要的內(nèi)容．在日常的概念教學中，常常是概念形成與概念同化兩種方式結(jié)合使用，一般需要經(jīng)歷這樣幾個過程：教師提供具體典型的案例，引導學生觀察歸納共同特征得到概念的定義；再指導學生通過對正例和反例的比較、分析和概括等思維活動，明確概念的關鍵屬性；最后學生通過應用概念，將新概念納入已有的知識體系中，形成概念系統(tǒng)[6]．

該題是利用數(shù)學的符號語言直接給出關聯(lián)點的定義，定義中通過數(shù)量關系和位置關系描述了點與圓之間的聯(lián)系，需要學生充分利用已有的認知基礎，體會定義的關鍵屬性．該題的第（1）問中的①，就是通過典型正例和反例幫助學生進一步理解定義，通過對多個特例（包括正例和反例）的圖形進行觀察、比較、分析，歸納概括得到定義的本質(zhì)特征，也就是將定義歸結(jié)為“到圓心的距離小于等于直徑的點就是該圓的關聯(lián)點”．接下來就是利用關聯(lián)點的定義來解決問題．

而學生在解題過程中，通過閱讀，利用已有認知結(jié)構(gòu)中的有關知識來理解新定義的過程就是概念同化的過程，逐步解答各問的過程與數(shù)學概念學習的過程大致相同．

在課堂教學中，教師對于具體的知識（如定義、定理和公式等）和技能（如計算、畫圖等）是非常關注的，但是對于研究問題的方法和知識之間的內(nèi)在聯(lián)系缺少思考．以三角形內(nèi)容為例，從具體事例中抽象出基本圖形，給出三角形定義及其符號表示，明確構(gòu)成要素，以要素為標準對三角形進行分類；研究三角形的基本性質(zhì)，也就是研究三角形構(gòu)成要素及相關要素之間的關系；研究三角形的全等與相似；特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的性質(zhì)與判定等．在整個過程中始終注重與相關知識的聯(lián)系和應用，按照“定義、表示—劃分—性質(zhì)—特例—聯(lián)系與應用”，從定性到定量展開研究的[7]．平面幾何的內(nèi)容，如四邊形、圓等都是按照這個邏輯體系展開的，該題的大致結(jié)構(gòu)也是類似的．

因此，該題一方面考查了數(shù)學概念學習的基本過程和基本方法，另一方面也考查了研究幾何對象的基本結(jié)構(gòu)．不僅僅要求學生通過概念解決一個具體的問題，更要求學生能夠建立知識、概念間的深層次的聯(lián)系，形成對學科整體的認識和體會，把握學科的整體意義和整體結(jié)構(gòu)．在日常教學中，要從整體上進行教學設計，既要注重概念學習，又要注重學科的結(jié)構(gòu)體系，通過凸顯數(shù)學的內(nèi)在邏輯關系，才能將各個章節(jié)緊密聯(lián)系在一起，學生只有真正理解這些內(nèi)容之間聯(lián)系，才能更有序更有邏輯地去研究新內(nèi)容．

（3）真正理解能力立意，將“能力分解”進行整體設計．

由前面的數(shù)據(jù)可知，數(shù)學成績九十多分甚至一百多分的考生此題只得0分和1分，這些學生對于基礎知識和基本技能的掌握程度還是比較好的，但是無法遷移到新情境中，暴露了能力培養(yǎng)方面的問題．

命題中能力立意的核心，主要是考查思維能力、學習潛能、創(chuàng)新意識和實踐能力[8]．為區(qū)分簡單記憶與理解掌握，考查能力的試題大多具有立意新、情景新、設問新的特點，考生解決問題的過程就是展現(xiàn)數(shù)學能力的過程[9]．該題要求考生通過對特例的合情推理，探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再利用演繹推理證明一般性的結(jié)論．在這個過程中需要反復觀察、實驗、計算、歸納、概括來揭示新定義的內(nèi)涵，要求學生具備較高的抽象概括能力和邏輯推理能力[10]．讀懂題意要求學生具備一定的數(shù)學閱讀能力，而正確解答要求學生具備一定數(shù)學符號語言的表達能力．

能力是指一個人完成某種活動所必備的比較穩(wěn)定的個性心理特征．能力作為活動的穩(wěn)定調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)是在獲得知識、智力技能與操作技能的基礎上，通過廣泛遷移、不斷概括化、系統(tǒng)化及類化而實現(xiàn)的，能力的形成過程比知識技能的形成過程更復雜、需要的時間更長，因此教師要認真分析能力的內(nèi)涵，逐步有計劃地培養(yǎng)[11]．

以推理論證能力中的合情推理為例．合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果，這里就存在“什么是已有的事實”“如何歸納和類比”等問題[12]．在培養(yǎng)學生合情推理能力的教學中，首先要讓學生明白，對于一般情況具有的某個性質(zhì)，特殊情況也具有，因此從特殊情況的性質(zhì)去推測一般情況是否具有同樣的性質(zhì)是可行的，但是反過來特殊情況具有的性質(zhì)一般情況未必具有；其次教師要通過具體情境進行示范——什么樣的問題可以從特殊情況入手？什么是特殊情況？如何分析特殊情況？如何將特殊情況的性質(zhì)推廣至一般？或者由一類問題的性質(zhì)類比得到另一類問題的相似性質(zhì)？

比如，前面提到的圓周角定理的探究過程就是培養(yǎng)合情推理能力的很好載體．在教學中，請學生思考“圓心角與圓周角大小關系”，如果學生無從下手，可以啟發(fā)學生，以前研究新問題時一般采取什么方法？是否可以類比以前研究的方法？逐步引導學生，從特殊情況（如是直徑時）入手，猜測圓周角與圓心角的數(shù)量關系再進行證明．證明過程中，發(fā)現(xiàn)兩個角的位置關系比較復雜，先從最簡單也是最特殊情況（即圓心在圓周角的一邊上）開始證明，反思證明中的關鍵環(huán)節(jié)，將證明方法推廣至一般．這樣的示范要反復多次，每次要有側(cè)重；然后教師要引導學生去實踐，啟發(fā)學生回顧教師的示范過程，讓學生提出解決問題的方案并進行實際操作[13]．當學生能有意識去思考時，教師再創(chuàng)設新情境讓學生獨自經(jīng)歷合情推理的全過程．

學生從“無意識”地解題，到“有意識”地主動思考，再到“有能力”獨自解決問題，需要一個長期、不斷反復的過程．很多時候，學生在聽教師講解時并不覺得特別晦澀難懂，但是自己獨立面對問題時總是想不到，就是缺少主動思考的意識和能力[14]．很多老師通過考前的題海訓練來培養(yǎng)學生的思維能力，顯然是不可取的．在具體教學中，教師要將學生數(shù)學能力的形成過程進行分解，始終將能力培養(yǎng)作為課堂教學的一條主線，根據(jù)教學內(nèi)容和學生情況進行整體設計，并且有意識有計劃有步驟地進行實施[15]．能力一旦形成會具有較好的穩(wěn)定性，如果學生真的具有合情推理的意識和能力，在面對新情境的問題時就會有章可循．

分析每一年中高考試題中的新變化，目的是為了更好地服務于日常教學．這種服務不僅僅體現(xiàn)在課堂教學中又多了一份題目的素材，更重要的是對試題立意的剖析來反思日常教學的問題．以上通過對北京市2013年中考數(shù)學壓軸題的分析可以得出，日常教學不僅要關注知識、還要關注知識間的聯(lián)系、更要關注知識形成過程中的能力培養(yǎng)，要為學生的數(shù)學發(fā)展進行整體設計并有效實施．

[1] 任子朝，周遠方，陳昂，等．高考數(shù)學科考核目標研究[J]．數(shù)學通報，2013，52（7）：1-8．

[2] 任子朝．能力立意命題的理論與實踐[J]．數(shù)學通報，2008，47（1）：24-28，32．

[3] 陳昂，任子朝．數(shù)學高考中實踐應用能力考查研究[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（3）：15-18．

[4] 劉春艷．數(shù)學高考改革的“能力立意”：基于高考試題變化的解析[J]．中小學管理，2017（9）：11-13．

[5] 王光明，刁穎．高效數(shù)學學習的心理特征研究[J]．數(shù)學教育學報，2009，18（5）：51-56．

[6] 曹才翰，章建躍．數(shù)學教育心理學[M]．3版．北京：北京師范大學出版社，2014：112-117．

[7] 章建躍，陳向蘭．數(shù)學教育之取勢明道優(yōu)術[J]．數(shù)學通報，2014，53（10）：1-7，封底．

[8] 趙思林，翁凱慶．高考數(shù)學命題“能力立意”的問題與對策[J]．數(shù)學教育學報，2013，22（4）：85-89．

[9] ANDERSON L W．布魯姆教育目標分類學[M]．修訂版．蔣小平，譯．北京：外語教學與研究出版社，2011：51-52．

[10] 劉春艷．以“考改”促“課改”：北京高考題目變化的目標與取向[J]．中小學管理，2016（1）：14-16．

[11] 喻平．數(shù)學核心素養(yǎng)評價的一個框架[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（2）：19-23，59．

[12] 李興貴，王新民．數(shù)學歸納推理的基本內(nèi)涵及認知過程分析[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（1）：89-93．

[13] 王光明，劉丹．初中生數(shù)學學習策略調(diào)查問卷的設計與編制[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（3）：19-24．

[14] 嚴虹，游泰杰，呂傳漢．對數(shù)學教學中“教思考 教體驗 教表達”的認識與思考[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（5）：26-30．

[15] 張惠英，王瑞霖．基于核心素養(yǎng)的數(shù)學測評研究——以河北省2017年中考數(shù)學試題為例[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（5）：31-35．

Comprehending the Connotation of Test Questions and Steering School Teaching in the Right Direction——Talking about a Beijing Senior High School Entrance Examination Question

LIU Chun-yan

(Mathematical Department, Beijing Institute of Education, Beijing 100120, China)

Among current educational reforms, the reform on senior high school and college entrance examinations attracted extensive attention, and variations on exam questions could affect school classroom teaching directly. In order to enable exams to play their guiding role correctly, it was crucial to have a true understanding of test questions. This article took the finale question of a recent Beijing Senior High School Entrance Examination as an example to dissect its proposing process, analyze examinees’ answers, and gave the following teaching suggestions: paying close attention to the cognitive process of knowledge learning, connecting textbook chapters and sections by certain structural system, decomposing the ability objective, and implementing all the aforementioned measures gradually in everyday teaching.

the Senior High School Entrance Examination; ability orientation; the cognitive process of knowledge learning; concept learning

2018–01–02

北京教育學院重大課題——中高考改革背景下的數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展策略研究（JYZD201510）

劉春艷（1972—），女，吉林長春人，副教授，主要從事數(shù)學教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）03–0035–04

劉春艷．理解試題內(nèi)涵 把好教學方向——從一道北京中考試題說起[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（3）：35-38．

[責任編校：周學智]