馬天青

【摘 要】本文例舉數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的基本方法與策略，提出要創(chuàng)設(shè)情境、滲透數(shù)學(xué)思想；設(shè)計問題、浸潤數(shù)學(xué)思想；小組合作、交流數(shù)學(xué)思想；教師引導(dǎo)、點撥數(shù)學(xué)思想；題組練習(xí)、運用數(shù)學(xué)思想；課堂小結(jié)、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想；單元復(fù)習(xí)、串聯(lián)數(shù)學(xué)思想；學(xué)業(yè)測評、提升數(shù)學(xué)思想；課外活動、延伸數(shù)學(xué)思想，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】課堂教學(xué) 數(shù)學(xué)思想 創(chuàng)設(shè)情境 設(shè)計問題

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）03B-0112-03

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，它揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想?！边@就要求教師全面挖掘、深刻分析、及時提煉數(shù)學(xué)思想，并在教學(xué)各個環(huán)節(jié)中循序滲透。

要在課前宏觀設(shè)計滲透數(shù)學(xué)思想的策略。數(shù)學(xué)思想隱含在數(shù)學(xué)知識中，與具體的數(shù)學(xué)知識結(jié)合成為有機(jī)整體，無法像數(shù)學(xué)知識那樣編為章節(jié)來教學(xué)。因此教師要總體把握每本教材、每個章節(jié)、每一節(jié)課中隱含的數(shù)學(xué)思想，宏觀設(shè)計滲透數(shù)學(xué)思想的框架，微觀擬定滲透數(shù)學(xué)思想的方案。在教案中必須寫出怎樣讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成、發(fā)展、應(yīng)用的過程，怎樣喚起學(xué)生深層次的數(shù)學(xué)思考，怎樣激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，怎樣切實可行地滲透數(shù)學(xué)思想等。老師成竹在胸，學(xué)生才會學(xué)有所獲。

要懂得課堂是滲透數(shù)學(xué)思想的主陣地。教師要精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，循序滲透數(shù)學(xué)思想，盡力打造高效課堂和智慧課堂。

一、創(chuàng)設(shè)情境，滲透數(shù)學(xué)思想

良好的開端是成功的一半，興趣是最好的老師。因此老師應(yīng)該根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)而豐富的教學(xué)情景，滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生興致勃勃地走進(jìn)課堂。如人教版八下《17.1 勾股定理》的導(dǎo)入，我們組創(chuàng)設(shè)如下情境（見圖 1）：

這是一個經(jīng)典的滲透數(shù)學(xué)思想的情境，通過動人的故事、美麗的圖案和精彩的設(shè)計導(dǎo)入課題，巧妙滲透了觀察、抽象、猜想、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、演繹等數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)教材中同類情境很多，都可以利用，充分發(fā)揮其作用。

二、設(shè)計問題，浸潤數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)是大腦的體操，問題是數(shù)學(xué)的心臟。老師要善于在知識的關(guān)鍵點、障礙點、數(shù)學(xué)思想滲透點精心設(shè)計問題，并給學(xué)生足夠的時間思考，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地學(xué)習(xí)、思考、感悟數(shù)學(xué)思想。 如人教版七上《第 2 章 數(shù)學(xué)活動 3 》，筆者設(shè)計如下：

請同學(xué)們觀察手中的月歷（每個小組的月歷不同），并思考下列問題：

（1）橫排上的數(shù)字的排列規(guī)律。

（2）縱列上的數(shù)字的排列規(guī)律。

（3）對角線從上方到下方的數(shù)字排列規(guī)律。

（4）用矩形框住的四個數(shù)字的規(guī)律，你能用字母驗證這個規(guī)律嗎？

（5）將（4）中的某行數(shù)向右（左）移動一個數(shù)字的位置后，（4）中的規(guī)律成立嗎？為什么？

（6）用矩形框住月歷中的九個數(shù)字。

①這九個數(shù)字和與方框正中心的數(shù)有什么關(guān)系？

②將矩形移動幾個位置試試其中的關(guān)系還成立嗎？

③你能證明這個結(jié)論嗎？

（7）上述結(jié)論對于任何一個月的月歷都成立嗎？為什么？

三、小組合作，交流數(shù)學(xué)思想

在學(xué)生充分思考的基礎(chǔ)上，用小組競賽的方式鼓勵學(xué)生合作交流，大膽展示。尊重學(xué)生的個體差異和多樣化學(xué)習(xí)的需要，促使全班學(xué)生積極主動地、富有個性地學(xué)習(xí)。如，人教版九上《 24.1.1 圓》，筆者要求學(xué)生先預(yù)習(xí)、思考，再討論下列問題。

學(xué)生在思考、交流、展示的過程中掌握本節(jié)課必要的基礎(chǔ)知識與技能，感悟歸納、數(shù)形結(jié)合、類比、從特殊到一般、從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。

四、教師引導(dǎo)，點撥數(shù)學(xué)思想

對學(xué)生獨立思考、小組交流后存在的問題，老師要正確引導(dǎo)，巧妙點撥，熱情鼓勵。眾所周知，中考壓軸題知識點多、綜合性強(qiáng)、數(shù)學(xué)思想活，要引導(dǎo)學(xué)生攻克這一難關(guān)，教師必須認(rèn)真研究全國各地近幾年的壓軸題，先按題型分類，同一題型從易到難排序；再對學(xué)生進(jìn)行專項訓(xùn)練、批閱、講評、糾錯、鞏固。如探究拋物線中特殊三角形的存在性就有：（1）直角頂點位置分類；（2）等腰三角形的兩腰分類；（3）全等（相似）三角形的對應(yīng)元素的分類，等等。壓軸題的訓(xùn)練與講解是點撥數(shù)學(xué)思想的好方法之一。

五、題組練習(xí)，運用數(shù)學(xué)思想

在挖掘本質(zhì)的數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上，把課內(nèi)外作業(yè)設(shè)計成梯度漸進(jìn)的題組，有效訓(xùn)練。講評時，教師不能只給答案，而要啟發(fā)學(xué)生：你是怎么想的？你為什么會這么想？同學(xué)們還有沒有別的解法？哪種方法更簡單？等等。如，學(xué)完九下《第 28 章 銳角三角函數(shù)》之后，筆者設(shè)計的題組如下（一組圖形，多種結(jié)論）：

〖活動一〗畫圖說話

請同學(xué)們先在草稿本上畫一個 RtΔABC，∠C=90°，按下面要求寫結(jié)論。

（1）邊與邊的關(guān)系：

（2）角與角的關(guān)系：

（3）邊與角的關(guān)系：

（4）其他結(jié)論：

〖活動二〗添線識圖

請同學(xué)們畫出 RtΔABC 斜邊 AB 上的高 CD，并按要求寫結(jié)論。

（1）所有的直角：

（2）所有相等的銳角：

（3）所有的平方和等式：

（4）所有相似的三角形：

（5）所有的比例式：

（6）所有的等積式（包括射影定理）：

〖活動三〗智力大比拼

（1）如果畫出 RtΔABC 外接圓 O，你又能寫出哪些新結(jié)論？

（2）如果把 RtΔABC 繞斜邊 AB 所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成什么樣的幾何體？你能求出它的表面積嗎？相信你是最棒的。

（3）你還有什么新的發(fā)現(xiàn)？讓大家共享你的智慧。

六、課堂小結(jié)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想

課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生反思和評價自己的學(xué)習(xí)情況，老師予以鼓勵，讓學(xué)生感受成功的喜悅。同時老師還要強(qiáng)化本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想，并為下一次課設(shè)下懸念，激勵學(xué)生課外繼續(xù)探討。如，人教版七上《 3.1.1 一元一次方程》（第 1 課時）的小結(jié)，我們組設(shè)計如下：

又如，人教版八下《17.1 勾股定理》（第 1 課時）的小結(jié)，我們組這樣設(shè)計：

七、單元復(fù)習(xí)，串聯(lián)數(shù)學(xué)思想

在復(fù)習(xí)梳理知識點的同時，還要對數(shù)學(xué)思想進(jìn)行串聯(lián)，使學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的價值，實現(xiàn)質(zhì)的“飛躍”。如人教版八上第 13 章第 3 單元《等腰三角形》復(fù)習(xí)，我們組設(shè)計為：

先回顧等腰三角形的定義、性質(zhì)和判定，然后設(shè)計練習(xí)，對數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用進(jìn)行串聯(lián)和總結(jié)。

1.第一類題目：分類討論

（1）等腰三角形的兩條邊的長分別是 5 和 8，則它的周長為 ；若兩邊長分別為 3 和 8 ，則它的周長為 。

（2）已知等腰三角形一個角為 50°，則底角的度數(shù)為 ；若這個角為 100°，則底角的度數(shù)為 。

（3）等腰 △ABC 一腰上的高與另一腰的夾角為 30°，則頂角的度數(shù)為（ ）

A.60° B.120° C.60°或 150° D.60°或 120°

教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：

在解與等腰三角形相關(guān)的題目時，經(jīng)常會運用分類思想進(jìn)行討論。

等腰三角形的邊不確定→分類（滿足三邊關(guān)系）。

等腰三角形的角不確定→分類（滿足三角形的內(nèi)角和定理）。

2.第二類題目：方程思想

（1）如下左圖，在 △ABC 中，AB=AC，AD=BD=BC，求∠A 的度數(shù)。

（2）如下右圖，∠DEF=36°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠A 的度數(shù)。

（教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：這兩個題如果把∠A 的度數(shù)設(shè)為 x，列方程解答可以化繁為簡，體現(xiàn)方程思想在幾何計算題中的應(yīng)用）

3.第三類題目：轉(zhuǎn)化思想

一 變式二

變式三 變式四

已知，如上左圖，AB=AC，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB。問：圖中有幾個等腰三角形？

變式一：若將題中 △ABC 改為一般的三角形，其他條件不變。問：線段 EF 與 BE、CF 有何數(shù)量關(guān)系？

變式二：若過 D 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F，則圖中增加了幾個等腰三角形？

變式三：將 CD 變成 △ABC 的外角 ∠ACG 的平分線，其他條件不變。EF 與 BE、CF 之間有什么數(shù)量關(guān)系？

變式四：BD、CD 為 △ABC 兩外角 ∠CBM、∠BCN 的平分線，其他條件不變。EF 與 BE、CF 之間有什么數(shù)量關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：

角與角的轉(zhuǎn)化→相等角之間的代換。

邊與角的轉(zhuǎn)化→在同一個三角形中等邊對等角，在同一個三角形中等角對等邊。

邊與邊的轉(zhuǎn)化→相等線段之間進(jìn)行代換。

八、學(xué)業(yè)測評，提升數(shù)學(xué)思想

教師命題時，要重視數(shù)學(xué)思想的測評點。提倡教師引導(dǎo)學(xué)生自主命題，按“個人選題—小組篩選整合—老師挑選試卷測評—師生共同分析利弊—命題者修改完善”的程序循環(huán)進(jìn)行，如此這般，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解自然而然得到提升。

九、課外活動，延伸數(shù)學(xué)思想

課外活動是課堂教學(xué)的補充，教師應(yīng)該組織學(xué)生參加一題多解、專題講座、智力競賽、編手抄報、制作模型、統(tǒng)計調(diào)查等活動，讓學(xué)生在活動中延伸數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)是思維的種子，是培養(yǎng)學(xué)生“會思想”的載體，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想和方法建構(gòu)知識體系，使數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【基金項目】教育部中國智慧教育督導(dǎo)“十三五”科研規(guī)劃重點課題“教育模式創(chuàng)新的研究與實踐”之子課題“初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的策略與方法”（EDUZHI 30041-KYKT1468）。

（責(zé)編 盧建龍）