王鳳

摘 要：自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》實(shí)施以來(lái)，動(dòng)手操作便成為老師重視的學(xué)習(xí)方法，課堂上學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)也明顯增多，但是在教學(xué)中動(dòng)手操作的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值表現(xiàn)不夠。在此，審視當(dāng)今的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，進(jìn)一步探討了動(dòng)手操作的必要性。

關(guān)鍵詞：動(dòng)手操作；思維；聯(lián)結(jié)點(diǎn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，“認(rèn)真聽(tīng)講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！毙W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的動(dòng)手操作，其價(jià)值不僅在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還在于讓學(xué)生通過(guò)在親力親為中加深認(rèn)知體驗(yàn)，將思維從無(wú)序引向有序，同時(shí)也提高了思維能力，積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題提供了保障。布魯納認(rèn)為，動(dòng)作—表象—符號(hào)是兒童認(rèn)知發(fā)展的程序，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的認(rèn)識(shí)序列。

緣起：一次聽(tīng)課帶來(lái)的觸動(dòng)

二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)平均分”這一課，有一位教師在練習(xí)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)分氣球的活動(dòng)。

師：（從講臺(tái)背后變魔術(shù)般拿出15個(gè)氣球），同學(xué)們，這些氣球好看嗎？

生：好看！

師：想不想知道有多少個(gè)？一起來(lái)數(shù)一數(shù)！（1、2、3、……15）這兒一共有15個(gè)氣球。

師：老師想把這些氣球平均分給幾個(gè)小朋友，你想來(lái)分一分嗎？

生紛紛舉手，教師選擇了一位手舉得最高的學(xué)生（生1），讓其他學(xué)生坐好，等著分氣球。

生1來(lái)到講臺(tái)前，將氣球數(shù)出5個(gè)，分給了第一個(gè)同學(xué)，接著又?jǐn)?shù)了5個(gè)，分給了第二個(gè)同學(xué)，最后將剩下的氣球分給了第三個(gè)同學(xué)。

師：這位同學(xué)是怎么分氣球的？（學(xué)生描述分氣球的過(guò)程），共分給了幾個(gè)同學(xué)？（分給了3個(gè)同學(xué)）。

師：（拿回氣球）誰(shuí)還想來(lái)分一分？（指定生2）

生2將氣球每人分2個(gè)，分給了7個(gè)同學(xué)，手里還拿著一個(gè)氣球站在講臺(tái)前，有些不知所措。

師：（面向?qū)W生，指著生2）他將氣球分完了嗎？（沒(méi)有，還剩1個(gè)）那這樣分行嗎？（不行?。┻@樣分是不行的。

師：還能怎么分？（分氣球活動(dòng)繼續(xù)進(jìn)行）

生3將氣球每人分3個(gè)，正好分給了5個(gè)同學(xué)。

生4將氣球每人分4個(gè)，發(fā)現(xiàn)又沒(méi)分完。

生5將氣球每人分一個(gè)，分給了15個(gè)同學(xué)。

生6……

師：（下課鈴響）這些氣球你們想要嗎？（想要）那就送給你們吧，下課后還可以和同學(xué)一起分一分。

反思：這樣的操作所存在的問(wèn)題

1.目的不明，操作隨意

教師對(duì)學(xué)生提出“把15個(gè)氣球平均分給幾個(gè)小朋友”的要求過(guò)于籠統(tǒng)，缺乏指導(dǎo)性。學(xué)生在分氣球時(shí)比較盲目、隨意，而且本節(jié)課是認(rèn)識(shí)平均分的第一節(jié)課，介紹的是“每幾個(gè)一份來(lái)分物品”“把15個(gè)氣球平均分給幾個(gè)小朋友”這個(gè)問(wèn)題的提出超出了本節(jié)課的學(xué)習(xí)范圍，給學(xué)生分氣球的活動(dòng)增加了難度，使得學(xué)生將關(guān)注點(diǎn)由對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究轉(zhuǎn)移到實(shí)物氣球上，造成了活動(dòng)的盲目性與隨意性。

2.指導(dǎo)不力，活動(dòng)低效

分氣球的活動(dòng)看似熱熱鬧鬧，學(xué)生的積極性充分被調(diào)動(dòng)，主動(dòng)投入分的氣球活動(dòng)中，但由于活動(dòng)前缺乏正確引導(dǎo)，活動(dòng)中缺乏有效指導(dǎo)，活動(dòng)后缺乏總結(jié)提煉，因此，從第一次分氣球到第二次、第三次、第N次分氣球，多次活動(dòng)層次均處于平行狀態(tài)，無(wú)優(yōu)化、提升，活動(dòng)沒(méi)有達(dá)到既定目的，沒(méi)有取得理想效果。因此可以說(shuō)這個(gè)活動(dòng)是低效的，學(xué)生的操作是一種“偽操作”。

3.關(guān)注活動(dòng)，忽略思維

數(shù)學(xué)活動(dòng)僅停留在簡(jiǎn)單的操作層面上，學(xué)生未能在頭腦中實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組，思維沒(méi)有真正展開(kāi)。如：生1分完氣球后，教師只讓學(xué)生觀察分的結(jié)果，交流得到15個(gè)氣球每人分得5個(gè)，分給了3個(gè)人。而生1在分氣球的過(guò)程中是怎么思考的？為什么這樣分？數(shù)與數(shù)之間存在什么關(guān)系？除了這種分的結(jié)果以外，還可以怎么分也可正好分完？生2分氣球的結(jié)果是沒(méi)有分完，為什么會(huì)出現(xiàn)沒(méi)有分完的情況？這些問(wèn)題教師都沒(méi)有關(guān)注，只是繼續(xù)指定學(xué)生分氣球，學(xué)生分氣球的過(guò)程缺乏思考，活動(dòng)的意義并不大。

實(shí)踐：探尋動(dòng)手操作走向深刻的聯(lián)結(jié)點(diǎn)

1.操作后追問(wèn)，促思考、揭本質(zhì)

動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)思維密不可分，活動(dòng)就是要讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，我們不能錯(cuò)誤地認(rèn)為只要?jiǎng)邮植僮鳎憧梢赃_(dá)到目的，而忽視了學(xué)生的深層次思考。數(shù)學(xué)活動(dòng)必須有明確的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和數(shù)學(xué)目的，邁向數(shù)學(xué)的本質(zhì)。“動(dòng)”應(yīng)該包含“手動(dòng)”“口動(dòng)”“腦動(dòng)”。在操作中發(fā)展學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生的思考不斷深入。如在教學(xué)“正方體的側(cè)面展開(kāi)圖”時(shí)，我是這樣教學(xué)的：我先讓學(xué)生用四個(gè)連著的正方形折成一個(gè)無(wú)底無(wú)蓋的正方體，再問(wèn)學(xué)生，如果要折成一個(gè)有底無(wú)蓋的正方體，5號(hào)這個(gè)正方形應(yīng)該裝在四個(gè)連體正方形的哪兒呢？（如下圖所示）該裝在1號(hào)還是2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)正方形上呢？讓學(xué)生動(dòng)手試一試。學(xué)生在動(dòng)手的過(guò)程中，找到了幾種不同的裝法。老師接著問(wèn)：“你們能找全所有的答案嗎？能找到答案的同學(xué)試著把它的全部展開(kāi)圖畫(huà)出來(lái)?！?/p>

即5號(hào)正方形裝在1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)的位置都有可能。師再問(wèn)：如果再添上一個(gè)正方形，能折出一個(gè)有底有蓋的正方體嗎？能找出所有的可能嗎？在交流和動(dòng)手中找出了正方體側(cè)面展開(kāi)圖1-4-1形的所有的情況。

學(xué)生在動(dòng)手中找出了1-4-1型的6種情況后，我并沒(méi)有結(jié)束此課，而是追問(wèn)“為什么這兩個(gè)1，可以隨意地放？”在討論、思考中得出結(jié)論，因?yàn)?可以拼成正方體的前后左右面，而兩個(gè)1就是它的上面和下面，在任意一個(gè)面上都可以折過(guò)去。這就是1-4-1型的本質(zhì)，通過(guò)追問(wèn)不僅發(fā)展了學(xué)生的空間想象能力，實(shí)現(xiàn)了一維與二維空間的轉(zhuǎn)換，還培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。

2.操作后運(yùn)用，推生長(zhǎng)，建聯(lián)系

朱德全教授指出：“應(yīng)用意識(shí)的生成便是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)形成的標(biāo)志?！鲍@得數(shù)學(xué)知識(shí)的目的在于應(yīng)用，應(yīng)用意識(shí)的形成與應(yīng)用能力的提高又能促進(jìn)數(shù)學(xué)操作活動(dòng)的提升。因此，教師要在教學(xué)過(guò)程中不斷地為學(xué)生提供運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)調(diào)動(dòng)已有的操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

如，在教學(xué)“平面圖形面積的總復(fù)習(xí)”這一課時(shí)，在復(fù)習(xí)完長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積之后教師讓學(xué)生按知識(shí)之間的聯(lián)系擺一擺這些圖形。有的同學(xué)是按知識(shí)的前后呈現(xiàn)，線性地?cái)[出這幾個(gè)圖形，有的同學(xué)則是這樣擺的：

學(xué)生是這樣說(shuō)的：“正方形、平行四邊形和圓形的面積的推導(dǎo)都是以長(zhǎng)方形的面積為基礎(chǔ)，這三種圖形都是將其把轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積，而三角形和梯形的面積都是轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積，以平行四邊形為基礎(chǔ)。”這樣的操作讓學(xué)生厘清了知識(shí)之間的脈絡(luò)和知識(shí)之間的聯(lián)系。有了這樣的操作、有了這樣的經(jīng)驗(yàn)，在復(fù)習(xí)完圓柱、圓錐、長(zhǎng)方體和正方體的知識(shí)之后，教師也應(yīng)讓學(xué)生擺一擺這四種立體圖形體積之間的聯(lián)系，擺出的圖形如下：

正方體的體積是根據(jù)長(zhǎng)方體的體積推導(dǎo)而出的，圓柱體積的推導(dǎo)過(guò)程是把圓柱轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，這兩個(gè)立體圖形的體積都是以長(zhǎng)方體體積為基礎(chǔ)的，而圓錐體積公式是由圓柱的體積推導(dǎo)出來(lái)的。

3.操作后反思，積經(jīng)驗(yàn)，解問(wèn)題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》最大的變化是由“雙基”變成“四基”，即增加了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)中通過(guò)操作活動(dòng)，讓學(xué)生在操作中在積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?；顒?dòng)結(jié)束教師要給學(xué)生充足的反思、交流和總結(jié)的時(shí)間，讓學(xué)生反思概念、規(guī)律、法則、公式等知識(shí)的形成過(guò)程，促使“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”。在圓柱體積的計(jì)算的探索實(shí)踐中有這樣一道題：用兩張同樣大小的長(zhǎng)方形紙分別做成兩個(gè)不同的長(zhǎng)方體，一個(gè)是以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)，寬為圓柱的高，另一個(gè)是以長(zhǎng)方體的寬為圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)為圓柱的高，所做的圓柱體，體積相等嗎？

我是這樣教學(xué)的：

出示兩張完全相同的長(zhǎng)方形。

師：看，老師可以把這兩張長(zhǎng)方形紙做成兩個(gè)不同的圓柱體。

師演示。一個(gè)是以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬為圓柱高，做成一個(gè)圓柱體，稱1號(hào)圖形；另一個(gè)是以長(zhǎng)方體的寬為圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為圓柱高，稱2號(hào)圖形。

師：對(duì)于用同樣大小的長(zhǎng)方體形紙做成的不同的圓柱體，你有什么想法？

生1：這兩個(gè)圓柱的表面積肯定是不一樣的，側(cè)面積是相同的，但是底面積不一樣，表面積不同，它們的體積可能相同嗎？。

生2：我想說(shuō)的是，它們的體積相同嗎？不好說(shuō)。

生3：我認(rèn)為2號(hào)圓柱的體積大，因?yàn)樗摺?/p>

生4：也不好說(shuō)，可能1號(hào)的體積大，它胖呀，生活中胖的人體重大。

生5：它們兩個(gè)的體積是一樣的，因?yàn)橛猛粡埣堊龀傻摹?/p>

師：那么這兩個(gè)圓柱的體積到底如何呢？我們?cè)趺磥?lái)驗(yàn)證？

有的說(shuō)計(jì)算，有的說(shuō)往里面裝東西，誰(shuí)裝得多，誰(shuí)的體積就大。

最后大家決定在圓柱里裝米，看哪一個(gè)裝得多。先在1號(hào)圓柱里裝米，裝滿后倒入2號(hào)圓柱。如果裝不滿，表示2號(hào)圓柱的體積大；如果裝不完，表示1號(hào)圓柱的體積大；如果正好裝滿，兩個(gè)圓柱的體積一樣大。

經(jīng)過(guò)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，得出以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)所做成的圓柱的體積大。

師問(wèn)：是不是只要用兩個(gè)面積完全相同的長(zhǎng)方形圍成不同的圓柱，就是用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)的圓柱體積大呢？

學(xué)生分成小組探究問(wèn)題，他們用不同的長(zhǎng)方形再做實(shí)驗(yàn)。得出的結(jié)論與前面是一致的，兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形，圍成不同的圓柱，以長(zhǎng)方形長(zhǎng)為圓柱底面周長(zhǎng)，寬為圓柱的高，這樣的圓柱的體積大，形象地稱，矮胖子體積大，高個(gè)子體積小。

學(xué)生第一次操作，只是初步感知以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)的圓柱的體積大，有了這樣的經(jīng)驗(yàn)，再次操作就水到渠成，同時(shí)通過(guò)第二次操作讓學(xué)生再次明白以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)的圓柱的體積大，不但獲得了操作經(jīng)驗(yàn)，還獲得了知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，即如學(xué)生所說(shuō)的那樣矮胖子體積大，高個(gè)子體積小。老師讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，讓學(xué)生去尋找這一知識(shí)在生活中的應(yīng)用。經(jīng)過(guò)學(xué)生一周的搜索，學(xué)生得到了以下幾種情況：

A.商家為了使顧客感覺(jué)所買的東西大，往往包裝桶做得又高又細(xì)。

B.某廠家推出的小餅干，直徑變小了很多，這樣“迷你”的小餅干，塊數(shù)很多，讓人感覺(jué)東西很多，其實(shí)不然。

C.在批薩店里的飲料杯子，杯子很高，可是底面半徑很小，為的是所裝的飲料少一些。

總之，動(dòng)手操作是學(xué)生獲取知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展思維能力、解決問(wèn)題的重要途徑，在學(xué)生的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用。老師在日常的教學(xué)中要把數(shù)學(xué)和動(dòng)手操作有機(jī)結(jié)合起來(lái)，通過(guò)各種途徑、方法使學(xué)生在操作中思維能力快步提升、創(chuàng)新意識(shí)不斷加強(qiáng)，所學(xué)知識(shí)更加扎實(shí)、應(yīng)用更加靈活，把操作活動(dòng)引向深刻。

編輯 段麗君