侯堯花， 張占一， 黃晉英， 馬廣軒， 沈 松

(1. 中北大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，山西 太原 030051; 2. 北京東方振動和噪聲技術(shù)研究所, 北京 100085)

0 引 言

懸臂梁結(jié)構(gòu)已廣泛應(yīng)用到許多大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械的葉片模型中，其固有振動是旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動中最常見的振動形式之一[1-3]。在風(fēng)機(jī)葉片高速旋轉(zhuǎn)的過程中，由于受到各種交變載荷的長時(shí)間沖擊，葉片自身會發(fā)生非常明顯的受迫固有振動，并且在工程應(yīng)用中受到酸性水、大氣等外界條件腐蝕影響，對基于懸臂梁模型的葉片破壞極大，因此必須對旋轉(zhuǎn)的葉片結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提出更高的要求[4]。

郭金泉等[5]利用平穩(wěn)小波變換來識別懸臂梁上的缺陷；趙亮等[6]利用廣義哈密爾頓原理及假設(shè)模態(tài)法得出懸臂梁系統(tǒng)動力學(xué)方程軸向運(yùn)動，得到了材料屬性指數(shù)越大、梁剛度越大、振動頻率越大而振幅越小的結(jié)果；戴震等[7]研究了等截面懸臂梁自由落體沖擊實(shí)驗(yàn)分析，得到了懸臂梁在沖擊作用下的應(yīng)力狀態(tài)，沒有對懸臂梁的沖擊響應(yīng)譜進(jìn)行分析，因此對懸臂梁的力學(xué)傳遞特性的研究具有一定的局限性。張金輪等[8]利用插值矩陣法分析軸向受載的Euler-Bernoulli 梁雙向彎曲與扭轉(zhuǎn)耦合振動；蘇軍等[9]研究了一種懸臂梁式的發(fā)動機(jī)葉片扭轉(zhuǎn)和彎曲變形同步測量的新方法；馬輝等[10]進(jìn)行了斜裂紋懸臂梁非線性振動特性分析，僅考慮了彎曲振動對裂紋的影響，得到隨著裂紋角度的增加，裂紋導(dǎo)致的懸臂梁系統(tǒng)非線性特性更為明顯，但是懸臂梁在扭轉(zhuǎn)變形時(shí)對裂紋的影響更大，因此需要更進(jìn)一步研究扭轉(zhuǎn)變形對裂紋的研究。

以上學(xué)者集中于懸臂梁裂紋對模態(tài)參數(shù)的影響，沒有對懸臂梁的扭轉(zhuǎn)與彎曲變形進(jìn)行詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)研究，但是揮舞彎曲與扭轉(zhuǎn)變形對于葉片的結(jié)構(gòu)安全影響較大，因此有必要進(jìn)行懸臂梁的彎曲與扭轉(zhuǎn)模態(tài)分析。在模態(tài)參數(shù)識別方法中，許多文獻(xiàn)利用的方法包括ERA法、EFDD法、Poly MAX法[11-15]等，但是特征值算法擬合時(shí)必須先算脈沖響應(yīng)函數(shù)，降低了計(jì)算效率，Poly MAX法的Hankel矩陣的系數(shù)需要復(fù)數(shù)運(yùn)算，耗時(shí)較長而且對密集模態(tài)參數(shù)的識別具有一定的局限性，因此本文基于Poly IIR法對懸臂梁的彎曲與扭轉(zhuǎn)變形進(jìn)行模態(tài)測試，為葉片等懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動特性分析、振動故障診斷和預(yù)報(bào)以及結(jié)構(gòu)動力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 懸臂梁的模態(tài)理論分析

實(shí)際的振動系統(tǒng)都是彈性體，它的振動需要時(shí)間與空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運(yùn)動不再是二階常微分方程組，而是通過偏微分方程來表示，本文擬利用Euler梁模型進(jìn)行理論分析計(jì)算，它的主要特點(diǎn)為在同一XOY平面內(nèi)梁的各階模態(tài)振型做橫向振動，主要變形為彎曲變形，在低頻振動時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中心軸轉(zhuǎn)動慣量的影響。

通過材料力學(xué)的平衡面假設(shè)得知，彎矩與撓度的關(guān)系為然后代入力平衡方程中得到

當(dāng)令p=m時(shí)，得到梁的橫向振動為

假設(shè)梁的主振動為y=Y(x)bsin(ωt+?)，代入式（2）得到

根據(jù)材料力學(xué)理論得到等截面懸臂梁的邊界條件為Y(0)=0,[EIY′′(X)]′=0,x=0,x=l。得到

懸臂梁各階固有頻率為

主振型為

2 有限元分析計(jì)算

Workbench分析選用solid 186實(shí)體單元,懸臂梁的橫截面為矩形截面，長度L=600 mm，寬度b為50 mm，厚度h為8 mm，彈性模量E為2×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ為7800 kg/m3。按照上述懸臂梁參數(shù)，利用Workbench對懸臂梁振動模態(tài)頻率進(jìn)行求解，得到前5階彎曲頻率分別為 10.247 ，64.192 ，179.75 ，352.23， 582.82 Hz。扭轉(zhuǎn)頻率分別為231.87 ，698.17 ，1172.1 Hz，限于篇幅只給出前3階模態(tài)振型，如圖1和圖2 所示。

3 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析計(jì)算

3.1 Poly IIR 算法理論分析

Poly IIR模態(tài)識別方法利用IIR濾波原理推導(dǎo)出其頻響函數(shù)特征方程系數(shù)，可以得到和模態(tài)頻域參數(shù)識別Poly MAX法同樣清晰的各階模態(tài)穩(wěn)定圖，此算法理論嚴(yán)密，計(jì)算過程簡單，如果 SISO系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(k)已知，其頻響函數(shù)為

圖1 懸臂梁前3階彎曲模態(tài)有限元結(jié)果

此處是采樣間隔，是脈沖響應(yīng)函數(shù)，是波形點(diǎn)數(shù)或長度，這是離散譜對應(yīng)頻率點(diǎn)在右端第2項(xiàng)為截?cái)嗟牟糠謱?yīng)的頻譜，在所有頻域法中，這項(xiàng)是未知的結(jié)果。

假定n階模態(tài)的FRF寫為

此處令N=2n，則有

由于式（11）中只有多項(xiàng)式的分母為系統(tǒng)的頻率特征方程, 取較低的L?N個(gè)方程構(gòu)成：

圖2 懸臂梁前3階扭轉(zhuǎn)模態(tài)有限元結(jié)果

對于MIMO系統(tǒng)來說，有q個(gè)響應(yīng)點(diǎn)和p個(gè)激勵點(diǎn)，式(3)中的系數(shù)矩陣ai具有維數(shù)p×p，而且a0=Ip×p，系數(shù)bi和脈沖響應(yīng)函數(shù)序列h(k)可看作是的行矢量，對應(yīng)同一響應(yīng)點(diǎn)的p個(gè)激勵點(diǎn)，因此得到：

特征方程系數(shù)矩陣為H矩陣所有元素的平方和取最小值。計(jì)算出(N+1)p維對稱方陣并且矩陣M為

所有元素直接從時(shí)域數(shù)據(jù)得到，不需要額外的運(yùn)算，更不需要復(fù)數(shù)的運(yùn)算，比Poly MAX方法處理速度快了20%左右，模態(tài)參數(shù)識別率也提高了12%左右。特征方程為

第r階模態(tài)的頻率和阻尼為

3.2 懸臂梁的模態(tài)實(shí)驗(yàn)

選取的懸臂梁尺寸為600 mm×50 mm×8 mm(長×寬×高)，材料為鋼。實(shí)驗(yàn)過程首先把懸臂梁分10等分，總共22個(gè)測點(diǎn)，利用2個(gè)9824 ICP型加速度傳感器分別布置于第10、13兩個(gè)測點(diǎn)，這樣放置到了最佳測試點(diǎn)，使該處的ADDOFA值最大，提高了信號的信噪比，因此本實(shí)驗(yàn)需采用MIMO實(shí)驗(yàn)法，提高模態(tài)特征方程的解耦性，識別同一頻率附近不同的懸臂梁模態(tài)振型。

此次實(shí)驗(yàn)步驟如下：

1）在懸臂梁的左右兩側(cè)沿著變形最大的2個(gè)測點(diǎn)處分別布置2個(gè)9824型ICP加速度傳感器，然后安裝好MSC-1基于尼龍頭的小力錘加力信號調(diào)理棒，利用雙BNC線接入數(shù)據(jù)采集儀，詳細(xì)布點(diǎn)位置，如圖3所示。

2）進(jìn)行基于錘擊法的懸臂梁模態(tài)測試實(shí)驗(yàn)，首先進(jìn)行預(yù)實(shí)驗(yàn)，得到合適的激勵采樣頻率，然后利用DASP變時(shí)基技術(shù)得到較低的響應(yīng)信號采樣頻率。

3）然后進(jìn)行MIMO實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)過程。

圖3 懸臂梁模態(tài)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場連接圖

4）利用基于Poly IIR方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別。

5）得到懸臂梁實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)固有頻率與振型。

6）可以通過結(jié)果輸出模態(tài)質(zhì)量與模態(tài)剛度來驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

由圖4可以看出單個(gè)測點(diǎn)的頻響特性函數(shù)的各階頻率信噪比非常好，說明本次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效性，通過對所有測點(diǎn)的頻響函數(shù)進(jìn)行集總顯示得到如圖5所示，可以明顯看出各階密集模態(tài)結(jié)果。圖6為利用Poly IIR得到的前5階的彎曲模態(tài)振型，各階固有頻率分別為10.0 ，63.228，176.67，348.3，574.61 Hz，得到模態(tài)擬合結(jié)果解耦性好，峰值點(diǎn)突出，虛假模態(tài)幾乎沒有，說明該方法的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性指標(biāo)非常好；圖7為懸臂梁理論結(jié)果和實(shí)測頻響曲線，得到實(shí)測值與理論值幾乎重合；圖8為振型相關(guān)矩陣校驗(yàn)檢查模態(tài)分析結(jié)果，得到各階振型的正交性良好。

圖4 單個(gè)測點(diǎn)的FRF與相干系數(shù)曲線

圖5 所有測點(diǎn)的FRF函數(shù)線性組合曲線

圖6 Poly IIR模態(tài)擬合結(jié)果示意圖

圖7 理論計(jì)算與實(shí)測結(jié)果對數(shù)幅值對比曲線

圖8 模態(tài)相關(guān)性Cross MAC值計(jì)算結(jié)果

4 分析不同實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過前面的理論計(jì)算以及有限元分析得到懸臂梁的前5階固有頻率與振型，然后通過對懸臂梁進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到懸臂梁的彎曲與扭轉(zhuǎn)模態(tài)結(jié)果，如圖9和圖10所示。

圖9 懸臂梁前5階彎曲模態(tài)振型結(jié)果

圖10 懸臂梁前5階扭轉(zhuǎn)模態(tài)振型

表1 彎曲實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果比較

由表1中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得到懸臂梁的彎曲變形與扭轉(zhuǎn)變形的模態(tài)振型具有相似之處，但是扭轉(zhuǎn)變形對葉片等懸臂梁的結(jié)構(gòu)共振損傷影響更大，在彎曲變形中，各階固有頻率基本滿足βil的平方與1階固有頻率的乘積，而扭轉(zhuǎn)變形的各階固有頻率為2i?1階數(shù)與1階頻率的乘積，但是扭轉(zhuǎn)1階固有頻率為241.87 Hz，對比有限元分析的1階頻率偏大，說明ICP傳感器附加質(zhì)量對懸臂梁扭轉(zhuǎn)頻率產(chǎn)生一定的影響，可為后續(xù)對不同附加質(zhì)量對懸臂梁各階模態(tài)頻率的影響提供參考。

5 結(jié)束語

本文對懸臂梁進(jìn)行了比較詳細(xì)的理論仿真計(jì)算，建立了懸臂梁的振動力學(xué)模型，得出了懸臂梁各階固有頻率理論表達(dá)式，利用有限元分析了懸臂梁彎曲與扭轉(zhuǎn)模態(tài)，然后利用Poly IIR方法擬合得到了懸臂梁的各階彎曲模態(tài)與扭轉(zhuǎn)模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

懸臂梁的的各階頻率主峰非常明顯，因此驗(yàn)證了Poly IIR方法對同一結(jié)構(gòu)不同方向之間的模態(tài)頻率擬合識別的優(yōu)越性。通過對懸臂梁的彎曲與扭轉(zhuǎn)模態(tài)分析，以及前期對簡支梁的模態(tài)實(shí)驗(yàn)分析研究中可知，各階固有頻率與一階頻率成線性比例關(guān)系。

根據(jù)懸臂梁的各階模態(tài)參數(shù)對比，可以為風(fēng)機(jī)葉片的強(qiáng)度設(shè)計(jì)提供參考，包括增大葉片根部的強(qiáng)度設(shè)計(jì)，盡量避免風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速頻率靠近葉片1階模態(tài)頻率。

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