劉小寧 劉 岑 陳 帆 劉 兵 楊 帆 張紅衛(wèi)

(1.武漢軟件工程職業(yè)學院 湖北 武漢:430205；2.湖北輕工職業(yè)技術學院 湖北 武漢:430070)

在工程實踐中，人們往往采用試驗方法獲得有關數(shù)據(jù)，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)確定試驗材料的性能指標。例如，通過拉伸試驗獲得金屬材料的屈服強度、抗拉強度與斷后伸長率試驗數(shù)據(jù)，通過沖擊試驗獲得標準試樣吸收能量數(shù)據(jù)，然后分析與確定材料相應性能的指標，作為金屬結構強度設計的依據(jù)。

試驗數(shù)據(jù)的同質性是指同批次或者不同批次試驗數(shù)據(jù)的波動在允許范圍內，能真實反映材料相應性能的性質，試驗數(shù)據(jù)的同質性是確定材料相應性能指標的基礎。為保證試驗數(shù)據(jù)的同質性，我國采用有關標準[1-8]規(guī)范鋼材的冶煉、加工與試驗。相同材料的同一性能試驗數(shù)據(jù)常常是波動的，影響波動范圍大小的主要因素[9-10]有如下3個，一是標準試樣，包括標準試樣的材料、材料的加工處理方法與取樣位置，以及標準試樣的結構、尺寸與加工精度；二是試驗環(huán)境，包括試驗機器與儀器的精度與試驗溫度等；三是操作人員的技術水平。3個因素完全相同的試驗為同批次試驗，第1個因素相同而其他兩個不同的，是不同批次試驗。文獻[11-13]基于數(shù)理統(tǒng)計理論中t分布知識，建立了同批次試驗數(shù)據(jù)同質性的判別方法；目前尚未見到對不同批次試驗數(shù)據(jù)同質性判別方法的研究。

為此，文中應用數(shù)理統(tǒng)計理論中的F分布與t分布知識[14-21]，建立了判別不同批次試驗數(shù)據(jù)同質性的方法，基于兩種金屬材料低擊沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)，在雙側置信度為98%時，分析了3批次試驗數(shù)據(jù)的同質性；基于材料性能基本符合正態(tài)分布假設，確定了橋梁用鋼Q500qE與某船用耐蝕鋼低溫沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)均值、標準差與變異系數(shù)取值區(qū)間。

1 構建基本方法

1.1 構建不同批次試驗數(shù)據(jù)同質性的判別方法

假設R為金屬材料沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)、屈服強度、抗拉強度與斷后伸長率之一，通過沖擊試驗或者拉伸試驗，獲得m個批次試驗數(shù)據(jù)，其中第i個批次試驗數(shù)據(jù)的平均值與精密度分別為：

(1)

(2)

1.1.1 第i個批次試驗數(shù)據(jù)的同質性

第i個批次試驗數(shù)據(jù)屬于同批次試驗數(shù)據(jù)，在雙側置信度為(1-α)時，其同質性的判別參數(shù)為：

(3)

判據(jù)為：

|tij|≤tni-1,0.5α

(4)

式中：tni-1,0.5α為t分布系數(shù)，由自由度(ni-1)與0.5α查得。

如果tij滿足式(4)，則有(1-α)的把握認為，Rij與同批次的其它(ni-1)個試驗數(shù)據(jù)具有同質性。

文中取α=0.02，所用的t分布系數(shù)值見表1[14-15]。

表1 t分布系數(shù)

1.1.2 不同批次試驗數(shù)據(jù)的同質性

不同批次試驗數(shù)據(jù)的同質性，是指使用不同批次試驗數(shù)據(jù)估計材料性能指標均值與標準差時，其均值與標準差的無偏估計分別無顯著差異。因此，材料性能指標基本符合正態(tài)分布，是判別不同批次試驗數(shù)據(jù)同質性的前提。

①標準差之間無顯著差異的判別方法。當μA與μB無顯著差異時F分布是比較標準差σA與σB是否存在顯著差異的工具，判別參數(shù)為：

(5)

在雙側置信度為(1-α)時，標準差σA與σB無顯著差異的判據(jù)為：

F1-0.5α,nA-1,nB-1≤FAB≤F0.5α,nA-1,nB-1

(6)

式中：F1-0.5α,nA-1,nB-1與F0.5α,nA-1,nB-1為F分布系數(shù)，分別用(1-0.5α)、(nA-1)、(nB-1)與0.5α、(nA-1)、(nB-1)查得；nA與nB分別為第A與第B批次同質性試驗數(shù)據(jù)的數(shù)量。

其中

本文取α=0.02，所用的F分布系數(shù)值見表2[14-15]。

表2 F分布系數(shù)

②均值之間無顯著差異的判別方法。當標準差σA與σB無顯著差異時，均值μA與μB否存在顯著差異的判別參數(shù)為：

(7)

其中

(8)

在雙側置信度為(1-α)時，均值μA與μB無顯著差異的判據(jù)為：

|tAB|≤tnA+nB-2,0.5α

(9)

式中：tnA+nB-2,0.5α為t分布系數(shù)，由自由度(nA+nB-2)與0.5α查得。

文中取α=0.02，所用的t分布系數(shù)值見表1[14-15]。

若m個批次試驗數(shù)據(jù)相互之間同時滿足式(6)與式(9)，表明在雙側置信度為(1-α)時，m個批次試驗數(shù)據(jù)具有同質性。對于非同質性的無效數(shù)據(jù)可采用文獻[11-13]方法剔除，并重新判別同質性有效試驗數(shù)據(jù)。

值得注意的是，式(6)與式(9)中的α，是將同質性批次試驗數(shù)據(jù)誤剔除的風險概率，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計知識，小概率事件在有限的m個批次試驗中不可能發(fā)生，因此文中取α=0.02，即在雙側置信度為98%時，判別試驗數(shù)據(jù)同質性，對應的風險概率為2%。

1.2 根據(jù)同質性試驗數(shù)據(jù)確定性能指標取值區(qū)間

若m個批次試驗數(shù)據(jù)中有m/批是同質的，第i個批次試驗數(shù)據(jù)中有ni/個是同質的，則同質性試驗數(shù)據(jù)的總量N為：

N個同質性試驗數(shù)據(jù)的平均值與精密度分別為：

(10)

(11)

在雙側置信度為(1-α)時，若材料性能R基本符合正態(tài)分布，則其分布參數(shù)的取值區(qū)間按如下方法確定。

1.2.1 均值的取值區(qū)間

材料性能R的均值μ在雙側置信度為(1-α)時取值范圍為：

μ∈[μmin，μmax]

(12)

其中

(13)

(14)

式中：μ為材料性能R的均值；μmin與μmax分別為μ在雙側置信度為(1-α)時的下限與上限；tN-1, 0.5α為t分布系數(shù)，由自由度(N-1)與0.5α查得。

α=0.02時，文中所用的t分布系數(shù)值見表1。

1.2.2 標準差的取值區(qū)間

材料性能R的標準差σ在雙側置信度為(1-α)時取值范圍為：

σ∈[σmin，σmax]

(15)

其中

(16)

(17)

α=0.02時，文中所用的χ2分布系數(shù)值見表3[14-15]。

表3 χ2分布系數(shù)

1.2.3 變異系數(shù)的取值區(qū)間

材料性能R的變異系數(shù)C在雙側置信度為(1-α)時取值范圍為：

C∈[Cmin，Cmax]

(18)

其中

Ctmin=σmin/μmax，Cmax=σmax/μmin(19)

式中：C為材料性能R的變異系數(shù)；Cmin與Cmax分別為C在雙側置信度為(1-α)時的下限與上限。

2 工程實例

2.1 試驗數(shù)據(jù)

文獻[10]采用V形缺口的標準試樣，通過沖擊試驗，分別測得3個批次(m=3)橋梁結構鋼Q500qE在-40℃與某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)，每個批次試驗數(shù)據(jù)為10個(n1=n2=n3=10)，每個批次試驗數(shù)據(jù)以及平均值與精密度其見表4和表5。

表4 Q500qE鋼的沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)(-40℃)

2.2 試驗數(shù)據(jù)的同質性判別

取α=0.02，文中在雙側置信度為98%時判別試驗數(shù)據(jù)的同質性。

2.2.1 同批次試驗數(shù)據(jù)的同質性判別

表5 某船用耐蝕鋼的沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)(-20℃)

2.2.2 不同批次試驗數(shù)據(jù)的同質性判別

①Q500qE鋼。將表4相同批次的平均值與精密度數(shù)據(jù)代入式(5)、式(7)與式(8)，可得到不同批次的判別參數(shù)，見表6。

表6 Q500qE鋼同質性判別參數(shù)及計算值

由表2數(shù)據(jù)可知，F(xiàn)0.99,9,9=0.153與F0.01,9,9=6.541，表6中判別參數(shù)F12、F13與F23均不小于F0.99,9,9，并且不大于F0.01,9,9，即滿足式(6)，表明3個批次試驗數(shù)據(jù)之間對標準差的無偏估計無顯著差異。

由于自由度(nA+nB-2)=10+10-2=18，由表1數(shù)據(jù)可知t18,,0.01=2.552，表6中判別參數(shù)t12、t13與t23的絕對值均小于t18,,0.01，即滿足式(9)，表明3個批次試驗數(shù)據(jù)之間對均值的無偏估計無顯著差異。

根據(jù)以上分析，橋梁結構鋼Q500qE在-40℃的3個批次共30個沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)是同質性的。

②某船用耐蝕鋼。將表5相同批次的平均值與精密度數(shù)據(jù)代入式(5)、式(7)與式(8)，可得到不同批次的判別參數(shù)，見表7。

表7 某船用耐蝕鋼同質性判別參數(shù)及計算值

由表2數(shù)據(jù)可知，F(xiàn)0.99,9,9=0.153與F0.01,9,9=6.541，表6中判別參數(shù)F12、F13與F23均不小于F0.99,9,9，并且不大于F0.01,9,9，即滿足式(6)，表明3個批次試驗數(shù)據(jù)之間對標準差的無偏估計無顯著差異。

由于自由度(nA+nB-2)=10 + 10-2=18，由表1數(shù)據(jù)可知t18,0.01=2.552，表6中判別參數(shù)t12、t13與t23的絕對值均小于t18,0.01，即滿足式(9)，表明3個批次試驗數(shù)據(jù)之間對均值的無偏估計無顯著差異。

根據(jù)以上分析，某船用耐蝕鋼在-20℃的3個批次共30個沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)是同質性的。

2.3 沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)的取值區(qū)間

取α=0.02，文中在雙側置信度為98%時，根據(jù)30組同質性試驗數(shù)據(jù)，分別分析Q500qE鋼在-40℃與某船用耐蝕鋼在-20℃時，沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)的取值區(qū)間。

2.3.1 Q500qE鋼

根據(jù)以上分析，基于Q500qE鋼3個批次的30個同質性試驗數(shù)據(jù)，按式(10)與式(11)，可得到其在-40℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)的平均值與精密度：

(20)

將式(20)代入式(12)～式(14)，可得到重復性評定數(shù)據(jù)均值的取值區(qū)間：

μ∈[187.4，202.2]

(21)

將式(20)代入式(15)～式(17)，可得到重復性評定數(shù)據(jù)標準差的取值區(qū)間：

σ∈[12.42，23.16]

(22)

將式(21)與式(23)代入式(19)，可得到重復性評定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的取值區(qū)間：

C∈[0.0614，0.1236]

(23)

2.3.2 某船用耐蝕鋼

根據(jù)以上分析，基于3個批次的30個同質性試驗數(shù)據(jù)，按式(10)與式(11)，可得到某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)的平均值與精密度：

(24)

將式(24)代入式(12)～式(14)，可得到重復性評定數(shù)據(jù)均值的取值區(qū)間：

μ∈[320.7，332.5]

(25)

將式(24)代入式(15)～式(17)，可得到重復性評定數(shù)據(jù)標準差的取值區(qū)間：

σ∈[9.80，18.28]

(26)

將式(25)與式(26)代入式(19)，可得到重復性評定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的取值區(qū)間：

C∈[0.0295，0.0570]

(27)

2.4 討論

精度是指試驗數(shù)據(jù)與真值之間差異的量度，差異小表明精度高，精度低表明差異大；變異系數(shù)是衡量精度高低的定量指標，變異系數(shù)小表明試驗數(shù)據(jù)與真值之間差異小精度高，變異系數(shù)大表明試驗數(shù)據(jù)與真值之間差異大精度低[13,16,17]；但是，刻意追求小的變異系數(shù)，有時會導致鋼材制造成本的急劇上升，因此，必須通過技術經(jīng)濟性分析，確定鋼材某個指標的合適變異系數(shù)。

在雙側置信度為98%時，比較式(23)與式(27)可知，Q500qE鋼在-40℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的下限為0.0614，大于某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的上限0.0570；根據(jù)文獻[21]關于變異系數(shù)的比較方法，Q500qE鋼在-40℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)精度相對比較低，或者是重復性評定數(shù)據(jù)波動范圍相對比較大，穩(wěn)定性比較差。

Q500qE鋼在-40℃以及某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布，筆者將在另外的論文中進行研究。

3 結論

1)同質性試驗數(shù)據(jù)的平均值與精密度，分別是材料性能指標均值與標準差的無偏估計，不同批次試驗數(shù)據(jù)的同質性，是指使用不同批次試驗數(shù)據(jù)估計材料性能指標時，其均值與標準差分別無顯著差異。文中在所要求的雙側置信度時，基于數(shù)理統(tǒng)計理論，對不同批次試驗數(shù)據(jù)同質性的判別方法進行了研究。

2)應用數(shù)理統(tǒng)計理論的F分布、t分布知識和不同批次試驗數(shù)據(jù)，建立了材料性能指標標準差與均值無顯著差異的判別方法。并利用同質性試驗數(shù)據(jù)分析了材料性能指標的均值、標準差與變異系數(shù)的取值范圍。

3)在雙側置信度為98%時，Q500qE鋼在-40℃的3個批次共30組沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)具有同質性，某船用耐蝕鋼在-20℃的3個批次共30組沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)也具有同質性，并分別獲得它們沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)均值、標準差與變異系數(shù)的取值區(qū)間。

4)Q500qE鋼在-40℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的下限為0.0614，大于某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的上限0.0570，表明Q500qE鋼在-40℃沖擊試驗重復性評定數(shù)據(jù)精度相對比較低，或者是重復性評定數(shù)據(jù)波動范圍相對比較大，穩(wěn)定性比較差。

[1] 中華人民共和國國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局,中國國家標準化管理委員會.優(yōu)質碳素結構鋼:GB/T 699-2015[S].北京:中國標準出版社,2016:1-9.

[2] 中華人民共和國國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局,中國國家標準化管理委員會.鍋爐和壓力容器用鋼板:GB/T 713-2014[S].北京:中國標準出版社,2014:1-9.

[3] 中華人民共和國國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局,中國國家標準化管理委員會.合金結構鋼:GB/T 3077-2015[S].北京:中國標準出版社,2016:1-28.

[4] 中華人民共和國國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局,中國國家標準化管理委員會.橋梁用結構鋼:GB/T 714-2015[S].北京:中國標準出版社,2016:1-12.

[5] 中華人民共和國國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局,中國國家標準化管理委員會.金屬材料 拉伸試驗 第1部分 室溫試驗方法:GB/T 228.1-2010[S].北京:中國標準出版社,2011:1-61.

[6] 中華人民共和國國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局,中國國家標準化管理委員會.金屬材料 低溫拉伸試驗方法: GB/T 13239-2006[S].北京:中國標準出版社,2006:1-22.

[7] 中華人民共和國國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局,中國國家標準化管理委員會.擺錘式?jīng)_擊試驗機檢驗用夏比V型缺口標準試樣:GB/T 18658-2002[S].北京:中國標準出版社,2002:1-8.

[8] 中華人民共和國國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局,中國國家標準化管理委員會.金屬材料 夏比擺錘沖擊試驗方法:GB/T 229-2007[S].北京:中國標準出版社,2008:1-13.

[9] 薛歡.橋梁用鋼拉伸試驗不確定度的評定[J].武漢工程職業(yè)技術學院學報,2017,29(1):11-14.

[10] 薛歡,劉念,熊飛.金屬材料低溫沖擊試驗不確定度的評定[J].武漢工程職業(yè)技術學院學報,2018,30(1):7-10.

[11] 李清,袁小會,劉岑,等.有效試驗數(shù)據(jù)對鋼材機械性能分布規(guī)律的影響[J].武漢工程大學學報,2015,37(4):69-73.

[12] 劉岑,楊帆,吳元祥,等.鋼材拉伸試驗數(shù)據(jù)同質性的判別[J].武漢工程職業(yè)技術學院學報,2017,29(2):17-19.

[13] 劉小寧,劉岑,楊帆,等.兩個正態(tài)隨機變量分布參數(shù)的比較[J].武漢工程職業(yè)技術學院學報,2017,29(4):1-5.

[14] 化學工程手冊編輯委員會.化工應用數(shù)學[M].北京:化學工業(yè)出版社,1983:23-28,369-375.

[15] 熊德之,張志軍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用[M].北京:科學出版社,2007:131-262.

[16] 劉小寧,劉岑,劉兵,等.承壓容器爆破壓力計算公式的評價方法研究[J].機械強度,2017,39(6):1409-1417.

[17] 劉岑,劉小寧,劉兵,等.拓展設計公式應用范圍的精度比較法[J].機械強度,2018,40(1):145-153.

[18] 劉小寧,李清,劉兵,等.厚壁圓筒爆破壓力計算公式的工程適用性研究[J].現(xiàn)代制造工程,2016，(5):154-159.

[19] 劉小寧,劉岑,劉兵,等.屈強比對容器爆破壓力計算公式精度的影響[J].應用力學學報,2017,34(1):141-147.

[20] 劉小寧,劉岑,張紅衛(wèi),等.對“基于實測數(shù)據(jù)的特種球形壓力容器爆破壓力計算公式”一文的商榷[J].應用數(shù)學和力學,2016,37(5):552-550.

[21] 劉岑,楊帆,劉兵,等.室溫與超低溫時奧氏體不銹鋼S30408的屈強比[J].武漢工程大學學報,2018,40(2):228-232.