江蘇鹽城市一小教育集團(tuán)日月路校區(qū)（224005）

【案例背景】

因數(shù)和倍數(shù)是蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，它是數(shù)與代數(shù)部分重要的知識(shí)之一，是在學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)自然數(shù)的基礎(chǔ)上教學(xué)的，它是因數(shù)和倍數(shù)單元的第一課時(shí)，所以能為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)本單元的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)做鋪墊。2017年4月我第一次執(zhí)教，課堂教學(xué)環(huán)環(huán)緊扣且滴水不漏，精致的課堂，精心的設(shè)計(jì)，良好的教學(xué)效果，可我總感覺(jué)少了些什么，反思后發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在課堂上雖然較好地掌握了新知，但是思維卻被關(guān)在籠子里。所謂的環(huán)環(huán)緊扣，緊緊地束縛了學(xué)生思維，充滿(mǎn)了暗示的設(shè)計(jì)和一步一個(gè)臺(tái)階的鋪墊，讓學(xué)生失去了“英雄用武”的地方。一堂課結(jié)束，留給學(xué)生的只有摸著石頭過(guò)河的經(jīng)驗(yàn)而已。2017年的12月，我再次執(zhí)教，這次我秉承“讓學(xué)生思維在課堂上生長(zhǎng)”的理念進(jìn)行授課，教學(xué)取得了令人滿(mǎn)意的效果。

【教學(xué)實(shí)踐】

課前，我首先深入了解學(xué)生，找準(zhǔn)學(xué)生思維的起點(diǎn)，摸準(zhǔn)學(xué)生思維發(fā)展的方向，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的方向來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)。如果說(shuō)第一次的課堂像一件正規(guī)的西裝，緊緊地束縛著我和學(xué)生，第二次的課堂就像一件休閑裝，學(xué)生的身心是自由的、開(kāi)放的，學(xué)生的思維是活躍的。

一、逐步抽象，開(kāi)啟學(xué)生的思維之門(mén)

師：看來(lái)，用12個(gè)小正方形擺不同的長(zhǎng)方形，只有3種不同的擺法，由此得到了3個(gè)不同的乘法算式。今天我們要研究的內(nèi)容就藏在這些乘法算式中，就以3×4=12為例。

師：3×4=12，數(shù)學(xué)上是這么介紹它們之間的關(guān)系——3是12的因數(shù)，4也是12的因數(shù)，也就是3和4都是12的因數(shù)。反過(guò)來(lái)，12是3的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)。

師：大家都聽(tīng)明白了嗎?誰(shuí)來(lái)試著說(shuō)一說(shuō)？

師（揭示課題：因數(shù)和倍數(shù)）：這就是我們今天要研究的內(nèi)容。

師：這里還有兩道算式，你也能像我剛才那樣說(shuō)一說(shuō)嗎？

生1：我要說(shuō)的是2×6=12，2是12的因數(shù)，6也是12的因數(shù)。反過(guò)來(lái)，12是2的倍數(shù)，12也是6的倍數(shù)。

生2：我要說(shuō)的是1×12=12,1是12的因數(shù)，12也是12的因數(shù)。反過(guò)來(lái)，12是1的倍數(shù),12也是12的倍數(shù)。

師：如果不擺圖形，誰(shuí)能出一道類(lèi)似這樣的算式，讓大家說(shuō)一說(shuō)它們之間的因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系。

師：如果隱去算式，只給出方框里的兩個(gè)數(shù)，你能說(shuō)一說(shuō)哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)嗎？

師（出示）：你是怎么想的？

生3：2×6=12，所以6是12的因數(shù)。反過(guò)來(lái)，12是6的倍數(shù)。

師：還可以想到什么算式？

生4：12÷6=2。有乘就有除。

師（出示）：你又想到了什么算式？

生5：我想到24÷12=2，所以12是24的因數(shù)。反過(guò)來(lái)，24是12的倍數(shù)。

師：這兩題里都有哪個(gè)數(shù)？

生6：12。

師：我能說(shuō)12是倍數(shù)嗎？為什么？

生7：不能，要說(shuō)清楚12是誰(shuí)的倍數(shù)。12和24在一起的時(shí)候,12是24的因數(shù)。

師：是的，因數(shù)和倍數(shù)表達(dá)的是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，它們是相互依存的。要說(shuō)清楚誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。

師（出示）:它們之間存在因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系嗎？

生8：不存在！12個(gè)小正方形，每排擺5個(gè)，不能擺出長(zhǎng)方形。

師：是的。要注意的是，因數(shù)和倍數(shù)所說(shuō)的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)。

師：看來(lái)你們已經(jīng)掌握因數(shù)和倍數(shù)的概念了。下面一起做一個(gè)游戲。我給出一個(gè)數(shù)36，請(qǐng)你報(bào)出一個(gè)數(shù)，然后說(shuō)出它和36的關(guān)系及想到的算式。

生9：18。18是36的因數(shù)，36是18的倍數(shù)，我想到的算式是36÷18=2。

生10：4。4是36的因數(shù)，36是4的倍數(shù)，我想到的算式是 4×9=36。

生11：72。36是72的因數(shù)，72是36的倍數(shù)，我想到的算式是 72÷36=2。

……

【思考：首先，采用直觀形象的“用12個(gè)小正方形擺不同的長(zhǎng)方形”的活動(dòng)，得到乘法算式，教師根據(jù)其中的一個(gè)乘法算式“3×4=12”，介紹了因數(shù)和倍數(shù)的概念，然后讓學(xué)生說(shuō)出另外兩個(gè)算式中存在的因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生初步感受因數(shù)和倍數(shù)的概念，并加以運(yùn)用。其次，讓學(xué)生不依賴(lài)正方形，直接說(shuō)出一道算式，由其他同學(xué)說(shuō)說(shuō)這道算式存在的因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系，從而順利完成了第一步的抽象。緊接著，只給兩個(gè)數(shù)，要求學(xué)生說(shuō)出哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)。學(xué)生看到熟悉的6和12，能迅速調(diào)動(dòng)之前拼長(zhǎng)方形活動(dòng)中積累的經(jīng)驗(yàn)，順利完成知識(shí)的正遷移，完成了第二次抽象，此時(shí)學(xué)生的思維之門(mén)已經(jīng)悄然打開(kāi)。最后，只給一個(gè)數(shù)36，讓學(xué)生報(bào)出一個(gè)數(shù)，并說(shuō)出這個(gè)數(shù)和36的關(guān)系及想到的算式，激活了學(xué)生思維的興奮點(diǎn)。】

二、自主探索，推進(jìn)學(xué)生思維的深入

師:我發(fā)現(xiàn)絕大部分同學(xué)報(bào)的都是36的因數(shù)，只有兩位同學(xué)報(bào)的是36的倍數(shù)。那下面我們就先來(lái)研究如何找36的因數(shù)。

師：你準(zhǔn)備怎么找36的因數(shù)？

生1：4×9=36，4 和 9 都是 36 的因數(shù)。

師：你用（ ）×（ ）=36就找到了36的2個(gè)因數(shù)。

師：看來(lái)找36的一對(duì)因數(shù)不難，難就難在找出36的所有因數(shù)。想一想，怎么找才能不遺漏、不重復(fù)？

（課件出示：你能找到36的所有因數(shù)嗎？

1.想一想：怎么找才能不遺漏、不重復(fù)？

用算式記錄下你的想法，填寫(xiě)在右邊的方框里。

2.寫(xiě)一寫(xiě)：把36的所有因數(shù)寫(xiě)在橫線上。

36的因數(shù)有：________________。

3.完成后，先在小組里交流，說(shuō)出你的想法。）

生2：我寫(xiě)的算式有 4×9=36，6×6=36，1×36=36，2×18=36，找到 36 的因數(shù)有 4、9、6、6、1、36、2、18。

生3：他這里寫(xiě)了兩個(gè)6，重復(fù)了，只要寫(xiě)一個(gè)就行了。他還少寫(xiě)3和12兩個(gè)因數(shù)。

師：是的，相同的因數(shù)只要寫(xiě)一個(gè)就行了。想一想，怎么找才能不遺漏、不重復(fù)？

生4：乘法算式從1×36=36開(kāi)始，按順序接著寫(xiě)2×18=36，3×12=36 ，4×9=36 ，6×6=36。這樣一看就很清楚，而且不遺漏。

師：他說(shuō)到了一個(gè)詞語(yǔ)——順序。也就是有序地列舉出36的所有因數(shù)，這樣能防止遺漏和重復(fù)。

【思考：在游戲中，由于36這個(gè)數(shù)相對(duì)較大，絕大部分學(xué)生報(bào)出的是36的因數(shù)，只有一個(gè)學(xué)生會(huì)報(bào)出36的倍數(shù)。順著學(xué)生思維發(fā)展的方向，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生先研究如何找36的所有因數(shù)，此時(shí)學(xué)生迅速調(diào)動(dòng)之前剛獲得的經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)始列舉36的因數(shù)，但是一開(kāi)始的列舉是無(wú)序的、不全面的，在思考怎么找才能不重復(fù)、不遺漏的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要進(jìn)行有序地列舉。這樣，在自主探索的過(guò)程中，學(xué)生的思維在不斷地向深處行進(jìn)?！?/p>

三、猜數(shù)游戲，促進(jìn)學(xué)生思維的生長(zhǎng)

師：下面我們來(lái)玩一個(gè)猜數(shù)游戲，比比誰(shuí)的腦力好。

師：有一個(gè)數(shù)，它有5個(gè)因數(shù)，按從小到大的順序這樣排，分別對(duì)應(yīng)這五張卡片。（五張卡片依次貼在黑板上，卡片的背面分別寫(xiě)著 1、2、4、8、16）

師：想一想，不需要翻就能知道哪一張卡片上的數(shù)？為什么？

生1：不翻就能知道第一張卡片上的數(shù)是1，因?yàn)槿魏我粋€(gè)自然數(shù)的最小因數(shù)就是1。

師：恭喜你，非常正確。

師：翻開(kāi)哪一張就能知道這個(gè)數(shù)是多少？為什么？

生2：翻開(kāi)最后一張卡片，就知道這個(gè)數(shù)是多少。因?yàn)槊恳粋€(gè)自然數(shù)，它的最大因數(shù)就是它本身。

師：你真棒！

師：那剩余的幾個(gè)因數(shù)應(yīng)該在誰(shuí)和誰(shuí)之間？為什么？

生3：剩余幾個(gè)因數(shù)應(yīng)該在1和16之間。因?yàn)?6最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身16，所以其他因數(shù)應(yīng)該在1和16之間。

師：這說(shuō)明一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。

師：下面我們接著玩猜數(shù)游戲。這里有一個(gè)數(shù)，我依找出它的前五個(gè)倍數(shù)，并按從小到大的順序排列好。（教師把五張卡片依次貼在黑板上，卡片的背面分別寫(xiě)著 5、10、15、20、25）

師：翻開(kāi)哪一張就能知道這個(gè)數(shù)是多少？為什么？

生4：翻開(kāi)第一張，就能知道這個(gè)數(shù)是多少。因?yàn)槿魏我粋€(gè)自然數(shù)，它的第一個(gè)倍數(shù)就是用它乘1，也就等于它本身。

師:完全正確。還有不同的意見(jiàn)嗎？

生5：翻開(kāi)任何一張都可以。第一張的數(shù)是這個(gè)數(shù)的1倍，第二張的數(shù)是這個(gè)數(shù)的2倍，第三張的數(shù)是這個(gè)數(shù)的3倍……依次類(lèi)推，第五張的數(shù)除以5就可以得到這個(gè)數(shù)。

（教室響起熱烈的掌聲）

師：如果讓你繼續(xù)找下去，還可以找到5的倍數(shù)嗎？能找多少個(gè)？為什么？

生6：如果繼續(xù)找下去，可以找到無(wú)數(shù)個(gè)5的倍數(shù)，從5的一倍開(kāi)始，5的兩倍，5的三倍到5的無(wú)數(shù)倍，所以5的倍數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。

師：那一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是——

生（齊）：無(wú)限的。

【思考：在本環(huán)節(jié)的猜數(shù)游戲中，學(xué)生情緒飽滿(mǎn)，思維活躍。由于在猜數(shù)過(guò)程中，學(xué)生需要根據(jù)前面已有幾個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)，抽象概括出所有自然數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的共同特點(diǎn)，因此，在抽象、概括和推理的過(guò)程中，學(xué)生的思維在拔節(jié)生長(zhǎng)?！?/p>

【案例反思】

1.開(kāi)放的課堂，學(xué)生思維生長(zhǎng)的沃土

“因數(shù)和倍數(shù)”屬于概念性的教學(xué)內(nèi)容。我在第一次上課時(shí)不敢放手讓學(xué)生自主探索、自主構(gòu)建，人為地搭起了密密麻麻的腳手架，環(huán)環(huán)緊扣、完整的設(shè)計(jì)，使學(xué)生失去了思考的自由性，在教師強(qiáng)拉硬拽的牽引之下，學(xué)生只能跟著教師走，思維的發(fā)展受到了限制，所以教師和學(xué)生都感受到了無(wú)形的束縛感。第二次上課時(shí)，我采取了開(kāi)放式的教學(xué)設(shè)計(jì)，遵循學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的方向，讓學(xué)生在思考中經(jīng)歷因數(shù)和倍數(shù)概念的逐步抽象過(guò)程，學(xué)生在自主探索找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法過(guò)程中，思維在不斷地向深處行進(jìn)。

2.活動(dòng)中的追問(wèn)，學(xué)生思維生長(zhǎng)的階梯

數(shù)學(xué)是思維的體操，問(wèn)題是思維的階梯！第二次上課時(shí)，我主要讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，通過(guò)以問(wèn)引思，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。學(xué)生在自主探索如何找36的因數(shù)時(shí)，我的追問(wèn)“怎樣找才能不重復(fù)，不遺漏？”就能引導(dǎo)學(xué)生的思考走向深層次，學(xué)生的思維也隨之拾級(jí)而上。接下來(lái)的猜數(shù)游戲中，學(xué)生思維的激情完全被點(diǎn)燃，學(xué)生在抽象概括出所有自然數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的共同特點(diǎn)的過(guò)程中，思維力在慢慢地生長(zhǎng)，數(shù)學(xué)思想方法的種子也悄然播種在學(xué)生心田上。