江蘇南京市長江路小學(xué)（210000）

【教學(xué)片段】

師：如圖1，平行四邊形的面積是24.8平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？

圖1

生1：用24.8除以4就能算出。

師：為什么？

生1（遲疑很久）：△ABC的面積是平行四邊形面積的一半，陰影部分和△ABC等底，而高是△ABC的一半，所以陰影部分的面積是平行四邊形面積的一半又一半，因此除以4。

……

類似的場景不止一次出現(xiàn)過，我注意到這些學(xué)生大多都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的佼佼者，殊不知，他們能如此快地進(jìn)行判斷和論證，其實“數(shù)學(xué)直覺思維”功不可沒。

當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直反復(fù)強調(diào)邏輯思維，總是追問“為什么？”，殊不知，這樣卻抑制了學(xué)生的直覺思維發(fā)展。還有一些教師對于直覺思維的認(rèn)識也存在一定的誤區(qū)，認(rèn)為直覺思維是那些創(chuàng)造者的特權(quán)，對學(xué)生直覺思維中的突發(fā)性和非邏輯性存在偏見，覺得沒有嚴(yán)密的推理和思考的結(jié)果是不科學(xué)的。

直覺作為一種心理現(xiàn)象，貫穿于學(xué)習(xí)、研究和生活中，但是它更傾向于一種“感”，或是一種“悟”，所以直覺思維出現(xiàn)時，思維者對它也沒有清晰的意識，在課堂教學(xué)中容易被忽視，或者是被錯過。

一、把握本質(zhì)，走近數(shù)學(xué)直覺思維

關(guān)于數(shù)學(xué)直覺思維，美國教育家布魯納認(rèn)為“直覺是直接的了解或認(rèn)知”，法國數(shù)學(xué)家彭加勒認(rèn)為“數(shù)學(xué)直覺就是對于數(shù)學(xué)對象內(nèi)在的和諧與關(guān)系的直接洞察”，我國心理學(xué)者朱智賢、林崇德認(rèn)為“直覺思維是直接領(lǐng)悟的思維或認(rèn)知”，鄭毓信認(rèn)為“數(shù)學(xué)直覺是一種直接反映數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)關(guān)系的心智活動形式，是人腦對數(shù)學(xué)對象的某種直接的領(lǐng)悟或洞察”。

一般來說，可以將思維分為邏輯思維、形象思維和創(chuàng)造性思維，直覺思維是創(chuàng)造性思維的重要組成部分。不同于邏輯思維，直覺思維過程不遵循一定的邏輯規(guī)則，沒有清晰的思維步驟。簡單地說，直覺思維是沒有嚴(yán)格的邏輯推理的，是直接而快速地理解、思考問題。

我認(rèn)為，數(shù)學(xué)直覺思維就是在遇到比較復(fù)雜的問題時，能夠快速檢索自己的知識系統(tǒng)和經(jīng)驗儲備，經(jīng)過整體全面的觀察，抓住問題本質(zhì)，做出猜想并迅速判斷和推理，一下子找到解決問題的關(guān)鍵，從而非常快地解決問題。

一般來說，數(shù)學(xué)直覺思維會表現(xiàn)出如下一些特征。

其一，迅捷性。

面對一個問題，無須考慮和推理，根據(jù)自身的知識經(jīng)驗，結(jié)合具體情況，立刻做出判斷，即運用已有的知識經(jīng)驗，經(jīng)過整體全面的判斷，把握問題的本質(zhì)。

【案例】“一看就知道?！?/p>

題目：31.8×1.31＝（ ）。

A 4.1658 B 41.658 C 40.64 D 416.58

生1：選B。（其他學(xué)生驚訝于他的速度）

師：怎么想的？

生1：一看就知道。

生2：怎么一看就知道呢？

生1：答案顯然是三位小數(shù)??！其他就可以全部淘汰了。

師：如果答案里還有另一個三位小數(shù)，那該怎么辦？

生1：末位肯定8，而且三位小數(shù)必須大于30小于100。

顯然，這個學(xué)生能做出快速的判斷，是因為他掌握了小數(shù)的乘法計算的本質(zhì)，并且理解小數(shù)計算過程中估算的方法，所以整體觀察之后就能迅速得到了正確的答案。這里體現(xiàn)的就是數(shù)學(xué)直覺思維的迅捷性。

其二，跳躍性。

數(shù)學(xué)直覺思維會帶領(lǐng)思考者徑直走向最后的定論，這種跳躍性主要表現(xiàn)在想問題時不按部就班地進(jìn)行，而力求在問題中抓住某些信息就直接解決問題，具有一定的突然性。

【案例】“我有更簡單的辦法?！?/p>

題目：比較2/5和4/7的這兩個分?jǐn)?shù)的大小時，應(yīng)該怎么比？

生1：通分。

生2：我有更簡單的辦法。拿它倆都和1/2比，得到一個比1/2大，一個比1/2小。

在解決這個問題的時候，學(xué)生找到了“1/2”這個思維的支撐點，主要運用的就是分?jǐn)?shù)的數(shù)感，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)直覺思維的跳躍性。

其三，偶然性。

【案例】“哎呀，不對！”

題目：商場進(jìn)行抽獎活動，有3個箱子，如果允許去掉一個空箱子，得獎的可能性會變大嗎？

生（齊）：當(dāng)然了！

師：商場進(jìn)行抽獎活動，有3個箱子，你任意選一個箱子，然后打開剩下的2個箱子中空的那個，這時如果給你一次換箱子的機(jī)會，你換嗎？

生1：我不換，因為剩下兩個箱子選一個，選中的可能性都是1/2。

（其他學(xué)生表示同意）

師：真的不換嗎？

生1：哎呀，不對！還是要換！第一次選的時候得獎的可能性是1/3，如果知道了哪個是空箱子并把它去掉，就相當(dāng)于給你選了兩個箱子，所以得獎的可能性是2/3！

數(shù)學(xué)直覺思維往往都是無意識發(fā)生的，有時如閃電一般突然產(chǎn)生，思維者也經(jīng)常說不出為什么，無法闡述過程和原因。學(xué)生由于經(jīng)驗上的差異，會對事物產(chǎn)生不同的直覺，得到的結(jié)果也就會有差異，可能是對的，也可能是錯的，存在一定的偶然性，最終還是要經(jīng)過邏輯論證或?qū)嵺`證明。因此，對待學(xué)生正確的數(shù)學(xué)直覺思維結(jié)論，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生思考，找尋理論上的依據(jù)，而對于錯誤的數(shù)學(xué)直覺思維結(jié)論，則要給予恰當(dāng)?shù)慕忉?，幫助學(xué)生分析原因。

其四，創(chuàng)造性。

直覺思維是對研究對象的整體把握，著眼于從整體上揭示事物的本質(zhì)和聯(lián)系，是非邏輯性的思維，它是豐富多彩的，是向外發(fā)散拓展的，因而有時候是獨樹一幟的，具有創(chuàng)造性。

【案例】“我知道！”

題目：平行四邊形和三角形的面積和底分別相等，平行四邊形的底是20厘米，高是12厘米，三角形的高是（ ）。

生1:20×12×2÷20。

生2:我知道！三角形的高是24厘米，是平行四邊形的2倍。

這里，生2一反常規(guī)思路，根據(jù)公式和圖形之間的聯(lián)系，運用敏銳的直覺思維找到了具有創(chuàng)造性的、便捷的計算方法。

二、貼近兒童，走進(jìn)數(shù)學(xué)直覺思維

徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的。”因此，教師要結(jié)合直覺思維的特點，關(guān)注學(xué)生直覺思維能力的培養(yǎng)。

其一，夯實知識儲備。

扎實的知識基礎(chǔ)是直覺思維產(chǎn)生的源泉，直覺思維并不會憑空產(chǎn)生，首先要有扎實的基礎(chǔ)知識和豐富的經(jīng)驗方法。因此，教師要理解學(xué)生，設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)活動，以此提升學(xué)生的認(rèn)知理解水平，促進(jìn)學(xué)生直覺思維的發(fā)展。

【案例】原來這么簡單！

生1：0.237。

師：你怎么算得這么快？算式是分?jǐn)?shù)，你的答案怎么是小數(shù)呢？

生1：換成小數(shù)算很簡單（如圖2）。

圖2

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的簡算時，如果對它們之間的互化、定律、性質(zhì)等不熟練，沒有一定的簡算模型，是不可能有如此的直覺思維。因此，教師必須加強基礎(chǔ)練習(xí)，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，特別是將知識模塊化、結(jié)構(gòu)化。

其二，揭示思維過程。

多數(shù)的直覺思維讓人短時間內(nèi)說不出具體的原因和思考過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住事物的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生還原直覺思維的過程，把思維跳躍的地方清晰地說出來，從而完善想法，因為好的直覺思維也不是天上掉下餡餅。

【案例】“可以這樣想……”

師：怎樣求長方體的體積呢？

圖3

圖4

生1：長×寬×高。用1立方厘米的正方體來鋪滿它，有幾個正方體體積就是多少，只不過數(shù)起來有點麻煩。

生2：如果不是正好鋪滿，這種方法就不行。其實可以把長方體看成“底面積×高”，任意兩邊相乘都得到一個面，再乘另一條“高”就行。（如圖3）

生3：我同意生2的想法，而且我覺得正方體和圓柱的體積也可以這樣求。

生4：可以這樣想，把那個底面看成小薄餅，高度非常非常小，然后一片一片累積起來，這樣體積就是小薄餅的面積乘“高度”。（如圖 4）

關(guān)于長方體的體積公式，生1僅僅停留在“事實性知識”的層面，生2則達(dá)到了“概念性水平”，生3進(jìn)一步思考，在概念和已有經(jīng)驗之間建立聯(lián)系，他的理解屬于“方法性水平”，而生4所獲得的知識已經(jīng)達(dá)到“主體性水平”。在這個有層次的思考過程中，學(xué)生的直覺思維也不是無跡可尋的，教師只要堅持展示學(xué)生的思維過程，就能幫助學(xué)生養(yǎng)成正確直覺思維的習(xí)慣。

其三，引導(dǎo)整體觀察。

研究表明，借助圖形特征解題對培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維有很大的幫助。

【案例】題目：求 1/2＋1/4＋1/8＋1/16的值。由圖5，數(shù)形結(jié)合可知1/2＋1/4＋1/8＋1/16＝ 1－1/16 ＝15/16。

對于某些情況，由題目的條件和問題得出圖形規(guī)律或數(shù)量關(guān)系等，能幫助學(xué)生進(jìn)行跳躍性的思維，提高數(shù)學(xué)直覺思維能力。對于一些特別復(fù)雜的問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，找到關(guān)鍵之處，那么問題就會迎刃而解。

其四，鼓勵猜想。

數(shù)學(xué)猜想是依據(jù)數(shù)學(xué)知識對未知知識或關(guān)系做出推理，是一種科學(xué)假設(shè)。教師應(yīng)留給學(xué)生一些直覺思維的空間，不要急于說出答案，而是讓學(xué)生在觀察整體與局部中發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，進(jìn)而猜想判斷。

例如：用轉(zhuǎn)化的策略，能夠計算很多平面圖形的面積，那么圓形的面積公式是否也能通過轉(zhuǎn)化的策略得出呢？轉(zhuǎn)化成哪種圖形最好？猜想并驗證三角形的內(nèi)角和是180°。由一位小數(shù)和兩位小數(shù)的意義猜想三位或多位小數(shù)的意義……

圖5

其五，提升開放空間。

【案例】“我還有辦法！”

師：通過預(yù)習(xí)，我們知道三角形的面積公式是“三角形面積＝底×高÷2”，能想辦法證明這個公式嗎？請每個小組至少想出兩種不同的辦法。

生1：我們把兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，三角形面積就是平行四邊形面積的一半。這是把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

生2：我在書上看到古人把三角形轉(zhuǎn)化成長方形。實際上就是“1/2底×高”。

生3：我覺得還可以用“1/2高×底”。

生4：我還有辦法!可以這樣畫。（如圖6）

師：面積怎么好像變小了呢？

生4：那邊疊起來之后是2層，所以還要×2，就相當(dāng)于“1/2高×1/2底×2”。

巧妙和求異的想法只有在一個寬松、開放的空間里才能得以釋放。課堂上，多創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維生長的空間，真正讓數(shù)學(xué)直覺思維生根發(fā)芽！

總的來說，教師要及時捕捉學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感，同時，給學(xué)生更多的自主權(quán)，鼓勵學(xué)生有自己的奇思妙想，保護(hù)學(xué)生剛剛萌芽的數(shù)學(xué)直覺思維。另外，教師應(yīng)該順學(xué)而教，讓學(xué)生也能嘗試“跟著感覺走”并獲得成功的體驗。最后，借用斯圖爾特曾說過的一句話共勉：數(shù)學(xué)的所有力量就在于嚴(yán)格性和直覺巧妙地結(jié)合在一起，富有靈感的邏輯和控制的精神！

圖6

［1］徐立治，王前.數(shù)學(xué)與思維［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2016.

［2］鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論［M］.北京：教育出版社,2005.

［3］陳冬梅.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的探索［J］.小學(xué)教學(xué)參考，2009（18）.

［4］蔣桂蘭.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維能力培養(yǎng)的探索［J］.江蘇教育研究，2007（6）.

［5］張宏政.直覺思維與邏輯思維的巧妙結(jié)合［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2007（11）.

［6］潘霖.如何在高中幾何教學(xué)中培養(yǎng)直覺思維［M］.金華：浙江師范大學(xué)，2007.

［7］李銘偉，數(shù)學(xué)直覺思維在中學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中的作用［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2010（17）.

［8］孫紅麗.數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)［J］.新課程，2007（1）.

［9］蘇立云.論小學(xué)數(shù)學(xué)直覺思維及其培養(yǎng)［J］.當(dāng)代教育理論與實踐，2009（6）.