安徽省無為中學
胡 海 (郵編:638400)
2017年新修訂的數(shù)學課程標準給出六個“數(shù)學核心素養(yǎng)”,即:數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.新課標明確“落實立德樹人,提升核心素養(yǎng)”是數(shù)學學科目標.每年高考遵循考試大綱要求,體現(xiàn)新課標理念,有效地檢測考生的數(shù)學核心素養(yǎng).因此落實數(shù)學核心素養(yǎng)就是高考復習的關鍵.
盡管核心素養(yǎng)為高考復習指明了方向,但是還存在一些誤區(qū),高三教師應該重視并采取一定的措施,進而提高復習質(zhì)量.
圖1
A.△ABC的三邊長一定成等差數(shù)列
B.△ABC的三邊長一定成等比數(shù)列
C.△ABI,△ACI,△CBI的面積一定成等差數(shù)列
D.△ABI,△ACI,△CBI的面積一定成等比數(shù)列
答案:B.
例2(2018·常德高三模擬理16)在△ABC中,∠ACB=60°,BC>2,AC=AB+1,則△ABC周長的最小值為______.
此題學生不會建構關于邊長BC為自變量,△ABC周長的函數(shù)不等式模型.這次特別將數(shù)學建模引入數(shù)學核心素養(yǎng),可見數(shù)學建模的重要性.培養(yǎng)學生的建模意識,是高考復習的重要目標.
圖2
①
②
③
此題對運算求解要求很高,讓人望而生畏.再好的思維方法,沒有運算能力也枉然.
數(shù)學運算是數(shù)學活動的基本形式,是得到數(shù)學結果的主要手段.通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展,學生能夠形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.
答案:C.
牟合方蓋是劉徽構造的一個優(yōu)美幾何體,它是由完全相同的四個曲面構成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上,好似兩個扣合在一起的方形蓋.對牟合方蓋的直觀圖想象不出來,就難求出體積.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題、分析和解決數(shù)學問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.
例5(2018·安慶二模理19)某市有兩家共享單車公司,在市場上分別投放了黃、藍兩種顏色的單車,已知黃、藍兩種顏色的單車的投放比例為2:1.監(jiān)管部門為了了解兩種顏色的單車的質(zhì)量,決定從市場中隨機抽取5輛單車進行體驗,若每輛單車被抽取的可能性相同.
(1)求抽取的5輛單車中有2輛是藍色顏色單車的概率;
(2)在騎行體驗過程中,發(fā)現(xiàn)藍色單車存在一定質(zhì)量問題,監(jiān)管部門決定從市場中隨機地抽取一輛送技術部門作進一步抽樣檢測,并規(guī)定若抽到的是藍色單車,則抽樣結束,若抽取的是黃色單車,則將其放回市場中,并繼續(xù)從市場中隨機地抽取下一輛單車,并規(guī)定抽樣的次數(shù)最多不超過n(n∈N*)次.在抽樣結束時,已取到的黃色單車以ξ表示,求ξ的分布列和數(shù)學期望.
分析本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望和數(shù)列求和.(1)問主要考獨立重復試驗事件概率的計算;(2)問一方面求隨機變量ξ的分布列,另一方面計算期望時考查了錯位相減法.
(2)ξ的可能取值為:0,1,2,…,n.則
ξ12…n-1nP23·1323 213…23 n-1·1323 n
ξ的數(shù)學期望為:
①
②
①-②得:
.
本題是一道考查“幾何分布”的概率題,統(tǒng)計概率問題是提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的最有效載體..
新課程標準提出課程目標是“四基”、“四能”,即學生通過學習,獲得必需的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗;提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力.
案例以導數(shù)為例
通過一輪復習,導數(shù)專題中的“四基”“四能”基本完成.但在后期的復習中還要加強以下幾點:
(1)研究“四大??己瘮?shù)”.
函數(shù) 函數(shù)fx=xlnx
函數(shù)fx=xex 函數(shù)
(2)積累常見“母不等式”:
ex≥x+1,ex≥ex,
(3)常見的題型——含參數(shù)不等式成立問題處理方法
(4)研究導數(shù)的奇技巧招:“四大增長函數(shù)”的極限、“洛必達法則”、“中值定理”……
課本是數(shù)學知識、思想、方法的載體,是教學的依據(jù),更是高度智慧的結晶,具有權威性、指導性、規(guī)范性.高考復習要充分發(fā)揮課本作為提升數(shù)學核心素養(yǎng)的作用.
案例以橢圓生成為例
圖3
圖4
(1)第一定義:平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓.
(2)第二定義:
變形得:
圖5
由橢圓定義求標準方程過程可得:b2x2+a2y2=a2b2,
圖6
圖7
圖8
圖9
圖10
(4)折痕成橢圓(圖6)
(5)橢圓與圓的伸縮變化(圖7)
(6)動圓與兩圓外切、內(nèi)切生成橢圓
教材上習題:一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時與圓x2+y2-6x+91=0內(nèi)切,求動圓圓心的軌跡方程,并說明它是什么曲線.
(7)丹德林(Dandelin)雙球與橢圓(圖8)
(8)平面截圓柱生成橢圓(圖9)
鏈接高考(浙江省高考)如圖10,AB是平面α的斜線段,A為斜足,若點P在平面α內(nèi)運動,使得△ABP的面積為定值,則動點P的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓
C.一條直線
D.兩條平行直線
△ABP的面積為定值,動點P的軌跡是以AB為軸的圓柱,點P在平面α內(nèi)運動,則動點P的軌跡是平面截圓柱得的橢圓.
波利亞說:“數(shù)學是鍛煉思維的極好的學科”.通過問題解決,發(fā)展學生思維,提升核心素養(yǎng).
解法1用中線長公式來求解
根據(jù)條件3sinC=2sinB,不妨取b=3,c=2,以邊a為自變量,建構函數(shù)求解.由中線長公式得
.
解法2引角求解
.
反思三角函數(shù)是解決求范圍問題的利器.
解法3向量工具求解
不妨取b=3,c=2,設∠BAC=θ,
反思向量是高中數(shù)學的有利工具,多用向量解題.
解法4坐標化求解
可以A為原點,建立直角坐標系,不妨取b=3,c=2,設C3,0,Bx,y,則由
反思解析幾何方法是高中數(shù)學的通法,幾乎能解決所有問題.但遇到困難時,不妨建系設點引入坐標,常常使問題得以解決.
A.-ln3 B.-ln2
C.-1-ln3 D.-1-ln2
這是一道導數(shù)壓軸題,可一般化求解,但是費時費力.根據(jù)邏輯推理,可這樣巧解:
學生的思維水平直接影響其解決問題的能力.在高考復習中,應努力促進學生的思維發(fā)展,提升數(shù)學核心素養(yǎng).
結語
落實核心素養(yǎng)教師是關鍵,教師是參與者、組織者、引導者和促進者.在復習中教師應思正在和將要做的,如:小題狂練的全面性;專題復習的針對性;研究答題細則的規(guī)范性和考前指導的實用性等.教師應從“點、線、面”多維度來落實核心素養(yǎng).“點”是每堂復習課,“線”可以是每一個復習專題,“面”是整個高考復習工作.將點連成線,將線鋪成面,全面落實核心素養(yǎng).
總之,高考復習除了傳授數(shù)學知識、培養(yǎng)數(shù)學能力、領悟數(shù)學思想,更重要的是落實數(shù)學核心素養(yǎng),立德樹人.
1 李尚志.核心素養(yǎng)滲透數(shù)學課程教學.數(shù)學通報[J].2018(1)
2 羅增儒.核心素養(yǎng)與課堂研修[J].中學數(shù)學教學參考(中旬)[J].2017(8、9)
3 董林.關于勃羅卡點的基本結論及若干推論[J].數(shù)學通訊[J].2016(12)