安徽省合肥市第一中學(xué)

姚微微 段明貴 (郵編：230601 )

2017年11月筆者參加了安徽省高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課展示評比和觀摩活動，并榮獲一等獎.本文是筆者在參加比賽過程中的幾點感悟，現(xiàn)將呈現(xiàn)這一內(nèi)容與大家分享.

1 引言

圓錐曲線是必修階段“平面解析幾何初步”學(xué)習(xí)的繼續(xù).學(xué)生通過必修階段“平面解析幾何初步”的學(xué)習(xí)，體驗了通過建立方程解決幾何問題的過程，對解析幾何的思想方法有了初步的理解.但是在必修階段“平面解析幾何初步”的學(xué)習(xí)中，研究的幾何圖形是學(xué)生熟悉的直線和圓，而對于橢圓、拋物線、雙曲線缺乏了解，因此在本章的學(xué)習(xí)中要求學(xué)生采用代數(shù)的方法研究這些陌生的圖形，更進一步突出了解析幾何的思想方法.

本課是學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓之后學(xué)習(xí)的另一種圓錐曲線，橢圓的研究內(nèi)容與方法為雙曲線的學(xué)習(xí)作了鋪墊，學(xué)習(xí)方法可以遷移，為學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)提供了參考.在研究過程中，用代數(shù)方法研究幾何問題需要把幾何對象雙曲線代數(shù)化，也就是在平面直角坐標(biāo)系中建立它的方程.在代數(shù)化的基礎(chǔ)上，分析其幾何的特征，得出其幾何的性質(zhì).

2 目標(biāo)設(shè)置與內(nèi)容解讀

本節(jié)課的重難點是雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．學(xué)生需要了解雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，并且在在推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的研究過程中，進一步掌握解析幾何中數(shù)形結(jié)合的基本思想.同時還要讓學(xué)生們知道雙曲線的實際背景，體會雙曲線在解決實際問題中的重要作用.

3 學(xué)情分析與教學(xué)策略

從學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的基本概念看，他們已經(jīng)了解了橢圓定義的概括過程、定義中常數(shù)的限定范圍、如何建系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程、如何判斷焦點位置等一系列的知識，并且學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象概括的能力，所以，教師可以讓學(xué)生類比橢圓抽象概括出雙曲線的定義.

從本節(jié)課內(nèi)容看，學(xué)生對雙曲線的兩支的理解有一定難度 ；雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的概念與橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程是比較類似的，在教材的處理上也比較類似，但雙曲線卻是所有圓錐曲線中學(xué)習(xí)難度最大的一種.所以在教學(xué)中，教師首先要注意與橢圓進行類比，在類比中找到它們的相通處；其次也要注重其不同點，以構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識.而且學(xué)生在動手操作與利用信息技術(shù)協(xié)作解決問題等方面，發(fā)展不均衡，有待提高.

本節(jié)課的難點是雙曲線兩支曲線的生成過程，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，突破策略主要是：

(1)創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生從已學(xué)過的點、直線、圓、橢圓、拋物線等圓錐面截口曲線入手生成新的未知曲線，以期引入新的課題；

(2)學(xué)生動手操作，利用教具實現(xiàn)動點到兩定點距離之差的絕對值MF1-MF2=2a(a>0)的點的集合生成過程；

(3)學(xué)生適度模仿橢圓抽象雙曲線定義的過程，從類比中抽象概括得到雙曲線的定義；

(4)學(xué)生比較雙曲線與橢圓的區(qū)別，進一步理解雙曲線的定義；

(5)引導(dǎo)類比思考，讓學(xué)生將已學(xué)習(xí)過的橢圓和雙曲線這一新知之間建立聯(lián)系；

(6)類比橢圓的定義中的“和”引出“差”，從點的軌跡入手推出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

在本節(jié)課的教學(xué)中，主要以問題引領(lǐng)展開教學(xué)，通過教師引導(dǎo)、學(xué)生提問、師生交流、學(xué)生合作探究，讓學(xué)生自主建構(gòu)雙曲線的定義，自主推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．這樣做可使學(xué)生經(jīng)歷新概念產(chǎn)生的過程，從總體上認識新知識與原有知識的聯(lián)系，在過程中感受學(xué)習(xí)新概念、解決新問題的方法．

4 教學(xué)情境設(shè)計與思考

4.1 創(chuàng)設(shè)情境 建構(gòu)概念

引例在兩個對頂圓錐的組合體中，用一個平面去截幾何體，圓錐的表面與截面相交的曲線有哪些可能呢？

設(shè)計意圖通過學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的熟悉問題入手，自然產(chǎn)生未知的新的疑問：點、直線、圓、橢圓、拋物線都是學(xué)習(xí)過的，最后一類曲線沒有學(xué)習(xí)過.

問題1同學(xué)們，你們還記得橢圓的定義嗎？

設(shè)計意圖激活學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗.進一步類比猜測橢圓定義中的“和”可以改成“差”，學(xué)生自然聯(lián)想，產(chǎn)生新知.

教學(xué)片段

生：我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點的集合叫作橢圓.

師：這個常數(shù)有沒有要求呢？

生：這個常數(shù)要大于|F1F2|.

設(shè)計意圖本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓之后學(xué)習(xí)的另一種圓錐曲線，橢圓的研究內(nèi)容與方法為雙曲線的學(xué)習(xí)作了鋪墊，為學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)提供了參考.在研究過程中，用代數(shù)方法研究幾何問題需要把幾何對象雙曲線代數(shù)化，也就是在平面直角坐標(biāo)系中建立它的方程.

問題2如果把上述定義中距離的“和”改為“差”(學(xué)生猜出)，那么點的軌跡是怎樣的曲線呢？

設(shè)計意圖類比橢圓的定義，尋求新知.

4.2 動手實踐 生成概念

師生互動利用圓錐曲線教具，學(xué)生合作板演雙曲線的點的軌跡形成過程.

實驗1取兩個定點F1,F2，不等長細繩兩段，如圖(A)所示構(gòu)成三角形，|MF1|>|MF2|,粉筆放在兩細繩交匯點M處，把細繩逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點就畫出一條曲線.

實驗2將實驗1中的兩條細繩調(diào)換一下位置，如圖(B),使得|MF1|<|MF2|,重新操作一次,筆尖經(jīng)過的點又畫出一條曲線.

設(shè)計意圖①如果使用幾何畫板展示，動態(tài)的過程確實美麗，但學(xué)生不知為什么會得到它們，此時有些驚訝，有些“不明其理”.②多媒體給人太豐富的信息，剝奪了學(xué)生想象和深入思考的時空，較難在學(xué)生的大腦中留下深刻的烙印.

教學(xué)片段

師：當(dāng)|MF1|<|MF2|時,我們畫出了它的圖象,那么|MF1|>|MF2|可以嗎?

生：當(dāng)然可以.

師：那么，它的圖象又是怎樣的呢？

生：與右邊相對稱的左邊.

師：兩條曲線合在一起就叫雙曲線.

生：‖MF1|-|MF2‖=2a.(a>0)

問題3你能類比橢圓，把剛才作圖過程用文字語言提煉出雙曲線的定義嗎？

設(shè)計意圖挖掘定義背后的思維形成過程，引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓給出雙曲線的定義.(演示幾何畫板中雙曲線的點的軌跡形成)

4.3 類比探究 推導(dǎo)方程

問題4我們在研究完橢圓的時候，接下來做了什么？

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓的研究過程，自然過渡到標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

教學(xué)片段

師：我們在研究完橢圓的時候，接下來做了什么？“形”研究完后，我們就要看看它的“數(shù)”了，這個“數(shù)”就是它的方程.那么，你們還記得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程嗎？

生：建系，設(shè)點，限定條件，代入，化簡.

師：非常好，簡稱“建設(shè)限代化”.

探究互動請同學(xué)們回憶一下橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，思考：

(1)如何建系呢？(2) 如何化簡呢？(3) 有沒有不同的化簡方式呢？

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生類比思考，讓學(xué)生將已學(xué)習(xí)過的橢圓和雙曲線這一新知之間建立聯(lián)系；并讓學(xué)生動手參與推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的形成過程，使得方程成為在教師引導(dǎo)下，學(xué)生觀察、類比、推導(dǎo)之后的自然產(chǎn)物.

自主探究雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

設(shè)計意圖雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是這節(jié)課的難點，但是因為前面學(xué)習(xí)過橢圓的推導(dǎo)，所以學(xué)生并不陌生，難點比較容易突破.

教學(xué)片段展示學(xué)生成果(實物投影)

成果1

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

由雙曲線的定義可知2c>2a>0,所以c2-a2>0，從而有

成果2

①

②

由雙曲線的定義可知2c>2a>0,所以c2-a2>0.

生：類比橢圓，記c2-a2=b2(b>0),代入上式，得

師：這就是說，雙曲線上點的坐標(biāo)都滿足這個方程；反之，可以證明，以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在該雙曲線上.這個方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.這條雙曲線的焦點在x軸上，其坐標(biāo)為F1(-c,0),F2(c,0).(為后面的《曲線與方程》埋下伏筆)

思考如果在建系的時候，焦點落在y軸，那么它的標(biāo)準(zhǔn)方程該是什么樣呢?

設(shè)計意圖與焦點在x軸上的雙曲線比較，x軸和y軸的位置換了，故標(biāo)準(zhǔn)方程只需將x和y的位置更換即可.(根據(jù)學(xué)生可能出現(xiàn)不確定的結(jié)果預(yù)留代數(shù)角度解釋)

探究互動兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較.

①c2-a2=b2；

②分母是a2,b2,a>0,b>0,但a、b的大小不定；

③如果x2的系數(shù)是正的，則焦點在x軸上；

如果y2的系數(shù)是正的，則焦點在y軸上.

思考雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓有怎樣的區(qū)別呢？

4.4 辨析概念 例題互動

例1判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出焦點坐標(biāo).

設(shè)計意圖本節(jié)內(nèi)容雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程容易混淆，這4個概念辨析題的設(shè)置基本上涵蓋了新概念的易錯點，在辨析過程中加強學(xué)生對概念的理解與記憶,使同學(xué)們體會解題中的辯證思想——透過現(xiàn)象看本質(zhì)，變化中抓住不變量.

解法點評緊扣雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例2已知雙曲線的兩個焦點坐標(biāo)分別是F1(-5,0)、F2(5,0),雙曲線上的點到兩個焦點距離之差的絕對值是6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計意圖讓學(xué)生在尋找焦點所在軸的過程中，進一步體會雙曲線的定義.

變式若焦點為(0，-6)，(0,6)，經(jīng)過點(2，-5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計意圖學(xué)生分小組討論，通過學(xué)生合作學(xué)習(xí)，進一步體會雙曲線的定義.

4.5 課堂小結(jié) 作業(yè)布置

課堂小結(jié)同學(xué)們，這節(jié)課你們有什么樣的收獲呢？

設(shè)計意圖由學(xué)生總結(jié)概括本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以提煉并總結(jié).

作業(yè)布置

(1)課本80頁 練習(xí)1、2.

(2)探究：橢圓與雙曲線的共同點及不同點.

(3)上網(wǎng)查閱歌曲：《悲傷的雙曲線》.

設(shè)計意圖布置作業(yè)面向全體學(xué)生，①旨在學(xué)習(xí)鞏固雙曲線相關(guān)概念；②通過自學(xué)探究，讓學(xué)生了解橢圓與雙曲線的異同點，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

5 思考與感悟

上完課后，我靜下心來反思，因為是第一天上午比賽，時間上非常倉促，沒有時間和學(xué)生溝通，也沒有過多的時間準(zhǔn)備，所以我覺得這節(jié)課還有很多值得挖掘、思考和探究的地方：

(1)在讓學(xué)生板演雙曲線的圖象過程中，學(xué)生實際操作比較困難，畫圖耽誤了很多時間，從而讓后面的進程顯得有點倉促.這里我應(yīng)該給予更多的提示和幫助，如果教具能夠兩人一個，讓每一位同學(xué)都參與進來，可能效果會更好；

(2)由于時間的原因，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)學(xué)生只給出了兩種方法，實際上，兩邊直接平方也是可以繼續(xù)往下做的，推導(dǎo)如下：

換元，設(shè)t=x2+y2+c2

總而言之，參加安徽省高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課展示評比，我受益匪淺，每個參評的青年教師都讓我見識到了他們上課時不同的風(fēng)采，他們新穎的教學(xué)方法讓我耳目一新，特別是在每節(jié)課堂上的一些隨機應(yīng)變非常值得我去學(xué)習(xí).作為我們合肥一中數(shù)學(xué)組新生的力量，在以后的教學(xué)中，我要放開手，積極研究探究性的教學(xué)方法，讓學(xué)生自我實踐，感悟知識形成的過程，讓學(xué)生自主完成新知的探索過程，讓學(xué)生真真正正地體會獲得知識的喜悅，這樣印象才最深刻.為此，我會努力做到“降低”、“放手”、“等待”.“降低”就是要降低自己的教師身份，與學(xué)生面對面，讓學(xué)生盡量多地參與進來；“放手”就是教師要給學(xué)生充分的時間去思考和探究，把表現(xiàn)的機會盡量多地讓給學(xué)生；“等待”就是教師需要耐心地等待學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和解決問題.作為教師，我們不僅要分析教材，也要分析學(xué)生，挖掘教材的細微處.為此我會繼續(xù)奮斗，不斷反思，讓自己的教學(xué)更加完善，并盡快成為一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師.

1 中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].北京:人民教育出版社,2003

2 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2007

3 徐瀝泉著.教學(xué)·研究·發(fā)現(xiàn)——MM方式演繹[M].北京:科技出版社,2003

4 金明.課堂教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生盡情地“說”[J] .中學(xué)數(shù)學(xué),2013(5):9-12