淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

張 昆 張雨晴 (郵編：235000)

維果斯基指出，“教學(xué)在發(fā)展中能給予比包含在直接結(jié)果中更多的動力.教學(xué)用之于學(xué)生思維中的某一個點，它能變更和改革許多其他點.它在發(fā)展中更有久遠的、而不單是最近的結(jié)果.……教學(xué)過程有自己的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，自己的順序，自己展開的邏輯；事實證明，在每一個學(xué)生的頭腦里，似乎存在內(nèi)部的、地下的過程網(wǎng).這個過程網(wǎng)是在教學(xué)進程中產(chǎn)生和推進的，但它有自己發(fā)展的邏輯.學(xué)校教學(xué)心理學(xué)的主要任務(wù)之一是揭示這一內(nèi)部邏輯，揭示由各種教學(xué)進程引發(fā)的發(fā)展過程的內(nèi)部進程.”[1]由于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性特征，決定了數(shù)學(xué)教學(xué)總是離不開維果斯基所論述的最近發(fā)展區(qū)這種內(nèi)涵的，即每一個知識點都是知識結(jié)構(gòu)中的一個環(huán)節(jié)、一個項目作組成知識體系，這就決定了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計運用最近發(fā)展區(qū)策略內(nèi)涵的由來.運用最近發(fā)展區(qū)策略途徑很多，本研究從教學(xué)設(shè)計的經(jīng)驗出發(fā)，用課例說明運用最近發(fā)展區(qū)策略的一項途徑.

1 數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性決定了教學(xué)設(shè)計中選擇最近發(fā)展區(qū)策略的一般性

眾所周知，數(shù)學(xué)知識具有結(jié)構(gòu)性、邏輯性、層層遞進性的特點，除了最為原始的定義、公理、公設(shè)之外，其他具體知識點都是環(huán)環(huán)緊扣的數(shù)學(xué)知識遞進之流中的一個環(huán)節(jié)，每一個環(huán)節(jié)都會前有“來龍”、后有“去脈”，這種“來龍”便構(gòu)成了學(xué)生當下正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識點(環(huán)節(jié))的培養(yǎng)基，當下學(xué)習(xí)的那個數(shù)學(xué)知識點就是“來龍”的最近發(fā)展區(qū)；而當下的知識點(環(huán)節(jié))又構(gòu)成了“去脈”的培養(yǎng)基，這個“去脈”又構(gòu)成了當下學(xué)習(xí)的那個數(shù)學(xué)知識點的最近發(fā)展區(qū)；學(xué)生的數(shù)學(xué)知識積累、認知結(jié)構(gòu)的拓展、數(shù)學(xué)觀念體系的擴充，就是由從“來龍”經(jīng)由“最近發(fā)展區(qū)”到“去脈”這樣一個梯級一個梯級地前進的，這樣通過學(xué)生在教師指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生智囊中數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)反過來可以促進學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，如此形成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)認識的認知結(jié)構(gòu)的雙螺旋式地上升.

由于在產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)總體時，其中的一些環(huán)節(jié)的建立途徑可能不只是一條途徑，因此，有些環(huán)節(jié)又是可以替代的.于是，一方面，當學(xué)生新學(xué)習(xí)一個具體的數(shù)學(xué)知識點時，它的“來龍”——產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)知識點的培養(yǎng)基，可能存有幾種不同的先在的知識點，這就要求教師在教學(xué)設(shè)計時進行必要的選擇；另一方面，更為重要的是，教師必須對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)要具有一盤棋的思想，對依據(jù)某條線索而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)要了然于胸，在施教前面的知識點時，就要考慮到這個知識點可以作為后面學(xué)生將要學(xué)習(xí)的新知識點——最近發(fā)展區(qū)的優(yōu)化了的培養(yǎng)基.教師在教學(xué)設(shè)計時，這種精準把握數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生發(fā)生這種數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)認識的認知結(jié)構(gòu)不是一件容易的事，這就形成了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中的最近發(fā)展區(qū)策略.這里，基于研究者的教學(xué)經(jīng)驗，從自己的教學(xué)實踐眾多課例中選兩個典型的課例對最近發(fā)展區(qū)策略加以說明.

2 運用最近發(fā)展區(qū)策略的兩個課例

由于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性特征，理論上說，每一個數(shù)學(xué)知識點的課堂教學(xué)設(shè)計活動，的確需要也能夠通過最近發(fā)展區(qū)策略的過濾獲得課堂教學(xué)活動過程的有效性.然而，在教師的教學(xué)實踐中如何運用最近發(fā)展區(qū)策略呢？研究者很難構(gòu)建一種一般性的運用最近發(fā)展區(qū)策略的模式，但是，理在用中方之妙，現(xiàn)舉兩個教學(xué)中的課例對此加以說明.

北師大版初中教科書在其七年級下冊第23頁的完全平方公式這一節(jié)中，在通過實例帶領(lǐng)學(xué)生歸納出兩數(shù)和的完全平方式a+b2=a2+2ab+b2后，設(shè)置了讓學(xué)生“想一想”的問題，“你能用圖1解釋這一公式嗎？”；接著，又設(shè)計了讓學(xué)生“議一議”的問題，“a-b2=？你是怎樣做的？”經(jīng)由學(xué)生的探索與推導(dǎo)，得到了a-b2=a2-2ab+b2的結(jié)論；但遺憾的是，對于兩數(shù)差的完全平方公式，教科書中沒有像兩數(shù)和的完全平方公式一樣，對學(xué)生提出構(gòu)造一個圖形來加以解釋的要求.這是無可厚非的，因為，其一，這節(jié)課的要旨是促使學(xué)生完成“和與差的完全平方公式”形式的發(fā)現(xiàn)、記憶、理解與運用，兩數(shù)和的完全平方公式其實已經(jīng)使用圖形加以解釋了，學(xué)生可以由此而生成可以使用幾何圖形解釋代數(shù)恒等式的觀念了；其二，需要從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)量力而行，兩數(shù)差的完全平方公式用幾何途徑加以解釋對這個年齡段的學(xué)生而言是比較困難的.

但是，兩數(shù)差的完全平方公式其實在使用圖形加以解釋作為產(chǎn)生“勾股定理”的優(yōu)化的最近發(fā)展區(qū)起著非常重要的作用，對此，需要進一步分析.我們知道，在古希臘，由于畢達哥拉斯學(xué)派的產(chǎn)生了“萬物為數(shù)”(其中的“數(shù)”為可以公度的有理數(shù))的哲學(xué)觀點，當西珀斯發(fā)現(xiàn)正方形的邊長與對角線不能公度時，這種“萬物為數(shù)”哲學(xué)觀點的大廈便失去了基礎(chǔ)，這一學(xué)派便如喪考妣，于是，自此以后，希臘人便害怕無理數(shù)，幾乎放棄了代數(shù)學(xué).對于代數(shù)學(xué)中的公式就盡可能地使用幾何圖形的手段加以驗證與解釋，而對代數(shù)學(xué)的演繹性推導(dǎo)始終持有懷疑態(tài)度.[2]在勾股定理的發(fā)現(xiàn)史上，雖然，相傳畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了“勾股定理”(西方人稱之為“畢達哥拉斯定理”)，它的發(fā)現(xiàn)方法是獨特的，也被我們的教科書引用著，然而，這種發(fā)現(xiàn)與我國趙爽所構(gòu)建的“勾股圓方圖”一樣，都是一種即興靈感的產(chǎn)物.

圖1

圖2

圖3

圖4

從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的視角來看，出于希臘人對無理數(shù)恐懼的認識，我們由此推測與猜想，勾股定理的產(chǎn)生就是人們?yōu)榱耸褂脦缀螆D形的途徑解釋“兩數(shù)和與差的完全平方公式”而帶來的副產(chǎn)品.因為，當古希臘人在使用圖1來解釋“兩數(shù)和的完全平方公式”后，就必然會進一步提出問題，如何使用與圖1相似的圖形來解釋“兩數(shù)差的完全平方公式”，這種提出問題的觀念是自然而然地產(chǎn)生的.提出了這樣的合適問題，就意味著成功了一半，在這個問題的引領(lǐng)下，人們就會對此進行智力與思維的投入，便不難構(gòu)造出圖2，圖2可以很好地解釋“兩數(shù)差的完全平方公式”的形式.

研究者從數(shù)學(xué)史的視角，追蹤了產(chǎn)生作為勾股定理的這個知識點的最近發(fā)展區(qū)的“來龍”——為使用圖形來解釋“兩數(shù)差的完全平方差公式”，這種發(fā)現(xiàn)為我們在課堂教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生發(fā)生勾股定理這個知識點的認識找到了一條非常好的途徑，即依據(jù)“兩數(shù)差的完全平方差公式”的幾何解釋.基于這種數(shù)學(xué)史角度產(chǎn)生的認識，下面的內(nèi)容是實錄研究者設(shè)計出的勾股定理的一種課堂教學(xué)活動的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

師：我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過“兩數(shù)和的完全平方差”，可以設(shè)計一個幾何圖形，使用這個幾何圖形的面積來表示完全平方式——(a+b)2=a2+2ab+b2？

生1：只要構(gòu)建一個以邊長為a+b的正方形(如圖1)，就可以解決這個問題.

So L1=950×(I4-1)+b1-440+517+475=950×I4+b1-398, L2=A1-440-200-(950×I4+b1-398)=A1-950×I4-b1-242

師：大家類比上述用圖形表示代數(shù)式的方法提出一個新問題嗎？

生2：可以.能夠構(gòu)造一個幾何圖形解釋完全平方差公式(a-b)2=a2-2ab+b2嗎？

師：生2所提出的問題可解嗎？

生3：可以，只要將圖1變成圖2，就可以達到目的.圖2中的面積關(guān)系為(a-b)2=(a+b)2-4ab=a2-2ab+b2，這正是完全平方差公式.

師：現(xiàn)在，我向大家提出一個新問題，假如要研究一個直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形的三邊關(guān)系，可以借助于上述這些研究結(jié)果中的圖形，用以發(fā)現(xiàn)這個直角三角形三邊之間是否存有某種確定的關(guān)系嗎？

圖5

無獨有偶，在中國古算中，中國古人歸納出來的“出入相補”原理，應(yīng)用得相當普遍與成熟，有據(jù)可查的是劉徽(約公元225-約公元295)在其所撰的《九章重差圖》利用這個原理證明了勾股定理，可遺憾的是《九章重差圖》早已失傳了，我們現(xiàn)在已經(jīng)找不到劉徽所構(gòu)建的那個圖形了.趙爽(約公元182-約公元250)為《周髀算經(jīng)》勾股圓方圖寫注道，“案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股自差自乘為中黃實.加差實亦成弦實”[4].如圖5，教科書為了幫助教師施教，學(xué)生學(xué)習(xí)，在驗證勾股定理結(jié)論時，直接地給出了趙爽構(gòu)造出的圖5的結(jié)論，我們的許多教師也就依據(jù)教科書呈現(xiàn)的方式如法炮制，這損傷勾股定理課堂教學(xué)的有效性.如何構(gòu)建出圖5，具有極其重要教育價值，它的實現(xiàn)，教師非細心地把握學(xué)生構(gòu)建時的心理活動環(huán)節(jié)不可.研究者依據(jù)數(shù)學(xué)史料展開的分析，就是為了解決教科書的呈現(xiàn)不足的缺陷，獲得了如此的教學(xué)過程.

由分析產(chǎn)生勾股定理的歷史來源的心理過程及基于此對勾股定理這個知識點的教學(xué)設(shè)計，我們清楚地認識到，認識與選擇產(chǎn)生某個具體知識點(相對于先在的知識的最近發(fā)展區(qū))的教學(xué)活動的培養(yǎng)基不是一件容易事.數(shù)學(xué)教師必須要依據(jù)那個將要教學(xué)的數(shù)學(xué)知識點的特點，采用相應(yīng)(例如，勾股定理使用了歷史的分析與心理的分析，尋訪發(fā)生勾股定理認識(或模擬)的原創(chuàng)者是如何形成趙爽“勾股圓方圖”的真實心理活動過程.

課例2從“向量的數(shù)量積的定義”表示向量的數(shù)量積與“向量數(shù)量積的坐標”表示向量的數(shù)量積中產(chǎn)生兩角差的余弦公式.

“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”這一章[5]中(見文[5]第125頁到126頁).首先，選擇“兩角差的余弦公式”作為突破口(這是因為這個公式利于推導(dǎo))；其次，使用這個公式的結(jié)論推導(dǎo)出其他公式(兩角和、差的正弦公式、兩角和的余弦公式與兩角和、差的正切公式).那么，如何首先突破“兩角差的余弦公式”呢？教材的編制思路是，其一，引導(dǎo)學(xué)生猜想兩角差的余弦公式的形式；其次，啟發(fā)學(xué)生使用向量的數(shù)量積的定義表示與坐標表示這兩種不同的運算途徑證明了前面經(jīng)由猜想而得到的公式.

眾所周知，“兩角差的余弦公式”具有很多種推導(dǎo)方法，也就是說，它的“來龍”的最近發(fā)展區(qū)不只一條線索，教科書以一種平面坐標幾何圖形的表達式(見文[5]第125頁，圖3.1-2)與向量的數(shù)量積兩種不同的算法(見文[5]第125頁，圖3.1-3)作為它的兩個最近發(fā)展區(qū)，產(chǎn)生了兩條相去甚遠的探究思路，其實是對眾多的推導(dǎo)方法通過比較后的正確選擇.對于“平面坐標幾何圖形的表達式”來說，作為最近發(fā)展區(qū)，我們很難找到它的出處，但是，對于向量的數(shù)量積的最近發(fā)展區(qū)，這正是“兩角差的三角公式”這個知識點的前一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，因此，我們在教學(xué)設(shè)計時，可以在講完向量的數(shù)量積定義表示與坐標表示之后，立即采用提出新問題的形式，產(chǎn)生兩角差的余弦公式.具體教學(xué)途徑可以這樣展開：

圖6

師：對于生1與生2同學(xué)計算結(jié)果，大家能夠發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生3：比較①②，知abcos(α-β)=ab(cosαcosβ+sinαsinβ),兩邊都除以ab,知cos(α-β)=(cosαcosβ+sinαsinβ).

師：這就是我們下一章所要將的“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”的突破口——“兩角差的余弦公式”，大家牢記這個話題，我們到時候再與同學(xué)們一起研究.

這種數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計具有主動出擊的意味，它不是靠等著學(xué)生到學(xué)習(xí)“兩角差的余弦公式”時才探究這個公式的產(chǎn)生，而是主動地利用數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性，當教師確認了向量的數(shù)量積的兩種運算途徑作為培養(yǎng)基而構(gòu)成了萌生“兩角差的余弦公式”的最近發(fā)展區(qū)，便乘勢向知識結(jié)構(gòu)的下一個環(huán)節(jié)發(fā)展，從而拉開了學(xué)生學(xué)習(xí)“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”的序幕.體現(xiàn)了教師對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)把握的精準性與利用這種知識結(jié)構(gòu)促進學(xué)生發(fā)生新知識環(huán)節(jié)的及時性，實踐證明，這比教科書的安排更合理，能增強教學(xué)的有效性.

3 課例中運用最近發(fā)展區(qū)策略的經(jīng)驗

研究者出示了自己初中教學(xué)與高中教學(xué)各一課例，并且提供了詳細的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動過程實錄，展示在課堂教學(xué)活動中運用最近發(fā)展區(qū)策略的實踐途徑.要知道這種教學(xué)活動過程的來由不是教科書明確給予的，也不是研究者可以不費力氣信手拈來的，而是研究者在多年教學(xué)活動積累起來的經(jīng)驗與反思中，通過分析數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、分析學(xué)生發(fā)生具有這種特定數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的認識時繞不過去的心理過程、并仔細地進行教學(xué)法加工，點滴積累、苦心積慮地探求數(shù)學(xué)教學(xué)技能技巧的結(jié)果.借此機會，簡要地說說通過這兩個課例，形成運用最近發(fā)展區(qū)策略的經(jīng)驗.

其一，運用最近發(fā)展區(qū)策略要提請教師特別注意數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系.大多數(shù)時候，這種泛泛地閱讀未必可以起到多大作用，此時，尤其需要教師琢磨數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的知識點與知識點之間的具體聯(lián)系環(huán)節(jié).課例1就是對這種觀點的最好說明，“兩數(shù)和或差的完全平方公式”的幾何解釋，構(gòu)成了勾股定理的最近發(fā)展區(qū)是經(jīng)由研究者長期的教學(xué)思考而產(chǎn)生的結(jié)果，這里給出的課堂教學(xué)活動過程只是對這種長期教學(xué)思考的外化而已，可以說是經(jīng)過了“十月懷胎”之后的“一朝分娩”，研究者(讀者通過這個課例的閱讀也可以)深深地體會形成如此教學(xué)活動過程時內(nèi)中的艱辛.

其二，由于數(shù)學(xué)知識點的特點不同，決定了知識點與知識點之間的聯(lián)系強弱遠近不盡相同.課例1從“兩數(shù)和與差的完全平方差公式”到直角三角形的“勾股定理”的形式聯(lián)系環(huán)節(jié)非常弱，存在的距離非常遠，研究者形成這樣的認識，是對數(shù)學(xué)史知識掌握得非常好，知道古希臘人一般情況下總是盡可能地采用幾何背景解釋相關(guān)的代數(shù)恒等式，以此為起點，推測古希臘人在歐幾里得寫出的《原本》之前，就是使用了這種途徑得到了勾股定理這個結(jié)論的，于是，研究者分析也就是估計與設(shè)想古希臘人發(fā)現(xiàn)勾股定理的途徑，并將這些研究的成果引入了教學(xué)設(shè)計及基于此的課堂教學(xué)中.課例2中的“向量數(shù)量積的兩種不用的運算途徑”構(gòu)成了“兩角差的余弦公式”的最近發(fā)展區(qū)，這兩個知識點之間的聯(lián)系非常直接，因此，教科書在處理“兩角差的余弦公式”就是利用這個最近發(fā)展區(qū).研究者發(fā)現(xiàn)，與其到施教“兩角差的余弦公式”時引進“向量數(shù)量積的兩種不用的運算途徑”，不如采用課例2的方法在“向量數(shù)量積的兩種不用的運算途徑”時，直接設(shè)置問題情境，產(chǎn)生“兩角差的余弦公式”，更有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系，獲得更好的課堂教學(xué)效果.

其三，教師要特別重視對數(shù)學(xué)知識作結(jié)構(gòu)性的理解.研究者在這兩個課例的教學(xué)活動如此使用“培養(yǎng)基”與最近發(fā)展區(qū)策略，就是這些數(shù)學(xué)知識點的特點分析得非常到位，幾乎觸及到了這些知識點及其固有聯(lián)系的本質(zhì)，從而經(jīng)由教學(xué)法加工生成的教學(xué)預(yù)設(shè)，從這種教學(xué)預(yù)設(shè)出發(fā)，保證了研究者在課堂上啟發(fā)學(xué)生探究知識發(fā)生時，師生都顯得從容不迫、游刃有余，取得了非常理想的教學(xué)效果.

4 結(jié)語

要想數(shù)學(xué)課堂教學(xué)運用好最近發(fā)展區(qū)策略，數(shù)學(xué)教師必須做好幾個方面的努力：首先，整體地掌握初中階段(初中教師)或高中階段(高中教師)進入數(shù)學(xué)課程的全體知識；其次，多方位地探究這些知識點之間的聯(lián)系環(huán)節(jié)，找到(或從兩個知識點的多種聯(lián)系環(huán)節(jié)中選擇)知識的來龍去脈；再次，通過分析，揣測發(fā)生具體知識點認識是學(xué)生所繞不過去的心理環(huán)節(jié)；最后，將知識點之間的最近發(fā)展區(qū)的環(huán)節(jié)與學(xué)生發(fā)生具有這種知識結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)的心理環(huán)節(jié)整合起來，通過教學(xué)法加工后，在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上呈現(xiàn)于學(xué)生面前.

1 [前蘇聯(lián)]維果斯基. 維果斯基教育論著選[M]. 余震求，譯. 北京：人民教育出版社，2005：228-242

2 [美]H·伊夫斯.數(shù)學(xué)史概論[M].歐陽絳，譯. 張理京，校. 太原：山西人民出版社，1986：68-76

3 張昆.暴露思維過程的課堂教學(xué)創(chuàng)新實踐 [J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2018(6)：27-31

4 劉鈍. 大哉言數(shù)[M]. 沈陽：遼寧教育出版社，1993：390-391

5 人民教育出版社，課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材開發(fā)中心(劉紹學(xué)主編).普通高中課堂標準實驗教科書·數(shù)學(xué)1必修④[M].北京：人民教育出版社，2007