徐小花 陳明文? 王自東

1 引 言

共晶界面形態(tài)穩(wěn)定性是凝聚態(tài)物理學(xué)和材料科學(xué)的一個基礎(chǔ)課題[1?6].定向凝固過程中晶體形態(tài)的不穩(wěn)定性可能會導(dǎo)致不同的微觀結(jié)構(gòu),最終極大地影響產(chǎn)品的物理和機械性能.Hele-Shaw生長室是觀察共晶定向凝固過程的典型實驗裝置,它是一個封存有樣品材料的十分扁平的容器.生長室設(shè)置了一個高溫區(qū)與一個低溫區(qū),高溫區(qū)的溫度設(shè)為TH,低溫區(qū)的溫度為TC,材料的凝固溫度TM介于兩者之間:即TC

固體材料本身并非各向同性介質(zhì),其晶格結(jié)構(gòu)使固體體內(nèi)的物理量以及表面的物理參數(shù)依賴于取向,變?yōu)楦飨虍愋粤?固體材料這些物理參量的各向異性特征對凝固過程動力學(xué)與界面穩(wěn)定性機理以至對界面微結(jié)構(gòu)圖案的形成與選擇造成重要的影響[14].王志軍等[15,16]研究了各向異性表面張力對定向凝固過程中初始平界面穩(wěn)定性的影響,發(fā)現(xiàn)各向異性表面張力的非線性效應(yīng)導(dǎo)致界面傾斜生長.Chen等[17]研究了各向異性表面張力對定向凝固過程中球晶生長的影響,發(fā)現(xiàn)在各向異性表面張力作用下,球晶生長初始階段部分界面首先向內(nèi)移動,達到一定的熔化深度后向外移動.Xu[18]研究了各向異性表面張力對定向凝固過程中枝晶生長的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng)存在各向異性表面張力時,枝晶系統(tǒng)具有兩種不同的整體不穩(wěn)定性機理:震蕩不穩(wěn)定性與低頻不穩(wěn)定性.陳明文等[19]研究了各向異性表面張力對定向凝固過程中深胞晶生長的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng)各向異性表面張力增大時,深胞晶界面全長增大,根部低端的曲率半徑增大.本文應(yīng)用多重變量展開法研究各向異性表面張力條件下定向凝固共晶生長形態(tài)穩(wěn)定性,揭示了各向異性表面張力對共晶生長不穩(wěn)定性區(qū)域大小的影響.

圖1 共晶結(jié)構(gòu)的示意圖Fig.1.Schematic diagram of the eutectic structure.

2 定向凝固系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)由α和β兩相組成的片層共晶以拉度V向液相穩(wěn)定推進,共晶片層與固-液界面垂直.選取固-液界面處α相片層的中心為坐標原點,x軸與片層垂直,z軸與晶體生長方向平行,如圖1所示.共晶界面用函數(shù)z=h(x,t)表示,它也是共晶生長解的一部分.

本文引用Xu等[12]的無量綱化尺度,并且假設(shè)主間距的一半?w遠小于溶質(zhì)擴散長度?D=κD/V,即?w? ?D,其中κD為溶質(zhì)擴散系數(shù). 選取?w為長度尺度,V為速度尺度,?w/V為時間尺度,?H/(cPρL)為溫度尺度,Ce為濃度尺度,其中?H是單位體積內(nèi)固相潛熱,cP是比熱容,ρL是溶質(zhì)密度,Ce是共晶濃度.無量綱溫度ˉT=(T?Te)/[?H/cPρL],無量綱濃度ˉC=(C?Ce)/Ce,無量綱無窮遠處濃度ˉC∞=[(C∞)D?Ce]/Ce,其中Te是共晶溫度,(C∞)D是有量綱無窮遠處濃度.為了書寫簡潔起見,下文省略掉無量綱量頭上的符號“-”.各向異性表面張力用四重對稱函數(shù)γ(θ)= γ0[1+ γ4cos(4θ)][14]表示,其中γ0為各向同性表面張力系數(shù),γ4為各向異性表面張力系數(shù),θ為界面法向量與z軸之間的夾角.共晶生長系統(tǒng)還包含以下無量綱量:Peclet數(shù)Pe= ?w/?D;形態(tài)參數(shù)M=(?mCe)/[?H/(cPρL)],m 是液相線系數(shù);界面穩(wěn)定性參數(shù)Γ = ?c/?w,?c是毛細長度,?c= γ0cPρLTe/(?H)2; 無量綱溫度梯度G=(G)D?w/[?H/(cPρL)],(G)D是與實驗裝置相關(guān)的有量綱溫度梯度;無量綱間距參數(shù)Wc=wc/?w,wc表示α相寬度的一半.

注意到γ0,γ4,m和分離系數(shù)κ都是分段常值函數(shù),在α相和β相都有各自對應(yīng)的常數(shù)值.用q來代表這類物理量,qα表示其在α相的函數(shù)值,qβ表示其在β相的函數(shù)值.由于溶質(zhì)擴散長度?D遠小于熱擴散長度?T= κT/V,即?D? ?T,其中κT是熱擴散系數(shù).界面溫度可以近似表示為TL=TS～ G(z?z?),其中TL,TS分別是液相和固相溫度,z?是與α相尖端位置有關(guān)的常數(shù).對于典型的實驗材料,Peclet數(shù)Pe很小.以CBr4-C4Cl6[20,21]生長系統(tǒng)為例,Pe≈0.01,Γ≈2.5×10?5.為了做漸近分析,本文把Peclet數(shù)Pe作為基本的小參數(shù),假設(shè)ε=Pe? 1且Γ=ε2ˉΓ,ˉΓ=O(1).

為考察共晶生長形態(tài)穩(wěn)定性,利用共晶生長的定常解作為基態(tài)進行穩(wěn)定性分析.在初始時刻t=0時對基態(tài)解做一小擾動,并將在t>0以后形成的非定常解分解成兩個部分:

其中{CB,hB}是系統(tǒng)的基態(tài),{e C,?h}是系統(tǒng)的擾動態(tài).假設(shè)初始擾動態(tài)的范數(shù)共晶生長系統(tǒng)的定常解為[11]:

其中

θ?是α相的接觸角,θ+是β相的接觸角,這兩個接觸角與夾度θα,θβ以及傾斜角ψ之間滿足關(guān)系式θ?= θα?π/2?ψ,θ+= θβ?π/2+ψ,如圖2所示.

圖2 三相點附近的界面示意圖Fig.2.A sketch of the interface shape near the triple point.

將系統(tǒng)方程以振幅遠小于1進行線性化處理,結(jié)合(1)式—(4)式,可以得到共晶生長系統(tǒng)的擾動態(tài)滿足以下控制方程和邊界條件:

1)在遠場區(qū)域,當(dāng)z→∞時,

2)在側(cè)壁x=0和x=1上,

(b)反對稱(antisymmetric)模式(A-模式)

3)在界面z=hB上,

(a)Gibbs-Thomson條件

(a)對稱(symmetric)模式(S-模式)

由三角誘導(dǎo)公式可知,

于是有

結(jié)合(9)式和(10)式,Gibbs-Thomson條件可以改寫為

(b)雜質(zhì)質(zhì)量守恒條件

3 擾動態(tài)的多重變量漸近展開解

為了得到系統(tǒng)擾動態(tài)的漸近解,引入快變量[12]

按照多重變量(x,z,x+,z+,t+),解可以寫成如下形式:

并對波數(shù)函數(shù)和特征值做如下展開:

3.1 零級近似解

將(13)式—(17)式代入到方程和邊界條件(5)式—(12)式,可以得到系統(tǒng)在零級近似下的控制方程和邊界條件為

1)在遠場區(qū)域,當(dāng)z→∞時,

2)在側(cè)壁x=0和x=1上,

(a)S-模式

(b)A-模式

3)在界面z=0或z+=0上,

(a)Gibbs-Thomson條件

(b)雜質(zhì)質(zhì)量守恒條件

其中?Θ(x)為分段常值函數(shù),?Θα=1,?Θβ=??κ.

4)三相點處的連接條件,當(dāng)x=w0時,

上述共晶生長系統(tǒng)有如下零級近似模式解[12]:

其中系數(shù)?D0是一個任意的復(fù)常數(shù).記?A0(x)=?A0(x,0),將模式解(25)式和(26)式代入到界面條件(22)式和(23)式中,得到

該系統(tǒng)存在非零解的條件是方程的系數(shù)行列式為零,此條件給出了一個局部的色散關(guān)系式:

其中

局部色散關(guān)系式(29)是定向凝固中,對于平直界面情形的Mullins-Sekerka公式[22]的推廣.當(dāng)γ4=0,ψ=0時,(29)式變?yōu)?/p>

(31)式與文獻[12]中給出的(10)式相同.對于任意給定的參數(shù)σ0,從色散關(guān)系式(29)中可以解出3個波函數(shù):

其中

當(dāng)γ4=0,ψ =0時,(32)式變?yōu)?/p>

其中

(33)式與Xu等[12]給出的(12)式相同.

這3個波函數(shù){(x),(x),(x)}分別給出了系統(tǒng)3個基本的波動形式解{H1,H2,H3}.在這3個解中,波數(shù)函數(shù)(x)對應(yīng)的波動形式解H2必須排除掉,因為當(dāng)z+→∞時,濃度場的擾動振幅將指數(shù)增長,這是不合理的.有物理意義的解只有H1和H3.對于任意固定的點,在ε→0的極限條件下擾動態(tài)的一般解必定是解H1與解H3的線性迭加.從而,界面函數(shù)外部區(qū)域的通解可用這兩個基本界面行波的組合表示:

其中系數(shù)是待定常數(shù).

3.2 一級近似解

濃度場滿足的一級近似控制方程和邊界條件為:

1)在遠場區(qū)域,當(dāng)z→∞時,

2)在側(cè)壁x=0和x=1上,

(a)S-模式

(b)A-模式

3)在界面z=0或z+=0上,

(a)Gibbs-Thomson條件

(b)雜質(zhì)質(zhì)量守恒條件

上述濃度場的一級近似系統(tǒng)是非齊次的,它允許以下形式的模式解:

其中系數(shù)?D1是一個任意的復(fù)常數(shù).記?A1(x)=?A1(x,0),將模式解(41)式和(42)式代入到界面條件(39)式和(40)中,整理得

其中

由于(43)式和(44)式構(gòu)成的非齊次線性系統(tǒng)的系數(shù)行列式為零,故{?A1,?D1}存在非零解的充分必要條件為

(47)式給出了共晶生長系統(tǒng)的可解性條件:

從方程(43)式—(48)式得到如下公式:

4 全局模式解和量子化條件

為了得到全局模式解,界面函數(shù)的通解必須在三相點x=w0處滿足連接條件,在側(cè)壁x=0和x=1處滿足側(cè)壁條件.由于局部解在α相和β相是反對稱的(A-)或者是對稱的(S-),存在著四種不同的組合方式,因此共晶生長系統(tǒng)允許四種類型的全局模式解,即AA-,AS-,SA-和SS-模式,如圖3所示.在圖3(a)中,全局解在α相和β相均是反對稱的,稱之為AA-模式,即:當(dāng)x=0時,?hα=0; 當(dāng)x=1時,?hβ=0. 在圖3(b)中,全局解在α相是反對稱的,而在β相是對稱的,稱之為AS-模式,即: 當(dāng)x=0時,?hα=0;當(dāng)x=1時,??hβ/?x=0. 在圖3(c)中, 全局解在α相是對稱的,而在β相是反對稱的,稱之為SA-模式,即:當(dāng)x=0時,??hα/?x=0;當(dāng)x=1時,?hβ=0.在圖3(d)中,全局解在α相和β相均是對稱的,稱之為SS-模式,即: 當(dāng)x=0時,??hα/?x=0;當(dāng)x=1時,??hβ/?x=0.

1)全局AA-模式

全局解在三相點處滿足連接條件,在側(cè)壁上滿足側(cè)壁條件:

圖3 擾動系統(tǒng)的四種振動模式 (a)AA-模式;(b)AS-模式;(c)SA-模式;(d)SS-模式Fig.3.Sketch of the perturbed system by four vibration systems connected with a mass:(a)AA-modes;(b)AS-modes;(c)SA-modes;(d)SS-modes.

將解(34)式代入到方程(50)式和(51)式中,常數(shù)滿足以下方程組:

從方程組(52)—(55),得到

其中

對于全局AA-模式,特征值σ0滿足以下量子化條件:

其中Ξ =(cosθ?/cosθ+)2.

2)全局AS-模式

全局解在三相點處滿足連接條件,在側(cè)壁上滿足側(cè)壁條件:

將解(34)式代入到方程(60)式和(61)式中,化簡整理后得

對于全局AS-模式,特征值σ0滿足以下量子化條件:

3)全局SA-模式

全局解在三相點處滿足連接條件,在側(cè)壁上滿足側(cè)壁條件:

將解(34)式代入到方程(65)式和(66)式中,化簡整理后得

對于全局SA-模式,特征值σ0滿足以下量子化條件:

4) 全局SS-模式

全局解在三相點處滿足連接條件,在側(cè)壁上滿足側(cè)壁條件:

將解(34)式代入到方程(70)式和(71)式中,化簡整理后得

對于全局SS-模式,特征值σ0滿足以下量子化條件:

5 穩(wěn)定性分析

由量子化條件可以看出特征值σ0是關(guān)于參數(shù)ε和γ4的隱函數(shù).任意給定參數(shù)ε和γ4,可以得到一個復(fù)數(shù)值σ0. 為了更好地闡明生長條件對共晶生長系統(tǒng)的影響,引入無量綱參數(shù)[11,12]υ = ?c,αV/κD, 它反映拉速V 的大小;?β=??c,α(G)D/mαCe,它反映溫度梯度(G)D的大小.通過化簡可以知道,υ=ε3ˉΓα,?β=υG/M.本文采用與Xu[23]研究枝晶的形態(tài)穩(wěn)定性相似的方法,對于四種震蕩模式得到各自對應(yīng)的穩(wěn)定臨界值εaa?, εas?, εsa?和εss?. 共晶生長系統(tǒng)穩(wěn)定的選擇判據(jù)為:

當(dāng)ε>ε?,min,共晶生長系統(tǒng)是不穩(wěn)定的;

當(dāng)ε6ε?,min,共晶生長系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

共晶生長系統(tǒng)穩(wěn)定的選擇性條件為:

1)全局穩(wěn)定模式

給定生長條件,令量子化條件(59)式、(64)式、(69)式和(74)式中特征值σ0=0,發(fā)現(xiàn)只有AA-模式允許一系列中性穩(wěn)定曲線,這種非震蕩條件下的不穩(wěn)定模式又被稱為ST-模式.ST-模式導(dǎo)致所謂的交換穩(wěn)定性機理.從圖4可知,隨著各向異性表面張力系數(shù)增大,穩(wěn)定臨界值ε?隨之減小.這就意味著,各向異性表面張力減小穩(wěn)定性區(qū)域,使得交換穩(wěn)定性機理更加穩(wěn)定.當(dāng)各向異性表面張力退化為各向同性表面張力時,即當(dāng)γ4α=0,γ4β=0時,圖4(a)中虛線與Xu等[12]給出的圖5(a)中黑色實線一致,圖4(b)中實線與Xu等[12]給出的圖5(b)中紅色實線一致.對比圖4(a)中三條曲線,各向異性表面張力對片層共晶穩(wěn)定性有顯著的影響.

2)全局震蕩模式

給定生長條件,令量子化條件(59)式、(64)式、(69)式和(74)式中Re(σ0)=0,Im(σ0)= ω?=0,用數(shù)值的方法計算AA-,AS-,SA-和SS-模式對應(yīng)的穩(wěn)定臨界值εaa?, εas?, εsa? 和εss?. 這四種振蕩不穩(wěn)定模式導(dǎo)致了所謂的全局不穩(wěn)定性機理,圖5—圖8給出了四種震蕩不穩(wěn)定模式的穩(wěn)定臨界值εaa?, εas?, εsa? 和εss? 隨著υ 的變化圖. 從圖5、圖7和圖8可以看出,隨著各向異性表面張力系數(shù)增大,穩(wěn)定臨界值εaa?,εsa? 和εss? 隨之減小. 這就意味著各向異性表面張力減小片層共晶生長的穩(wěn)定性區(qū)域,增強了AA-,SA-和SS-這三種全局震蕩模式的全局不穩(wěn)定性;然而,對于AS-全局震蕩模式而言,從圖6可以看出,隨著各向異性表面張力系數(shù)增大,穩(wěn)定臨界值εas?隨之增大.這就意味著,各向異性表面張力增大片層共晶生長的穩(wěn)定性區(qū)域,減弱了AS-全局震蕩模式的全局不穩(wěn)定性.

圖4 當(dāng)σ0=0(n=0)時,對于AA-模式,臨界值ε?隨υ的變化,其中?C∞=?0.12,w0=0.63,?=0.15,?κ=1.33,(R c=ˉΓβ/ˉΓα),Mα=0.107,Mβ=?0.0711,θ+=65.3?,θ?=59.5?,ψ=0,?β=4.88×10?10(a)臨界值ε?隨υ的變化;(b)參數(shù)β?隨υ的變化Fig.4.The variation ofε?withυfor the AA-mode when the eigenvalueσ0=0(n=0),where?C∞=?0.12,w0=0.63,?=0.15,?κ=1.33,(R c=ˉΓβ/ˉΓα),Mα=0.107,Mβ=?0.0711,θ+=65.3?,θ?=59.5?,?β=4.88×10?10:(a)The variation of the stability critical numberε? with υ;(b)the variation ofβ? with υ.

圖5 當(dāng)Re(σ0)=0,Im(σ0)= ωaa?時,對于AA-模式,(a)臨界值εaa?隨υ的變化,(b)特征頻率值ωaa?隨υ的變化,其他參數(shù)取值同圖4Fig.5.The variation of εaa? with υ for the AA-mode when the eigenvalue Re(σ0)=0,Im(σ0)= ωaa?:(a)The variation of the stability critical number εaa? with υ;(b)the variation of the corresponding eigenfrequency ωaa?withυ.The values of other parameters are the same as those given in Fig.4.

圖6 當(dāng)Re(σ0)=0,Im(σ0)=ωas?時,對于AS-模式,(a)臨界值εas?隨υ的變化,(b)特征頻率值ωas?隨υ的變化,其他參數(shù)取值同圖4Fig.6.The variation of εas? with υ for the AS-mode when the eigenvalue Re(σ0)=0,Im(σ0)= ωas?:(a)The variation of the stability critical number εas? with υ;(b)the variation of the corresponding eigenfrequency ωas?withυ.The values of other parameters are the same as those given in Fig.4.

圖7 當(dāng)Re(σ0)=0,Im(σ0)=ωsa?時,對于SA-模式,(a)臨界值εsa?隨υ的變化,(b)特征頻率值ωsa?隨υ的變化,其他參數(shù)取值同圖4Fig.7.The variation of εsa? with υ for the SA-mode when the eigenvalue Re(σ0)=0,Im(σ0)= ωsa?:(a)The variation of the stability critical number εsa? with υ;(b)the variation of the corresponding eigenfrequency ωsa?withυ.The values of other parameters are the same as those given in Fig.4.

圖8 當(dāng)Re(σ0)=0,Im(σ0)=ωss?時,對于SS-模式,(a)臨界值εss?隨υ的變化,(b)特征頻率值ωss?隨υ的變化,其他參數(shù)取值同圖4Fig.8.The variation of εss? with υ for the SS-mode when the eigenvalue Re(σ0)=0,Im(σ0)= ωss?:(a)The variation of the stability critical number εss? with υ;(b)the variation of the corresponding eigenfrequency ωss?withυ.The values of other parameters are the same as those given in Fig.4.

6 結(jié) 論

本文研究了定向凝固過程中各向異性表面張力對共晶生長形態(tài)穩(wěn)定性的影響.應(yīng)用多重變量漸近展開法解決了表面張力為各向異性時線性繞動態(tài)的特征值問題,導(dǎo)出了受各向異性表面張力影響的界面形態(tài)表達式和擾動振幅變化率與波數(shù)滿足的色散關(guān)系,以此為基礎(chǔ)給出了共晶生長的臨界穩(wěn)定性判據(jù)和界面形態(tài)滿足的量子化條件.結(jié)果表明:各向異性表面張力對定向凝固系統(tǒng)的穩(wěn)定性有顯著的影響.與各向同性表面張力條件下的共晶凝固系統(tǒng)相比較,考慮各向異性表面張力的定向凝固系統(tǒng)中共晶生長界面形態(tài)也有兩種整體不穩(wěn)定機理:由非震蕩導(dǎo)致的“交換穩(wěn)定性”和由震蕩導(dǎo)致的“整體波動不穩(wěn)定性”機理.穩(wěn)定性分析表明共晶界面穩(wěn)定性取決于Peclet數(shù)的某一個臨界值ε?,當(dāng)Peclet數(shù)大于臨界值ε?時,共晶界面形態(tài)不穩(wěn)定;當(dāng)Peclet數(shù)小于臨界值ε?時,共晶界面形態(tài)穩(wěn)定.隨著各向異性表面張力增大,對應(yīng)于AA-,SA-和SS-模式的臨界值εaa?,εas?,εsa? 和εss?減小,各向異性表面張力減小穩(wěn)定性區(qū)域,各向異性表面張力加強這三種模式的穩(wěn)定性;然而,隨著各向異性表面張力增大,對應(yīng)于AS-模式的臨界值εas?也增大,各向異性表面張力增大穩(wěn)定性區(qū)域,各向異性表面張力減弱AS-模式的穩(wěn)定性.

本文得到了加拿大麥吉爾大學(xué)徐鑒君教授的指導(dǎo)與幫助,作者表示感謝.作者徐小花感謝天津城建大學(xué)陳永強教授的有益討論與幫助.

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