劉保義

（天水師范學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，甘肅 天水 741001）

在一般普通物理學(xué)中，[1-2]對長直載流螺線管外部磁場，認(rèn)為無限長直，且是細(xì)導(dǎo)線均勻密繞，給出的結(jié)論是管外磁感強(qiáng)度很小，可以看作零。應(yīng)該說，這些結(jié)論是在近似條件下得出的，是一種近似值，與絕對等于零性質(zhì)不同。有一些文獻(xiàn)對此進(jìn)行了探討，文獻(xiàn)[3]、[4]論證相對較深刻，但對電流密度的認(rèn)識和正交分解不準(zhǔn)確，對電流強(qiáng)度得出并應(yīng)用了I=Icosα+Isinα這樣的結(jié)論，這顯然是不正確的，因?yàn)殡娏鲝?qiáng)度是標(biāo)量而不是矢量。本文精確分析長直均勻密繞載流螺線管上電流的分布，給出計(jì)算螺線管外部磁場的一種簡明方法。

1 長直載流螺線管電流的分解

長直載流螺線管是指均勻密繞在長直圓柱面上的螺旋形線圈，如圖1所示，設(shè)其半徑為R，長度為L，螺旋線切線方向與圓周平面的夾角為α，螺距為h，每單位長度有線圈n匝，通過導(dǎo)線的電流強(qiáng)度為I，當(dāng)L＞＞R時，可視為無限長載流螺線管。取螺線管中心軸線為z軸，z軸正方向與載流導(dǎo)線電流成右手螺旋關(guān)系，x軸沿圓周半徑方向向外，如圖2所示。

電流密度是一個矢量，該矢量在導(dǎo)體中各點(diǎn)的方向代表該點(diǎn)電流的方向，其數(shù)值等于通過該點(diǎn)單位垂直截面的電流強(qiáng)度，[1]電流強(qiáng)度與該點(diǎn)電流密度的關(guān)系為：

圖1 載流長直螺線管

圖2 螺線管電流密度的正交分解

而其中d為導(dǎo)線半徑。載流螺線管的導(dǎo)線可看作圓柱螺旋線，電流密度方向也就沿圓柱螺旋線的切線方向。建立柱坐標(biāo)系在選取的電流元處單位矢量沿圓半徑向外，沿圓周切線方向，與軸線平行。電流密度在柱坐標(biāo)系中正交分解得

-→某點(diǎn)電流密度在過該點(diǎn)處的密切平面內(nèi)，所以在eρ方向的分量為零。切向電流密度與軸向電流密度大小為

法線方向與電流方向相同，沿圓柱螺旋線的切線方向，大小為導(dǎo)線截面，把它在柱坐標(biāo)系正交分解

即有

所以

積分得出圓環(huán)電流與軸向電流

上兩式相加得出

上式表明，螺線管上沿圓柱螺旋線方向的電流，可看作沿圓周切線方向的圓環(huán)電流與軸向電流兩個分電流并聯(lián)組成，這也符合電流的疊加原理。由三角函數(shù)關(guān)系可得出

由幾何關(guān)系可知，tanα=h(2πR)，所以有

這樣就得出兩個分電流的大小，即圓環(huán)電流和軸向電流為

若單位長度有n匝線圈，總匝數(shù)為N，螺線管長為L，則有 n=N/L，又L=Nh，所以有h=1/n，則（10）式可表為

對密繞螺線管（相鄰導(dǎo)線緊密切靠在一起），螺距h與導(dǎo)線直徑2d的幾何關(guān)系是：sinα=2d(2R)，由（6）式把圓環(huán)電流和軸向電流還可表述為

當(dāng)R＞＞d時，這是一種極限情況，也是我們求解長直載流密繞螺線管磁場常用的方法，數(shù)學(xué)方法簡單，與實(shí)際情況接近。

2 長直載流螺線管磁場的求解

螺線管上沿圓柱螺旋線方向的電流正交分解為圓環(huán)電流與軸向電流，則磁場也看作是圓環(huán)電流與軸向電流分別產(chǎn)生并疊加形成。圓環(huán)電流線密度為：nIφ=nIcos2α，圓環(huán)電流在管外的磁場為零，在管內(nèi)形成勻強(qiáng)磁場，方向沿軸向，與電流成右手螺旋關(guān)系，大小為

當(dāng)R＞＞d時，由上式可得出Bzmax=μ0nI，與我們常見的結(jié)論一致。

軸向電流可看作均勻分布在螺線管外面，形成一個圓筒電流，電流密度為

具有軸對稱性，由環(huán)路定理可知，此電流在螺線管內(nèi)不產(chǎn)生磁場，在螺線管外的磁場與長直載流導(dǎo)線形成的磁場性質(zhì)相同，關(guān)系式為

在螺線管外表面處，r=R，磁場最強(qiáng)為

螺線管外表面處的磁場強(qiáng)度與管內(nèi)場強(qiáng)之比

舉例計(jì)算螺線管外表面處的磁場強(qiáng)度，如果有n=5/cm，R=3cm，上式比值為1.2×10-6，非常小。

3 結(jié) 論

從本文可以得知，無限長直均勻密繞載流螺線管的磁場分布為：其管內(nèi)磁場是由圓環(huán)電流所產(chǎn)生，方向沿螺線管軸向，并與圓環(huán)電流成右手螺旋關(guān)系。其外部磁場是由軸向電流所產(chǎn)生，磁感應(yīng)強(qiáng)度很小，方向沿圓周切線方向并與軸向電流成右手螺旋關(guān)系。盡管管外的磁場趨向于零，但與絕對等于零的性質(zhì)是不同的，在磁AB效應(yīng)中，把管外磁場按照絕對等于零對待，是不對的，從（15）式可看到，管外表面附近的場強(qiáng)與螺線管半徑成3次方反比關(guān)系，當(dāng)R很小時，螺線管外表面附近的場強(qiáng)并不小。在磁AB效應(yīng)中，由于電子的波長很短，限制磁場在很小區(qū)域內(nèi)，螺線管半徑R不但必須很小，長度還不是無限長，螺線管外表面附近的場強(qiáng)是存在的，不能當(dāng)作零處理，實(shí)際上這就是磁AB效應(yīng)產(chǎn)生的原因。

[1]趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]郭碩鴻.電動力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1997.

[3]柳建國,陳鉞.長直載流螺線管的磁場的研討[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,(3):72.

[4]蔡子勇.長直螺線管磁場的全空間解[J].大學(xué)物理,1986,(1).