程蓉

摘 要：數(shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的思想精華，蘊(yùn)含了最豐富的創(chuàng)新教育素材，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是養(yǎng)成的思維方式、方法遷移能力也最強(qiáng)。因此，教師在講授新的概念時(shí)，必須要重視和分析概念形成過程，還原概念的本質(zhì)，讓學(xué)生更容易理解新概念，更容易對(duì)新知識(shí)找到共鳴；讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)參與發(fā)現(xiàn)，從中感受和諧、連貫、嚴(yán)密、有用的數(shù)學(xué)之美。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；方法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）07-063-1

眾所周知，概念是思維的基本形式之一，是對(duì)一切事物進(jìn)行判斷和推理的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，正確地理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提，因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。在教學(xué)中，很多教師比較熱衷于各種題型的歸類與技巧的強(qiáng)化，希望學(xué)生會(huì)套用技巧、按程序去解決問題，而對(duì)概念的教學(xué)，不愿意花大力氣去分解剖析。其直接結(jié)果是：學(xué)生一旦遇到題設(shè)、情境稍加改變的問題，因無法套用技巧而束手無策。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)返璞歸真，回歸課本，回歸到概念本質(zhì)的教學(xué)，而避免題海戰(zhàn)術(shù)及各種方法總結(jié)技巧訓(xùn)練。例如我在實(shí)際的教學(xué)中遇到這樣一個(gè)問題：

問題：五封不同的信投入三個(gè)郵筒

（1）有多少種不同投法？

（2）每個(gè)郵筒中至少要有一封信，有多少種不同投法？

解：（1）對(duì)每封信來說，有3種投法，分五步把這些信都投完，則共有3×3×3×3×3=35（種）投法。

（2）先從5封信選出3封信投入3個(gè)郵筒（保證每個(gè)郵筒至少要有一封信），共有A35種方法，再把剩下的2信任意投入3個(gè)筒內(nèi)，有3×3=9種方法，按照分步計(jì)數(shù)原理，共有A35×9=540種不同的投法。

這是學(xué)生學(xué)完計(jì)數(shù)原理初次接觸該問題，大部分學(xué)生給出的解答過程。第（1）問大部分學(xué)生沒有問題，講解重點(diǎn)放在第（2）問，首先給學(xué)生舉了一個(gè)反例：郵筒分別為記為1、2、3，5封信分別記為A、B、C、D、E，如下表所示：

通過具體的例子說明這樣做會(huì)出現(xiàn)重復(fù)，然后強(qiáng)調(diào)這類問題要先分組再分配，并且從中總結(jié)出“分組分配問題”模型，要求學(xué)生記在筆記本上。但是間隔一段時(shí)間后，學(xué)生解答同類型問題時(shí)，依然會(huì)出現(xiàn)同樣的錯(cuò)解。

通過與學(xué)生溝通，了解到學(xué)生認(rèn)為一件事只要分先后順序完成，就是“分步”，就能用分步計(jì)數(shù)原理?；仡櫛救嗽谟?jì)數(shù)原理這一概念的教學(xué)：本人先通過兩個(gè)問題引入，然后發(fā)現(xiàn)總結(jié)出原理，個(gè)人認(rèn)為原理比較簡(jiǎn)單，就把兩個(gè)原理區(qū)別對(duì)比，然后就進(jìn)行例題講解和課堂訓(xùn)練。由于課堂上沒有對(duì)原理進(jìn)行剖析，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)分步的標(biāo)準(zhǔn)，分步各步的方法數(shù)互不影響的判斷，毫無意識(shí)。雖然舉了反例，學(xué)生也知道錯(cuò)了，但為什么錯(cuò)卻一知半解，再次出錯(cuò)也在所難免。

為了讓學(xué)生真正弄清楚上述問題，本人采取了這樣的補(bǔ)償教學(xué)。

首先，通過一個(gè)簡(jiǎn)單的小問題：

從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

讓學(xué)生回顧分步計(jì)數(shù)原理內(nèi)容：

完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步時(shí)有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。

強(qiáng)調(diào)原理本質(zhì)：如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，（即相對(duì)于前一步的每一種方法，不影響下一步方法的選?。?，那么完成這件事的方法數(shù)就可以直接用乘法原理。

再次，面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)解，可反問學(xué)生：這樣的分步能否保證第一步與第二步的方法數(shù)互不影響？教師可以讓學(xué)生相互交流討論，學(xué)生通過枚舉會(huì)發(fā)現(xiàn)有重復(fù)的分法出現(xiàn)。教師再追問：還能用分步計(jì)數(shù)原理嗎？從而進(jìn)一步說明原理中“分步”的本質(zhì)。接著問學(xué)生：怎樣正確分步呢？學(xué)生會(huì)想到，應(yīng)該先把信分成3份，再投入3個(gè)郵筒，并形象地稱為“先打包，再分配”，從而保證前后方法數(shù)互不影響。那么把5封不同的信打成3包，有多少種不同的方法呢？可打成3、1、1三包，有C35×C122=10種方法，打成2、2、1三包，有C25×C232=15種方法，故不同的投法有（10+15）×A33=150種。通過講解以后，學(xué)生知道分步不是簡(jiǎn)單的分成一、二、三…步相乘就可以，“分步”也是有其標(biāo)準(zhǔn)和原則的。再遇到類似的題目，學(xué)生學(xué)會(huì)了考慮能否這樣分步？會(huì)不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)？

總之，對(duì)概念教學(xué)，教師應(yīng)當(dāng)把主要精力投入到概念、原理產(chǎn)生發(fā)展過程和其本質(zhì)的探究，并能深入細(xì)致地引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用概念原理去分析、解決問題。教師應(yīng)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)真鉆研教材，準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，對(duì)教材的基本思想、基本概念，教材的結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)與難點(diǎn)都弄清楚。