王成會 莫潤陽 賀西平 邊小兵 陳 時

(陜西師范大學物理學與信息技術學院 陜西 西安 710062)

1 引言

中學和大學物理教學中通常應用牛頓擺裝置[1](圖1)來演示并驗證碰撞過程中動量和能量守恒，在生活中也常有類似的桌球游戲、玩具等[1,2]，它們的共同特征是有多個彼此獨立且彼此接觸的m個同質等大的球構成的球鏈，在此球鏈上，可實現有效的能量和動量傳遞并表現出許多有趣的現象，比如，移動球鏈上n(n

圖1 牛頓擺裝置

多球鏈牛頓擺并不符合直觀的碰撞規(guī)律，即不能把“不活躍”小球[1]看作整體應用動量守恒定律，為更好地解釋物理現象，許多學者提出連續(xù)碰撞模型解釋牛頓擺球鏈上的動量傳遞規(guī)律[1,4]，他們認為各小球之間有很小的縫隙，因此，球鏈上的動量和能量傳遞過程中符合兩兩之間的系列碰撞規(guī)律.連續(xù)碰撞模型預測球鏈上“不活躍”小球將處于靜止狀態(tài)，但是牛頓擺運動的高速攝影實驗結果表明，球鏈上的“不活躍”小球在碰撞結束后也獲得了很小的運動速度，因此，連續(xù)碰撞模型并不能完美地解釋實驗觀察到的物理現象.更完善的模型是將球鏈上的小球抽象為質點和彈簧系統(tǒng)[5～9]，如圖2所示，從而擺球碰撞球鏈在球鏈上引起的動量和能量傳輸可通過質量和彈簧之間的能量轉換和轉移實現.本文將基于牛頓擺球鏈質量-彈簧模型分析研究牛頓擺系統(tǒng)的動量和能量傳遞的影響因素.

圖2 質量-彈簧模型

2 理論模型

2.1 牛頓擺模型方程

將牛頓擺簡化為多個半徑同為R的勻質球構成的球鏈，置于光滑水平面上，球心在同一直線上；初始時刻除碰撞小球具有初速度v0外，其他小球均處于靜止狀態(tài)且彼此間距為2R；若忽略擺球與其他靜止球碰撞過程中的能量損失，則可將每個小球看做是理想質點與勁度系數κ組成的系統(tǒng).為簡化分析，本文將對由3個小球構成的牛頓擺進行動力學分析.若以小球1恰好接觸小球2的時刻為計時起點，此時小球1的中心位置為坐標原點，各小球連心線為坐標軸的坐標系中，系統(tǒng)動力學方程可表示為[5～8]

(1)

(2)

(3)

式中x1,x2和x3為碰撞小球的位置坐標，m為小球質量，勁度系數κ是與物質材料特性相關的物理量，其表達式為[5]

(4)

其中E是楊氏模量，σ是材料泊松比.設τ=ωt，其中

無量綱動力學方程為

(5)

(6)

(7)

2.2 牛頓擺擺球碰撞引起的能量和動量傳遞特征

(8)

能量變化分別為

(9)

能量和動量傳輸的效率與小球之間的相互作用時間有關，通常情況下，對剛度較大的球鏈而言，入射小球1的速度越大，小球之間的相互作用越強，能量和動量在球鏈上傳遞的效率越高.

3 牛頓擺運動影響因素

3.1 碰撞過程特征

圖3 小球位置變化和間距變化特征

圖4 速度變化特征

通過對比發(fā)現，隨著撞擊小球1速度的減小，彼此間相互作用時間延長，可近似將整個作用時間等分為3個階段：第一階段主要表現為小球1和小球2碰撞，二者之間發(fā)生動量和能量交換；第二階段為混合作用區(qū)，球鏈上3小球之間均表現為較強相互作用，動量和能量實現從小球1到小球3的傳遞，第二階段末，小球1與小球2之間的相互作用結束；第三階段僅表現為小球2與小球3之間的相互作用，在此階段末，小球3幾乎獲得了初始時刻小球1的速度.在此過程中，能量和動量始終守恒.通過比較圖4(a)～ 圖4(d)的速度變化特征發(fā)現，無論初始時刻小球1的速度如何，在理想情形下，小球3的末速度約為0.993v10，小球1與小球2作用結束時小球1末速度約為-0.071v10，而小球2與小球3作用結束時小球3末速度約為0.076v10.

3.2 碰撞過程中能量和動量傳遞

在球鏈模型中，動量和能量的時間變化率分別為

(10)

(11)

3.3 阻尼影響

通過數值分析發(fā)現，忽略阻尼對牛頓擺各小球相互作用影響的情形下小球1和2末速度均不為零，且相對于其t=0時刻的初始位置發(fā)生了小幅偏移，這勢必增加牛頓擺工作過程的不穩(wěn)定性，正如我們在演示實驗中觀察到的那樣，擺球的幅度越來越低，其他各小球的運動也越來越明顯.各小球相互作用的動力學系統(tǒng)是非線性的，不僅如此，碰撞結束后的擺球運動也是非線性的，非線性運動過程對初值非常敏感，初值極小的變化就可能引起較大系統(tǒng)非線性響應，因此，要想觀察到穩(wěn)定的牛頓擺現象，需充分考慮各種影響因素的作用，以實現更好地控制.文獻[7]等引入恢復系數分析碰撞過程中的能量耗散，文獻[5]根據非彈性碰撞特征在動力學方程中引入粘彈性力因子，其形式為

(12)

4 結論

作為物理演示實驗,牛頓擺裝置的研究具有重要的科學意義，準確而通俗易懂的解釋有助于提升學生學習興趣，培養(yǎng)學生的科學素養(yǎng).不僅如此，牛頓擺模型的經典理論研究方法及其研究結論還拓展到了現代科學領域[10,11]，為分析鏈式結構的粒子之間的相互作用提供了理論基礎.本文基于三體鏈式球作用系統(tǒng)分析牛頓擺模型中動量和能量傳遞特征，通過無量綱動力學方程的數值分析發(fā)現，對鏈式球系統(tǒng)，無論入射擺球的初速度如何，整個單向碰撞過程結束后各球末速度和入射擺球的初速度比值趨于定值；但是入射擺球的初速度大小影響鏈式球系統(tǒng)的相互作用時間，入射速度越大，作用時間越短，動量和能量傳遞的效率越高.鏈式球系統(tǒng)的能量和能量傳遞快慢受到球的大小和材料等因素的影響，通常情況下，阻尼的影響因素也不能忽略.

參 考 文 獻

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11 K. Sekimoto. Newton′s cradle versus non-binary collisions. Physical Review Letters, 2010, 104: 124302