劉 坤
(上海市尚德實驗學校 (201400))
物理與數學聯(lián)系密切,物理問題的建模、求解,都離不開數學工具的支持.筆者在研究初中物理競賽的賽題時,發(fā)現許多極值的求解、判斷物理量變化情況的問題,均要使用基本不等式.而大部分同學對這類問題感到困難,無從下手.本文就以上問題,作出初步探討.
設a>0,b>0,則有:(a-b)2≥0,
展開,可得:a2+b2≥2ab①
將②式變形可得:
至此,我們可以得出如下常用結論:
亦可得出類似于(1)(2)的結論.
學生在求解極值、判斷物理量變化情況的問題時,遇到的障礙有兩個,一是不能很好的建立物理模型,利用物理規(guī)律寫出物理量之間的函數解析式,尤其是題目中有些物理量還需要假設出來,就更讓同學們不知所措.二是雖然寫出了物理量之間的數學表達式,但是不會利用基本不等式的有關知識求解極值,或者判斷物理量的變化關系.
利用基本不等式處理極值類問題,最重要的兩個步驟分別是:(1)寫出所求物理量與其他物理量之間的關系式(2)根據寫出的關系式,求解所需的極值.下面針對上述方法,分別從光學,力學,電學簡單介紹下應用:
1.光學中的應用
例1 (第30屆上海大同杯初賽)凸透鏡的焦距為f,點光源S2和光屏M位于凸透鏡的左右兩側,點光源位于凸透鏡的主光軸上,光屏與凸透鏡的主光軸垂直并和點光源的距離保持L不變,且f
2.力學中的應用
例2 如圖2所示L型輕桿通過鉸鏈O與地面連接,OA=AB=6m,作用于B點的豎直向上拉力F能保證桿AB始終保持水平.一質量為m的物體以足夠大的速度在桿上從離A點2m處向右運動,物體與桿之間的動摩擦因數與離開A點的距離成反比μ=1/x.已知重力加速度為g=10m/s2,則物體運動到離開A點距離x=____m時拉力F達到最小.此時F=____.
分析與解不難發(fā)現,拉力F隨著物塊離開A點的距離x的變而變化,我們仍要先寫出F與x的關系式.
3.電學中的應用
例3 在如圖4所示的電路中,已知電阻R1的阻值小于滑動變阻器的最大阻值R0.閉合電鍵S,在滑動變阻器的滑片P由最左端向右滑動的過程中,說明滑動變阻器滑片P由最左端向右滑動的過程中,電路總電阻R總變化情況,并指出R外取得極值的條件.
分析與解總電阻隨著滑片的移動而不斷改變,不妨設滑動變阻器Pb段阻值為Rx,則Pa段阻值為R0-Rx,電路中AB部分實際是R1與Pa段電阻串聯(lián)后,再與Pb段并聯(lián),則由并聯(lián)電路電阻規(guī)律,有:
從以上例題可以看出,一旦從題目中挖掘到有用的信息,并和已有的知識建立聯(lián)系從而寫出相關的表達式,接下來再運用基本不等式的知識,由此便可以解決一大類極值問題.同學們在平時的學習過程中,應注重各學科之間的聯(lián)系,尤其要注意培養(yǎng)運用數學工具解決物理問題的能力.
參考文獻:
[1]胡少希.例談基本不等式在物理解題中的應用[J].物理教學探討,2011(04).