羅文軍

(甘肅省秦安縣第二中學 741600)

一、數(shù)學文化的內(nèi)涵

顧沛在《數(shù)學文化》一書中從課程角度解釋了數(shù)學文化內(nèi)涵 ：簡單說，是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；廣泛些說，除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關(guān)系等等.

2017年高考數(shù)學考試大綱修訂后，在能力要求內(nèi)涵方面，增加了對數(shù)學文化的要求—展現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值.隨之2017年各地?？贾校瑪?shù)學文化試題像雨后春筍般涌現(xiàn)出來，這些文化試題凝結(jié)了命題者的心血和智慧.本文擷取一些好的文化試題進行賞析.

二、?？荚囶}中滲透數(shù)學文化

1.源自古色古香古文化的?？荚囶}

中國古代數(shù)學取得了輝煌的成就，出現(xiàn)了劉徽、祖沖之、秦九韶等偉大的數(shù)學家，以及眾多數(shù)學名著，其中《九章算術(shù)》是其中的代表作，這些中國古代數(shù)學名著是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分.中國古代數(shù)學遵循“經(jīng)世濟用”，涉及的研究大多與實際生活、生產(chǎn)等緊密結(jié)合，具有濃厚的實際背景，其體現(xiàn)出明顯的問題式和綜合性特征.從中國古代數(shù)學中挖掘素材，考查高中數(shù)學基本知識，既可以考查考生的認知水平，又可以引導考生關(guān)注中國傳統(tǒng)文化.

《九章算術(shù)》在書中涉及到了農(nóng)業(yè)、商業(yè)、工程、測量、方程解法以及直角三角形的性質(zhì)等.它是中國古代數(shù)學知識的縮影，全書包含246道應(yīng)用問題，分成九章編寫.分別為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股.

歷年高考中，源自《九章算術(shù)》的題目有2012年湖北理科第10題、2015年全國1卷文科第6題、2015年全國2卷文科第8題、2015年湖北卷理科19題、

例1 (2017屆山東省棗莊?？?《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著,它在幾何學中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖1，在塹堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A=AB=2，當陽馬B-A1ACC1體積最大時，則塹堵ABC-A1B1C1的體積為( )

圖1

解析由已知得幾何體ABC-A1B1C1為直三棱柱，設(shè)BC=x，AC=y, 陽馬B-A1ACC1的體積為

因為AB2=BC2+AC2，即x2+y2=4，

此時塹堵ABC-A1B1C1的體積為

評注此題背景源于《九章算術(shù)》第五章《商功》之[一五]：今有塹堵下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.問積幾何？之[一六]：今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何.考題將“塹堵”，“陽馬”相結(jié)合，題目中已經(jīng)對這兩個生僻詞語進行了現(xiàn)代文解釋.首先表示出陽馬的體積，再運用基本不等式，最后求出塹堵的體積.命題者將題目的背景取自于我國古代著名數(shù)學典籍《九章算術(shù)》中的塹堵和陽馬，匠心獨運地體現(xiàn)了我國古代數(shù)學成果的燦爛輝煌，拓寬了知識面，考查了考生的閱讀能力、審題能力和應(yīng)用能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神，注重數(shù)學的本質(zhì)，提高數(shù)學素養(yǎng)，彰顯數(shù)學文化，讓“枯燥”的高三數(shù)學試卷多了幾分生氣和靈性，給人耳目一新的感覺.

例2 《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，問日益幾何？”其意思為：“有一女子擅長織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一月織了九匹三丈，問每天增加多少尺布？”若一個月按30天算，則每天增加量為( )

評注此題源于《九章算術(shù)》第三章《衰分》之[四]，考查等差數(shù)列的前n項和公式.本題彰顯出我們古代長期處于“男耕女織”的生產(chǎn)狀態(tài)，從本題中我們體會到了數(shù)學與我國古代手工業(yè)的聯(lián)系.

例3 (2017年新疆奎屯市月考)齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬,現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽,則田忌馬獲勝的概率為( )

解析:分別記齊王的上等馬、中等馬、下等馬為A,B,C,田忌的上等馬、中等馬、下等馬為a,b,c,則基本事件如下：

(Aa),(Ab),(Ac),(Ba),(Bb),(Bc),(Ca),(Cb),(Cc)，基本事件共有9個，田忌馬獲勝的事件有(Ba)，(Ca)，(Cb)，有3個.

評注本題以我國家喻戶曉的歷史故事“田忌賽馬”為素材，考查了古典概型的概率公式.田忌是我國戰(zhàn)國中期齊國的將領(lǐng)，他的軍師孫臏是著名的軍事家，孫臏的“斗馬術(shù)”是我國古代運籌思想中爭取總體最優(yōu)的膾炙人口的著名范例.這個故事后來被傳為千古佳話，成為軍事上一條重要的用兵原則，即要善于用局部的犧牲去換取全局的勝利，從而達到以弱勝強的目的.他的基本思想是不強求一局的得失，而爭取全盤的勝利，這是一個典型的博弈問題.

例4 (2017年四川省資陽市診斷考試)公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)，當圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，由此創(chuàng)立了割圓術(shù)，利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率．如圖2是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計的程序框圖，則輸出的n值為________(參考數(shù)據(jù)：

A. 12 B. 24 C. 48 D. 96

圖2

解析:第一次運行程序，

圖3

2.源于名題

祖暅是我國南北朝杰出的數(shù)學家祖沖之之子.他沿用了劉徽“牟合方蓋”的思想，在推導球體體積的過程中，提出了著名的原理：“緣冪勢既同，則積不容異”,即夾在兩個平行平面等高的立體，如果被平行于這兩個平行平面的平面所截，截得的平面圖形面積總相等，則這兩個立體的體積相等.后人把這個原理稱為“祖暅原理”，也叫“祖氏原理”.為了利用祖暅原理計算某個幾何體的體積，常要構(gòu)造一個幾何體，此幾何體必須符合兩個條件：(1)它的計算公式是已知的；(2)它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體能夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面去截它們時，截得的截面面積總相等.

祖暅原理在人教A版課本《必修數(shù)學2》第30頁探究與發(fā)現(xiàn)《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》中專門做了介紹.2013年上海高考理科13題也以祖暅原理為背景.

以下來欣賞一道以祖暅原理為背景的?？荚囶}.

圖4 圖5

解析:由已知橢圓的長半軸長為5，短半軸長為2，

構(gòu)造模型如圖6，圖7，設(shè)OH=O′H′=h，

用S左和S右分別表示圖6和圖7中陰影部分的面積，

圖6 圖7

現(xiàn)構(gòu)造一個底面半徑為2，高為5的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積.

賞析:祖暅原理進入考題，既關(guān)注了學生的文化意識，也關(guān)注了學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，也了解到了我國古代人民對數(shù)學的偉大貢獻，有利于增強中華民族自豪感.

3.以形數(shù)為背景

形數(shù)理論可以追溯到畢達哥拉斯本人.用一點(或一個小石子)代表1，兩點(或兩個小石子)代表2，三點(或三個小石子)代表3，等等，畢達哥拉斯學派在世界數(shù)學史上首次建立了形和數(shù)之間的聯(lián)系.早期畢達哥拉斯學派已經(jīng)熟悉利用小石子或點來構(gòu)造三角形數(shù)和正方形數(shù)；晚期的畢達哥斯學派成員尼克麥丘以及稍后的泰恩則討論了各種平面數(shù)(包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等)和立體數(shù)(包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等).

人教A版《數(shù)學必修5》中在“數(shù)列的概念與簡單表示法”一節(jié)中以畢達哥斯學派發(fā)明的三角形數(shù)和正方形數(shù)引入了數(shù)列的概念.

歷屆高考中以形數(shù)為背景的試題有，2009年湖北理科10題、2012年湖北文科17題、2013年湖北理科14題.

下面看一道以形數(shù)為背景的試題.

例7 兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如圖8中的實心點個數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作a1=1，第2個五角形數(shù)記作a2=5，第3個五角形數(shù)記作a3=12，第4個五角形數(shù)記作a4=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，得數(shù)列{an}，則an-an-1=________(n≥2)；對n∈N*，an=________．

圖8

解析:因為a1=1，a2=5，a3=12，a4=22,…

所以a1=1,a2-a1=4,a3-a2=7,a4-a3=10,…,an-an-1=3n-2,

賞析:本題考查了數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列通項公式的求法.做這類題目最重要的就是尋找規(guī)律.此題通過尋找前一項與后一項差的規(guī)律，進而求出數(shù)列{an}的通項公式.本題內(nèi)容豐富，以形數(shù)為載體，巧妙融合了數(shù)列、推理等數(shù)學知識和方法，考查歸納、觀察、計算等能力.背景設(shè)計別具匠心，能力要求廣泛，有效地考查了靈活運用數(shù)學知識和數(shù)學思想的能力；也體現(xiàn)了高中試題來源于生活實踐、注重知識的發(fā)生發(fā)展過程的名題原則，也著力體現(xiàn)了高中數(shù)學試題的文化價值，真是形數(shù)結(jié)合百般好.

4.以角谷猜想為背景

評注:本題以角谷猜想為背景，考查了對數(shù)列遞推公式的理解.將著名的角谷猜想進行轉(zhuǎn)化，遷移到考題中，形成了以數(shù)學文化為背景的創(chuàng)新試題，以問題為中心，將數(shù)學知識、原理和方法融于一體，突出對數(shù)學思想方法的考查，強調(diào)數(shù)學的文化價值，蘊含濃厚數(shù)學文化氣息的高中試題的出現(xiàn)，不僅給高中數(shù)學試題的命制注入了新鮮的血液，而且為高中數(shù)學教學提供了鮮活的素材，在數(shù)學學習過程中感受文化的熏陶，領(lǐng)略數(shù)學發(fā)展過程中的五彩斑斕，體會數(shù)學獨特的文化魅力.

課本中也有角谷猜想的影子(新課標人教A版選修1-2第四章習題4.1):有這樣一個游戲，每個人從任意一個正整數(shù)n開始，連續(xù)進行如下運算：若n是奇數(shù)，就把這個數(shù)乘以3再加上1；若n是偶數(shù)，就把這個數(shù)除以2.這樣演算下去，直到第一次得到1為止，設(shè)計一個流程圖，表示這個游戲的過程.

歷年高考中以角谷猜想為背景的題有2009年湖北理科15、2013年湖北理科12.

三、高考考試大綱中增加對數(shù)學文化要求的價值以及備考策略

2003年版的《普通高中數(shù)學新課程標準》中提出的新課程標準理念之一為：體現(xiàn)數(shù)學的文化價值.但在具體教學中，大多學校鑒于高考沒有對數(shù)學文化提出要求，因此課本中涉及數(shù)學文化的閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)以及人教A版選修3-1《數(shù)學史選講》在教學中都沒有開展,造成了不知道《九章算術(shù)》的高中生大有人在.高考是“指揮棒”，考綱修訂后增加對數(shù)學文化的要求，對高中教學具有很好的導向作用，因此我們應(yīng)該為數(shù)學文化的考查點贊.

數(shù)學教育不可能完全割裂歷史.從象形符號到算籌記數(shù)再到計算，中國的數(shù)學歷史極其悠久.無論從理論層面或是實踐層面，中國古代數(shù)學如今仍有研究價值和現(xiàn)實意義.拋棄自古至今的經(jīng)典，會讓中華文化斷裂.以數(shù)學文化為背景命題，為高考注入了新的活力.

數(shù)學文化可以鍛煉學生的思維能力.數(shù)學文化是數(shù)學發(fā)展的必然，并對數(shù)學思想方法有著深遠的影響.數(shù)學文化中包含的數(shù)學思想體系，是千百年來數(shù)學發(fā)展的結(jié)晶；而數(shù)學思想不斷的演化，又促進著數(shù)學文化為適應(yīng)不同的歷史背景而不斷更新.每一個數(shù)學知識都有著其背景和文化，因此在授課的時候，教師可以提前讓學生對一個知識找找其背景或者創(chuàng)作這個知識或公式的故事.讓學生在故事中體會數(shù)學的魅力和文化，在以后的學習中，潛移默化的受這些文化所影響，自然而然地就有了一定的思維能力，從而提高學生對各個學科的學習能力.

數(shù)學文化可以加強學生創(chuàng)新能力.很多的數(shù)學知識都是數(shù)學家的靈光一現(xiàn)而產(chǎn)生的.通過這樣的背景，也可以讓學生更注意觀察和創(chuàng)新.如創(chuàng)作了數(shù)學原理的高斯，就是通過觀察和創(chuàng)新，在只有8歲的時候就發(fā)現(xiàn)了累加公式.在平時的授課中，遇到有這樣背景的知識點或數(shù)學公式時，可以將這樣的數(shù)學文化引出，既吸引學生的注意力，又能很好地將這種創(chuàng)新能力注入給學生.

以上數(shù)學文化試題雖然以數(shù)學史、數(shù)學家、著名定理和猜想為背景，其中“祖暅原理”、“割圓術(shù)”、“畢達哥拉斯形數(shù)”、“角谷猜想”、“趙爽弦圖”都可以在課本中找到影子，但考查的是高中數(shù)學中基本知識和基本思想方法.因此在復(fù)習備考中，一線教師要引導學生以課本為策源地，在平時的教學中滲透數(shù)學文化，將數(shù)學文化融入教學，使新課標理念落到實處，不但可以提高學生的數(shù)學學習興趣，還可以有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，有助于引導學生思考、領(lǐng)悟和汲取含在傳統(tǒng)數(shù)學文化中的民族精神和民族智慧，形成現(xiàn)實生活與優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的互動，潛移默化地增加了學生的愛國主義情感.

參考文獻：

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