■北京師范大學(xué)萬(wàn)寧附屬中學(xué) 劉金泉

編者的話:強(qiáng)化對(duì)核心考點(diǎn)的演練、注重對(duì)經(jīng)典題型的歸納,是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘訣,基于此,本刊編輯部特開設(shè)此欄目,希望同學(xué)們能認(rèn)真練習(xí)。

一、選擇題

1.完成某項(xiàng)測(cè)試要過(guò)兩關(guān),第一關(guān)有3種測(cè)試方案,第二關(guān)有5種測(cè)試方案,某人參加該項(xiàng)測(cè)試,不同的測(cè)試方案種數(shù)為( )。

A.3+5 B.3×5 C.35D.53

2.如圖1,從A城到B城有3條路;從B城到D城有4條路;從A城到C城有4條路,從C城到D城有5條路,則某旅客從A城到D城共有n條不同的路線,則n=( )。

A.16 B.24 C.32 D.64

3.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有( )。

A.6種 B.12種

C.24種 D.30種

4.三張卡片的正反面分別寫有1和2,3和4,5和6,若將三張卡片并列,可得到不同的三位數(shù)(6不能作9用)的個(gè)數(shù)為( )。

A.8 B.6 C.14 D.48

5.有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教1個(gè)班的數(shù)學(xué),在檢測(cè)時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考,則不同的監(jiān)考方法有( )。

A.8種 B.9種

C.10種 D.11種

6.將一個(gè)四面體A-BCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色,要求共端點(diǎn)的棱不能涂相同顏色,則不同的涂色方案有( )。

A.1種 B.3種 C.6種 D.9種

7.小明有4枚完全相同的硬幣,每個(gè)硬幣都分正反兩面,他想把4個(gè)硬幣擺成一摞,且滿足相鄰兩枚硬幣的正面不能相對(duì),則不同的擺法有( )。

A.4種 B.5種 C.6種 D.9種

8.25人排成5×5方陣,從中選出3人,要求其中任意2人既不同行也不同列,則不同的選法有( )。

A.60種 B.100種

C.300種 D.600種

9.一個(gè)旅游景區(qū)的游覽線路如圖2所示,某人從點(diǎn)P處進(jìn),點(diǎn)Q處出,沿圖中線路游覽A,B,C三個(gè)景點(diǎn)及沿途風(fēng)景,則不重復(fù)(除交匯點(diǎn)O外)的游覽線路有( )。

圖2

A.6種 B.8種

C.12種 D.48種

10.現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行,每天最多進(jìn)行1門考試,且不能連續(xù)2天有考試,那么不同的考試安排方案種數(shù)是( )。

A.12 B.6 C.8 D.16

11.一排有6個(gè)座位,三位同學(xué)隨機(jī)就座,任意兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( )。

A.12 B.36 C.24 D.72

12.安排6名歌手演出順序時(shí),要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面,則不同排法的種數(shù)是( )。

A.180 B.240 C.360 D.480

13.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( )。

A.24 B.48 C.60 D.72

14.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”),則首位為2的“六合數(shù)”共有( )。

A.18個(gè) B.15個(gè)

C.12個(gè) D.9個(gè)

15.從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中,每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到lga-lgb不同值的個(gè)數(shù)是( )。

A.9 B.10 C.18 D.20

16.從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì),其中所成的角為60°的共有( )。

A.24對(duì) B.30對(duì)

C.48對(duì) D.60對(duì)

17.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)籃球分給3位小朋友,每位小朋友至少分到一個(gè)籃球,且標(biāo)號(hào)為1,2的2個(gè)籃球不能分給同一位小朋友,則不同的分法種數(shù)為( )。

A.15 B.20 C.30 D.42

18.現(xiàn)有2名男生,3名女生和1位老師共6人站成一排照相,若兩端站男生,3名女生中有且僅有2名相鄰,則不同的站法種數(shù)是( )。

A.12 B.24 C.36 D.48

19.某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”,組織6個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館,每個(gè)年級(jí)任選1個(gè)博物館參觀,則有且只有2個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有( )。

A.A26×A45種 B.A26×54種

C.C26×A45種 D.C26×54種

20.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù),則這樣的偶數(shù)的個(gè)數(shù)是( )。

A.72 B.96 C.108 D.144

21.從集合{1,2,3,4,…,10}中選出5個(gè)數(shù)組成子集,使得這5個(gè)數(shù)中任意2個(gè)數(shù)的和都不等于11,則這樣的子集有( )。

A.32個(gè) B.34個(gè)

C.36個(gè) D.38個(gè)

22.有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個(gè)班級(jí)去作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流,則每個(gè)班至少去1名的不同分派方法種數(shù)為( )。

A.150 B.180 C.200 D.280

23.有紅、藍(lán)、黃、綠四種顏色的球各6個(gè),每種顏色的6個(gè)球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中任取3個(gè)標(biāo)號(hào)不同的球,這3個(gè)顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法種數(shù)為( )。

A.80 B.84 C.96 D.104

24.將甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學(xué),若每所大學(xué)至少保送1人,且甲不能保送到北大,則不同的保送方案共有( )。

A.150種 B.114種

C.100種 D.72種

25.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊5名成員同時(shí)搶4個(gè)紅包,每人最多搶1個(gè)紅包,且紅包全被搶光,4個(gè)紅包中有2個(gè)2元,2個(gè)3元,金額相同視為相同紅包,則甲、乙2人都搶到紅包的情況有( )。

A.36種 B.24種

C.18種 D.9種

26.某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁4位同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽,要求每位同學(xué)僅報(bào)1科,每科至少有1位同學(xué)參加,且甲、乙不能參加同一學(xué)科,則不同的安排方法有( )。

A.36種 B.30種

C.24種 D.6種

27.如圖3所示的陰影部分由方格紙上3個(gè)小方格組成,我們稱這樣的圖案為L(zhǎng)型(每次旋轉(zhuǎn)90°仍為L(zhǎng)型圖案),那么在由4×5個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L型圖案的個(gè)數(shù)是( )。

A.16 B.32 C.48 D.64

圖3

29.(x2+x+y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為( )。

A.10 B.20 C.30 D.60

30.設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若M-N=240,則展開式中x的系數(shù)為( )。

A.-150 B.150 C.300 D.-300

31.已知1120,其中實(shí)數(shù)a是常數(shù),則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是( )。

A.28B.38

C.1或38D.1或28

32.若第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為36,則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( )。

A.84 B.-252

C.252 D.-84

33.若項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則其展開式的常數(shù)項(xiàng)是( )。

A.360 B.180 C.90 D.45

34.已知(2x-1)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,則a0+a2等于( )。

A.-13 B.-10 C.10 D.13

35.在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展開式中,含x2項(xiàng)的系數(shù)是( )。

A.10 B.15 C.20 D.25

36.若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,則a1+a2+…+a11的值為( )。

A.0 B.-5 C.5 D.255

37.設(shè)a,b,m為整數(shù)(m＞0),若a和b被m除得的余數(shù)相同,則稱a和b對(duì)模m同余,記a≡b(modm)。若a=C118+C218+…+,a≡b(mod9),則b的值可以是( )。

A.2015 B.2016

C.2017 D.2018

38.在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )。

A.45 B.60 C.120 D.210

39.現(xiàn)定義eiθ=cosθ+isinθ,其中i為虛數(shù)單位,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),θ∈R,且實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)eiθ都適用。若a=,那么復(fù)數(shù)a+bi等于( )。

A.cos5θ+isin5θ B.cos5θ-isin5θ

C.sin5θ+icos5θ D.sin5θ-icos5θ

二、填空題

40.在三位正整數(shù)中,若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字,則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”。比如“102”,“546”為“駝峰數(shù)”,由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有____個(gè)。

41.5名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽,每人限報(bào)一項(xiàng),則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為____。5名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列),則獲得冠軍的可能性有____種。

42.直線Ax+By=0,若從集合E={0,1,3,5,7,8}中每次取出2個(gè)不同的數(shù)作為A,B的值,則可表示____條不同的直線。

43.現(xiàn)有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球,4個(gè)白球,同色球不加區(qū)分,將這9個(gè)球排成一列,有____種不同的排列方法。

44.在數(shù)字1,2,3與符號(hào)“+”“-”這5個(gè)元素的所有全排列中,任意2個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列方法共有____種。

45.國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教?，F(xiàn)有6位免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教,則有____種不同的分派方法。

46.若把英語(yǔ)單詞“error”的字母順序?qū)戝e(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有____種。

47.用字母A,Y,數(shù)字1,8,9構(gòu)成一個(gè)字符不重復(fù)的五位號(hào)牌,要求字母A,Y不相鄰,數(shù)字8,9相鄰,則可構(gòu)成的號(hào)牌的個(gè)數(shù)是____。

48.如果把個(gè)位數(shù)是1,且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好數(shù)”,那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,“好數(shù)”共有____個(gè)。

49.化簡(jiǎn)

50.在(2x+x)5的展開式中,x3的系數(shù)是____。

51.1.028的近似值是____。(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)

52.已知(x+2y)n的展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)為8,則(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為____。

53.(1+x+x2)常數(shù)項(xiàng)為____。

54.(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為____。

55.設(shè)復(fù)數(shù)____。

56.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,則a0+a1+2a2+3a3=____。

57.若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,則實(shí)數(shù)m的值為____。

三、解答題

58.編號(hào)為A,B,C,D,E的5個(gè)小球放在如圖4所示的5個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子只能放1個(gè)小球,且A球不能放在1,2號(hào),B球必須放在與A球相鄰的盒子中,則不同的放法有多少種?

圖4

59.用0,1,2,3,4,5,6構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)。

(1)能被25整除的數(shù)有多少個(gè)?

(2)設(shè)x,y,z分別表示個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字,滿足x＜y＜z的數(shù)有多少個(gè)?

(3)偶數(shù)必須相鄰的數(shù)有多少個(gè)?

60.有6名學(xué)生報(bào)名參加3個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目,在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法?(不一定6名學(xué)生都能參加)

(1)每人恰好參加1項(xiàng),每項(xiàng)人數(shù)不限;

(2)每項(xiàng)限報(bào)1人,且每人至多參加1項(xiàng);

(3)每項(xiàng)限報(bào)1人,但每人參加的項(xiàng)目不限。

61.已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是從集合A到集合B的映射。

(1)若B中每一個(gè)元素都有原象,這樣不同的f有多少個(gè)?

(2)若B中的元素0無(wú)原象,這樣的f有多少個(gè)?

(3)若f滿足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,這樣的f有多少個(gè)?

62.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名,外科醫(yī)生8名,現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì),其中:

(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加,共有多少種不同選法?

(2)甲、乙均不能參加,有多少種選法?

(3)甲、乙2人至少有1人參加,有多少種選法?

(4)隊(duì)中至少有1名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生,有幾種選法?

(1)求n;

(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)。

(1)若展開式中第5項(xiàng),第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù);

(2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

(1)展開式中所有含x的有理項(xiàng);

(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

66.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:

(1)a1+a2+…+a7;

(2)a1+a3+a5+a7;

(3)a0+a2+a4+a6;

(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|。