■湖北省巴東縣第三高級(jí)中學(xué) 廖慶偉

一、知識(shí)掃描

(一)組合與組合數(shù)

組合:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。

組合數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),記作Cmn。

(二)組合數(shù)公式

(三)組合數(shù)的性質(zhì)

溫馨提示:

1.解決排列組合問(wèn)題,整體分類,局部分步,分類和分步做到不重不漏。

2.在解組合問(wèn)題時(shí),常會(huì)遇到“至多”“至少”“恰有”等詞,要仔細(xì)審題,理解其含義。

3.分清是有序還是無(wú)序:有序排列,無(wú)序組合,排列與組合并存時(shí),一般采用先組合后排列的方法解決。

4.分組問(wèn)題與分配問(wèn)題不同。前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不可區(qū)分的;而后者即使元素個(gè)數(shù)相同,但因元素不同,仍然是可區(qū)分的,對(duì)于分配問(wèn)題必須先分組后排列。

5.求解排列組合問(wèn)題的思路:排組分清,加乘明確;有序排列,無(wú)序組合;分類相加,分步相乘。

二、題型例析

題型一:對(duì)組合概念的理解

例1 判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題:

(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e,f},則集合A的子集中含有4個(gè)元素的有多少個(gè)?

(2)從甲地到乙地的高鐵,共有10個(gè)車站,則這條鐵路上共有多少種票價(jià)?

(3)某班45人,春節(jié)期間,約好相互通一次電話,共通了多少次電話?

(4)從高二(10)班的10位科代表中選3人參加學(xué)校每周一、三、五的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),有多少種選法?

解析:(1)是組合問(wèn)題。因?yàn)樽蛹膫€(gè)數(shù)與順序無(wú)關(guān)。

(2)是組合問(wèn)題。由于甲站到乙站與乙站到甲站的高鐵票價(jià)一樣。

(3)是組合問(wèn)題。因?yàn)榧着c乙通了一次電話也就是乙與甲通了一次電話,沒(méi)有順序區(qū)別。

(4)是排列問(wèn)題。因?yàn)檫@三個(gè)人中,周一去、周三去或周五去,是有順序區(qū)別的。

點(diǎn)評(píng):排列組合的區(qū)別是元素之間的順序問(wèn)題,元素與順序無(wú)關(guān)是組合問(wèn)題,元素與順序有關(guān)是排列問(wèn)題。

題型二:有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算與證明

例2 計(jì)算:。

點(diǎn)評(píng):計(jì)算化簡(jiǎn)含有排列數(shù)、組合數(shù)的式子,要注意排列公式與組合公式的聯(lián)系,靈活運(yùn)用組合的性質(zhì)。

例3 解不等式

點(diǎn)評(píng):對(duì)于與排列組合有關(guān)的方程或不等式問(wèn)題,要用排列數(shù)、組合數(shù)公式,以及組合的性質(zhì)求解時(shí),要注意由Cnm中n∈N*,m∈N*,且n≥m確定m、n的范圍。求解后要驗(yàn)證所得的結(jié)果是否適合題意。

題型三:組合的實(shí)際運(yùn)用

例4 現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張。從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為_(kāi)___。

解析:第一類,含有1張紅色卡片,不同的取法C14C212=264種。

第二類,不含有紅色卡片,不同的取法C312-3C34=220-12=208種。

由分類加法計(jì)數(shù)原理知,不同的取法共有264+208=472種。

點(diǎn)評(píng):本題是分配問(wèn)題。解題時(shí)要注意按照正確的順序,還要注意均勻分配與不均勻分配是不同的。

例5 設(shè)集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為( )。

A.130 B.120 C.90 D.60

解析:對(duì)于|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1或2或3,下面分三種情況討論。

其一,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此時(shí),從x1,x2,x3,x4,x5中任取一個(gè)讓其等于1或-1,其余等于0,于是有C15C12=10(種)情況。

其二,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此時(shí),從x1,x2,x3,x4,x5中任取兩個(gè)讓其都等于1或都等于-1或一個(gè)等于1、另一個(gè)等于-1,其余等于0,于是有40(種)情況。

其三,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此時(shí),從x1,x2,x3,x4,x5中任取三個(gè)讓其都等于1或都等于-1或兩個(gè)等于1、另一個(gè)等于-1或兩個(gè)等于-1、另一個(gè)等于1,其余等于0,于是有=80(種)情況。

綜上知,滿足條件的元素個(gè)數(shù)共有10+40+80=130(種),故答案為A。

點(diǎn)評(píng):兩類組合問(wèn)題的解法:

①“含”與“不含”的問(wèn)題:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取。

②“至少”、“最多”的問(wèn)題:解這類題必須重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解。用直接法或間接法都可以求解。通常用直接法分類復(fù)雜時(shí),考慮逆向思維,用間接法處理。

題型四:排列組合的綜合運(yùn)用

例6 12名同學(xué)合影,站成了前排4人后排8人,現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排,其他人的相對(duì)順序不變,則不同調(diào)整方法的種數(shù)是( )。

解析:要完成這件事,可分兩步走:第一步可先從后排8人中選2人共有種;第二步可認(rèn)為前排放6個(gè)座位,先選出2個(gè)座位讓后排的2人坐,由于其他人的順序不變,所以有種坐法。綜上,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知不同調(diào)整方法種數(shù)為種。故選C。

點(diǎn)評(píng):(1)應(yīng)熟記兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列組合數(shù)公式及性質(zhì)。

(2)區(qū)分某一問(wèn)題是排列還是組合問(wèn)題,關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)。若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響,則是排列問(wèn)題;若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響,則是組合問(wèn)題。也就是說(shuō)排列問(wèn)題與選取元素的順序有關(guān),組合問(wèn)題與選取元素的順序無(wú)關(guān)。

例7 有5名同學(xué)參加唱歌、跳舞、下棋三項(xiàng)比賽,每項(xiàng)比賽至少有一人參加,其中甲同學(xué)不能參加跳舞比賽,則參賽方案的種數(shù)為( )。

A.112 B.100 C.92 D.76

解析:甲同學(xué)有2種參賽方案,其余四名同學(xué)的參賽情況為:

若只參加甲參賽后剩余的兩項(xiàng)比賽,則將四名同學(xué)先分為兩組,分組方案有,再將其分到兩項(xiàng)比賽中去,共有分配方案數(shù)為7×A22=14;

若剩下的四名同學(xué)參加三項(xiàng)比賽,則將其分成三組,分組方法數(shù)是C24,分到三項(xiàng)比賽中去的分配方法數(shù)是

根據(jù)兩個(gè)基本原理共有方案數(shù)2×(14+36)=100(種)。

點(diǎn)評(píng):(1)把握求解排列組合問(wèn)題及應(yīng)用題的基本策略:①解排列組合問(wèn)題應(yīng)遵循的原則:先特殊后一般,先選后排,先分類后分步。②常用策略:(a)相鄰問(wèn)題捆綁法;(b)不相鄰問(wèn)題插空法;(c)定序問(wèn)題屬組合;(d)至少或至多問(wèn)題間接法;(e)選排問(wèn)題先取后排法;(f)局部與整體問(wèn)題排除法;(g)復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化法。

(2)區(qū)分排列與組合的關(guān)鍵是看元素是否與順序有關(guān),“定序”為組合,“有序”為排列,“分堆”為組合,“分配”為排列。