■江蘇省太倉市明德高級中學(xué) 王佩其

二項式定理是初中學(xué)習(xí)的多項式乘法的繼續(xù),它所研究的是一種特殊的多項式——二項式的乘方的展開式。二項式定理既是排列組合的直接應(yīng)用,又與概率理論中的三大概率分布之一的二項分布有著密切聯(lián)系。掌握好二項式定理既可對初中學(xué)習(xí)的多項式的變形起到很好的復(fù)習(xí)、深化作用,又可為進一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計做好必要的知識儲備。那么,什么是二項式定理?讓我們一起來學(xué)習(xí)吧!

一、二項式定理知識要點

(a+b)n=(n∈N*),這個公式叫作二項式定理,等號右邊的多項式叫作(a+b)n的二項展開式,共有n+1項,其中各項的系數(shù)

(一)二項式定理

(k∈{0,1,2,…,n})叫作二項式系數(shù),這個公式叫作二項式定理。二項展開式中的叫作二項展開式的通項,用Tk+1表示,即通項為展開式的第k+1項:Tk+1=

注意:二項式系數(shù)是指,它是組合數(shù),只與各項的項數(shù)有關(guān),而與a,b的值無關(guān);而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項的項數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān)。如(a+bx)n的展開式中,第r+1項的二項式系數(shù)是,而該項的系數(shù)是。當然,某些特殊的二項展開式如(1+x)n,各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的。

(二)二項式定理的性質(zhì)

(1)對稱性。與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等。事實上,這一性質(zhì)可直接由公式Cmn=Cn-mn得到。

(2)增減性與最大值。當項式系數(shù)是逐漸增大的;當式系數(shù)是逐漸減小的。因此二項式系數(shù)在中間取得最大值。當n是偶數(shù)時,中間的一項的二項式系數(shù)最大;當n是奇數(shù)時,中間的兩項的二項式系數(shù)相等且最大。

(3)各二項式系數(shù)的和。已知(1+x)n=。令x=1,則。也就是說,(a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和為2n。

(4)奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和,即

(三)必記結(jié)論

(1)Cknan-kbk是第k+1項,而不是第k項。

(2)通項公式中a,b的位置不能顛倒。

(3)通項公式中含有a,b,n,k,Tk+1五個元素,只要知道其中四個就可以求出第五個,即“知四求一”。

二、二項式定理基本題型

(一)求二項展開式中指定項或指定項的系數(shù)

例1 已知在中,第6項為常數(shù)項。

(1)求n;(2)求含x2的項的系數(shù);(3)求展開式中所有的有理項。

因為r∈Z,所以k應(yīng)為偶數(shù)。故k可取2,0,-2,即r可取2,5,8。

點評:①解此類問題可以分兩步完成:第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負整數(shù),且n≥r);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項。②求二項展開式中的有理項,一般是根據(jù)通項公式所得到的項,找出所有的變量的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項。解這種類型的問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解。若求二項展開式中的整式項,則其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負整數(shù),求解方式與求有理項的方式一致。

(二)二項式系數(shù)問題

例2 在二項式(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項式系數(shù)之和;(2)各項系數(shù)之和;(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和;(4)系數(shù)絕對值的和。

解析:設(shè)(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9。

(1)二項式系數(shù)之和為。

(2)各項系數(shù)之和為:a0+a1+a2+…+a9。

令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1。

(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1。①

令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=(2+3)9=59。②

(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…+a8-a9=59。

點評:二項式定理給出的是一個恒等式,對于a,b的一切值均成立。因此,可將a,b設(shè)定一些特殊的值。在使用賦值法時,令a,b等于多少,應(yīng)視具體情況而定,一般可取“1,-1,0”,有時也取其他值。一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式的各項系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)

(三)二項式定理的應(yīng)用

(1)計算近似值。

例3 求1.00355精確到0.001的近似值。

解析:1.00355=(1+0.0035)5=1+C15·0.0035+…,因為只需近似到0.001即可,所以后面的不需計算,其近似值為1.0175,約為1.018。

點評:當a的絕對值與1相比很小時,且n不大時,常用近似公式(1+a)n=1+na。

例4 求1.9975精確到0.001的近似值。

解析:1.9975=(2-0.003)5

=25-C15·0.003·24+C25·0.0032·23-…=32-0.24+0.00072-…≈31.761。

點評:當a的絕對值與1相比有一定的差距時,我們常構(gòu)造成(b+a)n或(b-c)n的形式,然后利用二項式定理計算。

(2)證明整除問題或求余數(shù)。

例5 試求199510除以8的余數(shù)。

解析:199510=(8×249+3)10。

因為其展開式中除末項為310外,其余的各項均含有8這個因數(shù),所以求199510除以8的余數(shù)與310被8除的余數(shù)相同。

310=95=(8+1)5,展開式中除末項為1外,其余的各項均含有8這個因數(shù),所以310被8除的余數(shù)為1,即199510除以8的余數(shù)也為1。

點評:解決這類問題,必須構(gòu)成一個與題目條件有關(guān)的二項式。

例6 求證:32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除。

證明:32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9

=-8n-9

=+1-8n-9

=。

該式每一項都含有82因式,故其能被64整除。

點評:利用二項式定理證明有關(guān)多項式的整除問題,關(guān)鍵是將所給出的多項式通過恒等變形為二項式形式,使其展開后的各項含有除式。

三、二項式定理的思想方法

(一)函數(shù)與方程思想

例7 已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n,求n。

分析:對二項式系數(shù)求和問題可用賦值法。

解:a0=1+1+…+1=n,an=1。令x=1,則2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an。

所以2n+1-n-3=29-n,n=4。

點評:二項式定理的應(yīng)用中,求有關(guān)系數(shù)的問題時經(jīng)常是列出方程,通過賦值求解,把二項展開式看作x的函數(shù)f(x),將其系數(shù)問題與函數(shù)值f(1)的展開式相聯(lián)系。

(二)構(gòu)造思想

例8 已知(3x+x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x-1)n的展開式的二項式系數(shù)和大992,則在求:(1)二項式系數(shù)最大的項;(2)系數(shù)的絕對值最大的項。

分析:首先根據(jù)題設(shè)條件解出n的值,再根據(jù)題設(shè)條件進行求解。

在此,需構(gòu)造如下不等式組,以獲得系數(shù)的絕對值最大的項對應(yīng)的r值。

故的項是第4項,T4=-C31027x4。

點評:在運用二項式定理時不能忽視展開式中系數(shù)的正負,當然還須考慮二項式系數(shù)與展開式某項的系數(shù)之間的差異:對于(a+b)n來說,二項式系數(shù)只與二項式的指數(shù)和項數(shù)有關(guān),與二項式中a、b的值無關(guān),而項的系數(shù)不僅與二項式的指數(shù)和項數(shù)有關(guān),還與二項式中a、b的值有關(guān)。

(三)轉(zhuǎn)化思想

例9項為-20,求n。

無論是哪一種情況,常數(shù)項均為(-1)nCn2n。令(-1)nCn2n=-20,以n=1,2,3,…逐個代入,得n=3。

點評:這種把三項式轉(zhuǎn)換為兩項式然后利用二項式定理把二項式展開求值的思路,在求解二項式問題中是一種常見的處理方法,也包括把四項式轉(zhuǎn)換為兩項式。這就是說當我們遇到三項式或四項式時,要先試一試是不是能轉(zhuǎn)換為兩項式,然后再用二項式定理解決問題。