孫測(cè)世，趙珧冰，康厚軍，趙躍宇

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 重慶 400074； 2.華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院, 福建 廈門 361021；3.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410082)

工程柔性結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)一直是研究的重點(diǎn)熱點(diǎn)問(wèn)題[1-3]。索、索-梁結(jié)構(gòu)和斜拉橋是其中的典型代表，具有豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性[4]，由此誘發(fā)的拉索大幅振動(dòng)問(wèn)題也已備受關(guān)注[5-6]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者從力學(xué)建模、有限元分析和實(shí)驗(yàn)研究多方面展開(kāi)了大量研究[7-8]。目前，對(duì)斜拉索的研究較多[9-10]，而單獨(dú)研究斜拉索無(wú)法考慮其與主梁或主塔間的耦合作用。因此，近年來(lái)也有許多學(xué)者研究索-梁結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)。Xia等[11]研究了隨機(jī)振動(dòng)下索-梁結(jié)構(gòu)的自激振動(dòng)。Gattulli等[12-13]采用有限元、實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析研究了索-梁結(jié)構(gòu)全局-局部模態(tài)的1∶2內(nèi)共振。陳水生等[14]建立了考慮拉索與橋面耦合振動(dòng)的非線性參數(shù)振動(dòng)模型。趙躍宇等[15]也對(duì)索-梁結(jié)構(gòu)內(nèi)共振做了大量研究。王濤等[16]以有限元法研究了索梁耦合振動(dòng)。Fung等[17]研究了時(shí)變斜拉索索力下索-梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。Wei等[18]研究了索-梁結(jié)構(gòu)的主參數(shù)共振、亞諧波共振等效應(yīng)。實(shí)際結(jié)構(gòu)往往具有多根拉索，因此，需建立更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模型。Kang等[19]建立了雙索單梁斜拉橋的模型。Song等[20-21]研究了具有4根拉索的雙塔三跨式斜拉橋建模及渦激振動(dòng)特性。Konstantakopoulos和Michaltsos建立了一座較簡(jiǎn)單的斜拉索懸索協(xié)作體系橋的非線性動(dòng)力學(xué)模型[22]。盡管如此，對(duì)于擁有數(shù)十根甚至上百根拉索的斜拉橋的非線性動(dòng)力學(xué)建模、求解等仍存在諸多困難。因此，對(duì)斜拉橋非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究主要是利用有限元進(jìn)行模態(tài)分析得到各振動(dòng)模態(tài)；然后根據(jù)頻率間的倍數(shù)關(guān)系確定可能的非線性耦合振動(dòng)；再結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)或?qū)嶒?yàn)測(cè)試識(shí)別模態(tài)，從而研究索-梁-塔非線性耦合振動(dòng)[23]。El Ouni[24]通過(guò)模型實(shí)驗(yàn)研究了雙懸臂狀態(tài)下的斜拉橋參數(shù)振動(dòng)與控制。Caetano等[25-26]制作了Jindo橋縮尺模型，分析了各階局部模態(tài)、全局模態(tài)和混合模態(tài)，并通過(guò)振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)觀察到了索-梁-塔非線性耦合振動(dòng)。之后，Caetano等[27]又對(duì)Guadiana橋進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，觀測(cè)到不同模態(tài)間的內(nèi)共振及斜拉索“拍振”。Wu等[28]對(duì)Megami橋的非線性耦合振動(dòng)進(jìn)行了測(cè)試。

以上研究雖不同程度的觀測(cè)到了索-梁-塔非線性耦合振動(dòng)，但斜拉橋模態(tài)頻率分布密集，結(jié)構(gòu)(特別是拉索)動(dòng)力響應(yīng)通常是多種模態(tài)間的多重內(nèi)共振的結(jié)果。多模態(tài)究竟如何相互耦合，如何由一種模態(tài)激發(fā)其它模態(tài)，僅僅憑借頻率間的倍數(shù)關(guān)系去研究顯然是不夠的。因此，有必要研究各模態(tài)的相互耦合過(guò)程。筆者曾開(kāi)展了具有44根拉索的斜拉橋模型實(shí)驗(yàn)[29]，在模型的主梁跨中處施加激勵(lì)，觀測(cè)到多重內(nèi)共振及其導(dǎo)致的全橋大幅振動(dòng)；發(fā)現(xiàn)當(dāng)外激勵(lì)頻率約為長(zhǎng)索固有頻率2倍時(shí)，該單頻激勵(lì)能同時(shí)激發(fā)拉索兩個(gè)相近的響應(yīng)頻率(“拍振”)，且兩者之和恰好等于激勵(lì)頻率。然而，對(duì)于以上現(xiàn)象，雖竭力思索仍未曾有合理解釋。鑒于此，本文在文獻(xiàn)[29]的基礎(chǔ)上開(kāi)展進(jìn)一步研究。通過(guò)無(wú)相移濾波分離的振動(dòng)信號(hào)和整體振動(dòng)曲線研究了多模態(tài)耦合過(guò)程，揭示了該現(xiàn)象的機(jī)理。研究表明：該振動(dòng)現(xiàn)象是斜拉橋多重內(nèi)共振及其模態(tài)相互作用的表現(xiàn)，是強(qiáng)迫振動(dòng)、局部-混合模態(tài)耦合振動(dòng)和組合內(nèi)共振共同存在的結(jié)果。本文是經(jīng)進(jìn)一步研究后的重新認(rèn)識(shí)，是對(duì)文獻(xiàn)[29]的補(bǔ)充和完善。

1 實(shí)驗(yàn)方案

1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本實(shí)驗(yàn)的原型基于象山港大橋，大橋主橋?yàn)橹骺?88 m的半漂浮體系斜拉橋。斜拉索采用7 mm直徑高強(qiáng)度、低松馳鍍鋅平行鋼絲拉索，梁上標(biāo)準(zhǔn)索距15 m?？估瓘?qiáng)度為1 670 MPa，全橋共4×22×2=176根斜拉索。主梁為扁平流線形封閉鋼箱梁，梁高3.5 m(橋梁中心線內(nèi)輪廓)，其上翼緣為橋面板，采用正交異性板結(jié)構(gòu)。主梁鋼箱梁鋼板采用Q345D鋼。含風(fēng)嘴全寬34.0 m，不含風(fēng)嘴頂板寬26.4 m。主塔為鉆石型塔，高225.5 m，采用C50混凝土。根據(jù)存放模型的房間大小，采用縮尺比1∶250進(jìn)行設(shè)計(jì)。因縮尺后構(gòu)件尺寸和間距太小，制作加工很困難，配重和斜拉索位置也有沖突。不得不做出適當(dāng)調(diào)整：不考慮主梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，將雙索面改為單索面，再將原立面布置的斜拉索兩兩合并，減少斜拉索根數(shù)，然后重新調(diào)整索力，調(diào)整原則為：保證結(jié)構(gòu)靜態(tài)構(gòu)型和原設(shè)計(jì)一致。調(diào)整后的斜拉索主要參數(shù)見(jiàn)表1(僅示出一岸，另一岸與之對(duì)稱)。

表1 斜拉索參數(shù)表Tab.1 Parameters of stay cables

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ涂鐝讲贾脼?1 375 + 2 750+ 1 375) mm，主梁采用(100×5) mm矩形鋁合金板，保證抗彎剛度滿足相似關(guān)系，忽略軸向剛度相似關(guān)系。每個(gè)主塔均采用兩根(38×25×0.8) mm矩形鋁合金管分立于主梁兩側(cè)，也保證抗彎剛度滿足相似關(guān)系。模型與原型參數(shù)的相似關(guān)系見(jiàn)表2。斜拉索采用?0.5 mm不銹鋼絲繩，在跨中和L/4截面處布置2片相互垂直的(25×10×0.2) mm薄鋁片作為面內(nèi)和面外振動(dòng)的測(cè)點(diǎn)。斜拉索上設(shè)置?10×16 mm圓柱體鐵質(zhì)配重，利用配重間距調(diào)整拉索單位長(zhǎng)度重量。為便于配重安裝，同時(shí)保證配重重心和斜拉索重心重合，以減小重心偏離對(duì)拉索振動(dòng)的影響，采用線切割沿直徑方向割開(kāi)寬0.5 mm，深5.3 mm槽口。全橋共44根斜拉索，其主梁和主塔上標(biāo)準(zhǔn)間距分別為120 mm和30 mm。本橋?yàn)榘肫◇w系，主梁和主塔連接處設(shè)置圓鋼，并涂抹潤(rùn)滑油以釋放主梁縱向約束。為保證精度，所有構(gòu)件均采用精加工制作。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w布置和斜拉索編號(hào)見(jiàn)圖1。

表2 模型相似參數(shù)匯總Tab.2 Summary of model similarity parameters

圖1 斜拉橋?qū)嶒?yàn)?zāi)Ｐ?(mm)Fig.1 Experimental model of cable-stayed bridge (mm)

1.2 測(cè)點(diǎn)布置

各測(cè)點(diǎn)布置如下：在中跨和邊跨的各個(gè)L/4及L/2截面設(shè)置差動(dòng)變位式位移傳感器(LVDT)觀測(cè)豎向位移；在主梁端部布置LVDT觀測(cè)主梁的縱向漂移振動(dòng)；在主塔塔頂處布置LVDT記錄其水平向振動(dòng)位移；斜拉索振動(dòng)是重點(diǎn)觀測(cè)對(duì)象，選取具有代表性的長(zhǎng)索進(jìn)行研究，在索A11跨中截面布置激光位移傳感器觀測(cè)面內(nèi)振動(dòng)；在索J11跨中和下L/4截面均布置激光位移傳感器觀測(cè)面內(nèi)振動(dòng)。在主梁跨中截面下方放置激振器激勵(lì)梁體，在上方設(shè)置高精度電渦流傳感器同步記錄激勵(lì)信號(hào)。全橋測(cè)點(diǎn)布置和編號(hào)見(jiàn)圖2，圖中數(shù)字為傳感器的編號(hào)(后文以“Sensorx”表示編號(hào)為“x”的傳感器)，箭頭表示該傳感器測(cè)試的振動(dòng)方向。

圖2 測(cè)點(diǎn)布置圖Fig.2 Layout of measurement points

2 基本動(dòng)力特性

斜拉索實(shí)測(cè)頻率見(jiàn)表3。表中部分短索因振動(dòng)模態(tài)較難被激發(fā)以及周圍干擾影響過(guò)大未測(cè)得具體頻率值。

對(duì)斜拉橋模型進(jìn)行模態(tài)識(shí)別，得到5階整體振動(dòng)頻率及阻尼比；同時(shí)，采用有限元對(duì)比(見(jiàn)表4)。除部分模態(tài)沒(méi)有識(shí)別到外，有限元結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值較為接近。

表3 斜拉索頻率匯總表Tab.3 Frequencies of stay cables

表4 整體振動(dòng)頻率及阻尼比Tab.4 Frequencies and damping ratios of global vibration

3 索-梁-塔非線性耦合振動(dòng)及其過(guò)程

3.1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

當(dāng)激勵(lì)頻率f1=10.25 Hz時(shí)觀察到主梁、主塔和斜拉索均出現(xiàn)大幅振動(dòng)。由表3可知，該激勵(lì)頻率約為最長(zhǎng)索(A11、J11、A11’和J11’)固有頻率的2倍。各通道時(shí)程曲線及頻譜圖見(jiàn)圖3。由于時(shí)程曲線類似，本文僅示出全橋一半測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，圖中縱坐標(biāo)傳感器編號(hào)及其測(cè)試振動(dòng)的方向見(jiàn)圖2。可以看到結(jié)構(gòu)振動(dòng)經(jīng)歷了三個(gè)階段：①在5～20 s時(shí)(激振器在第5 s時(shí)啟動(dòng))，所有構(gòu)件振動(dòng)均非常??；②約第20 s后，結(jié)構(gòu)振幅開(kāi)始急劇增大，并在隨后的25 s時(shí)間內(nèi)增大幾倍甚至幾十倍；③約第45 s后各測(cè)點(diǎn)振動(dòng)均處于大幅穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。由圖3(a)可知，全過(guò)程中激勵(lì)幅值基本保持不變，這說(shuō)明結(jié)構(gòu)后期的大幅振動(dòng)蘊(yùn)含著強(qiáng)烈的內(nèi)共振。

由圖3(b)和(c)可知，斜拉索A11和J11的響應(yīng)頻率組成中幾乎沒(méi)有激勵(lì)頻率f1，而是出現(xiàn)了兩個(gè)相近的頻率f2=4.662 Hz和f3=5.585 Hz，即：一個(gè)激勵(lì)頻率激發(fā)出兩個(gè)響應(yīng)頻率。值得一提的是，三者間正好存在關(guān)系：f2+f3=f1(FFT分析存在一定誤差)。從形式上看，這與主共振、亞/超諧波共振、組合共振和聯(lián)合共振不同[30]。三者的關(guān)系類似于組合共振，不同的是組合共振是兩個(gè)外激勵(lì)頻率的線性組合等于結(jié)構(gòu)的一個(gè)響應(yīng)頻率，而該共振是結(jié)構(gòu)的兩個(gè)響應(yīng)頻率之和等于一個(gè)外激勵(lì)頻率。

由圖3(d)～圖3(i)可知，主梁豎向振動(dòng)響應(yīng)頻率主要組成是f1和f2，而f3的貢獻(xiàn)很小。主梁縱向漂浮振動(dòng)幅值較小，僅約為豎向的1/5，且其存在多個(gè)主頻。主塔振幅比主梁稍小，其主頻僅為f2。

圖3 振動(dòng)時(shí)程曲線及頻譜圖Fig.3 Vibration time histories and their spectrums

3.2 分段分析

為進(jìn)一步探究該共振發(fā)生和變化的過(guò)程，對(duì)主梁跨中豎向(激勵(lì)處)、斜拉索J11跨中面內(nèi)和邊跨跨中豎向振動(dòng)的時(shí)程曲線局部放大。取振動(dòng)開(kāi)始的前幾秒和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的后幾秒繪制局部時(shí)程曲線及頻譜圖見(jiàn)圖4，圖中縱坐標(biāo)傳感器編號(hào)及其測(cè)試振動(dòng)的方向見(jiàn)圖2。需要說(shuō)明的是，圖3和圖4中的頻譜圖在做FFT分析的時(shí)候數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)不一樣，故得到的頻率值存在一定誤差。可以看到：振動(dòng)初期主梁、主塔和斜拉索振動(dòng)均很小，且此時(shí)激勵(lì)及主梁振動(dòng)均為小幅單模態(tài)振動(dòng)。之后，主梁、主塔和長(zhǎng)索的振幅均迅速增大，出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)的“拍振”。由頻譜圖可知：激勵(lì)頻率在振動(dòng)剛開(kāi)始時(shí)僅有10.243 Hz這一成分(對(duì)應(yīng)圖3中的10.25 Hz)，但后期穩(wěn)態(tài)振動(dòng)又出現(xiàn)2個(gè)較小的頻率成分。斜拉索J11在振動(dòng)初期的主頻率為10.243 Hz，并伴隨有2個(gè)其它頻率成分，而后期穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)10.243 Hz主頻幾乎消失，并激發(fā)出4.659 Hz和5.579 Hz兩個(gè)主頻。邊跨跨中振動(dòng)起初也僅有與激勵(lì)頻率相同的成分，之后激發(fā)出4.659 Hz的成分并占據(jù)主導(dǎo)。

事實(shí)上，數(shù)據(jù)采集過(guò)程中也實(shí)時(shí)觀察到了各通道頻率的變化情況：主梁和主塔剛開(kāi)始僅有頻率f1=10.25 Hz，之后逐漸出現(xiàn)f2=4.662 Hz的頻率成分，且對(duì)應(yīng)幅值也逐漸增大。斜拉索起初僅有f1=10.25 Hz的頻率成分，之后同時(shí)出現(xiàn)f2=4.662 Hz和f3=5.585 Hz兩個(gè)頻率成分并逐漸增大占絕對(duì)主導(dǎo)。

圖4 時(shí)程曲線局部放大及頻譜圖Fig.4 Enlarged time histories and their spectrums

3.3 分離的振動(dòng)信號(hào)與斜拉橋整體振動(dòng)曲線

本實(shí)驗(yàn)斜拉橋僅在主梁跨中承受頻率為10.25 Hz的單頻激勵(lì)，而斜拉索穩(wěn)態(tài)響應(yīng)竟出現(xiàn)4.662 Hz和5.585 Hz兩種主頻的“拍振”，且三者不是倍數(shù)關(guān)系，而是f2+f3=f1。

為進(jìn)一步研究非線性耦合振動(dòng)發(fā)生的過(guò)程，將各通道的實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行無(wú)相移濾波，分別分離出4.662 Hz、5.585 Hz和10.25 Hz附近頻率成分，得到各頻率對(duì)應(yīng)的振動(dòng)時(shí)程曲線與頻譜圖見(jiàn)圖5，圖中縱坐標(biāo)傳感器編號(hào)及其測(cè)試振動(dòng)的方向見(jiàn)圖2。限于篇幅，僅給出中跨跨中(激勵(lì)處)、J11跨中面內(nèi)振動(dòng)、邊跨跨中豎向振動(dòng)和1#主塔塔頂水平向振動(dòng)的圖像。同時(shí)，利用分離后的數(shù)據(jù)，繪制主梁和主塔各測(cè)點(diǎn)在4.662 Hz、5.585 Hz和10.25 Hz主頻下的斜拉橋整體振動(dòng)曲線如圖6。圖6中選取了振動(dòng)初期(第20 s)和振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)大幅振動(dòng)時(shí)(第60.02 s)兩種狀態(tài)進(jìn)行對(duì)比。

由圖5(d)～圖5(f)可知：4.662 Hz和5.585 Hz是斜拉索J11的主導(dǎo)頻率，但兩者是由其它振動(dòng)激發(fā)的。由圖5(j)～圖5(l)也可知：主塔振動(dòng)以4.662 Hz為主導(dǎo)頻率，但其也是由其它振動(dòng)激發(fā)的。結(jié)合圖4～圖6可知：振動(dòng)初期，在10.25 Hz激勵(lì)的直接作用下，主梁僅發(fā)生頻率為10.25 Hz的振動(dòng)，且主塔和斜拉索振動(dòng)均很微小，是一種主梁的局部振動(dòng)。從圖6的振動(dòng)曲線可知，10.25 Hz的振動(dòng)為主梁一階對(duì)稱彎曲振動(dòng)。

隨著時(shí)間的推移，主梁一階對(duì)稱彎曲振動(dòng)逐漸激發(fā)出主梁的4.662 Hz振動(dòng)(圖5(g))，這可以從圖5(g)和圖5(i)振幅變化得到印證。不僅如此，該局部振動(dòng)還同時(shí)激發(fā)出主塔和斜拉索4.662 Hz振動(dòng)，從而出現(xiàn)全橋性大幅振動(dòng)。圖6振動(dòng)曲線表明該4.662 Hz頻率對(duì)應(yīng)的振動(dòng)形式為一階反對(duì)稱彎曲振動(dòng)，是一種混合模態(tài)(如圖3(c))。根據(jù)模態(tài)測(cè)試結(jié)果(表1)，一階反對(duì)稱彎曲振動(dòng)頻率為4.77 Hz，兩者之比為0.977。這說(shuō)明處于非線性大幅振動(dòng)的斜拉橋其非線性模態(tài)頻率將小于線性模態(tài)頻率。這與文獻(xiàn)[27]對(duì)Guadiana大橋現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試的結(jié)果一致。

以上分析可知：雖然斜拉橋整體結(jié)構(gòu)僅承受來(lái)自跨中的單頻外激勵(lì)(10.25 Hz)，但是，其內(nèi)共振使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了新的頻率(4.662 Hz)，故而，此時(shí)斜拉索承受著多種頻率的端部激勵(lì)。斜拉索J11在主梁一階對(duì)稱彎曲振動(dòng)(10.25 Hz)和全橋一階反對(duì)稱彎曲振動(dòng)(4.662 Hz)兩種端部激勵(lì)共同作用下，發(fā)生組合內(nèi)共振，激發(fā)出5.585 Hz的頻率。這就是本橋在單頻外激勵(lì)作用下能激發(fā)出拉索兩個(gè)響應(yīng)頻率，且f2+f3=f1的根本原因。與此同時(shí)，J11的大幅振動(dòng)反作用于主梁和主塔的振動(dòng)，使兩者出現(xiàn)5.585 Hz的弱振動(dòng)(圖5(b)、圖5(h)和圖5(k))。

圖5 分離的振動(dòng)信號(hào)及頻譜圖Fig.5 Separated vibration signals and their spectrums

圖6 各頻率對(duì)應(yīng)的振動(dòng)曲線Fig.6 Vibration curves of different frequencies

4 結(jié) 語(yǔ)

在斜拉橋的非線性動(dòng)力學(xué)模型實(shí)驗(yàn)中，觀測(cè)到單頻激勵(lì)作用下，多重內(nèi)共振及其導(dǎo)致的大幅全橋振動(dòng)。當(dāng)該激勵(lì)頻率約為長(zhǎng)斜拉索固有頻率2倍時(shí)，拉索發(fā)生大幅“拍振”，且兩個(gè)拍頻之和正好等于外激勵(lì)的頻率。通過(guò)對(duì)耦合振動(dòng)過(guò)程的研究，得到如下認(rèn)識(shí)：

(1) 非線性效應(yīng)使斜拉橋非線性模態(tài)頻率比按模態(tài)識(shí)別確定的線性模態(tài)頻率低。

(2) 斜拉橋多重內(nèi)共振需一定時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，即：需要積蓄足夠的能量方能激發(fā)索-梁-塔的大幅振動(dòng)。

(3) 對(duì)耦合過(guò)程的分析，是弄清多模態(tài)相互激發(fā)關(guān)系的有效手段。本實(shí)驗(yàn)中10.25 Hz的外激勵(lì)先激發(fā)主梁10.25 Hz主梁局部振動(dòng)(強(qiáng)迫振動(dòng))，再激發(fā)4.662 Hz混合模態(tài)(局部-混合模態(tài)耦合振動(dòng))；同時(shí)，由該混合模態(tài)與主梁局部振動(dòng)組合激發(fā)出斜拉索的5.585 Hz振動(dòng)(組合內(nèi)共振)。這是單頻激勵(lì)能激發(fā)斜拉索“拍振”，且兩“拍頻”之和恰好等于該激勵(lì)頻率的根本原因。

參 考 文 獻(xiàn)

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