李中杰，王 磊

(焦作師范高等專科學校 數(shù)學學院，河南 焦作 454002)

在可求解的幾類一階常微分方程中，關于恰當方程的解法較多而且簡便，常用的有不定積分法、曲線積分法、分項組合法等[1]。因此，若能將一個非恰當方程轉化為恰當方程，則該方程就能夠迅速求解。在此意義上，尋求一個非恰當方程的積分因子就顯得非常重要。然而，積分因子一般是不容易求得的。

現(xiàn)在各類本科和?？茖W校使用的《高等數(shù)學》教材中只是介紹了方程僅依賴于x或是僅依賴于y的積分因子的求法。

一些學者對某些類型的積分因子進行了探索，如劉會民、王新研究了具有F(xayb)及G(xa+yb)形式的積分因子的充要條件[2]； 劉許成給出了方程具有復合分離型積分因子φ(p(x)q(y))的存在判定定理并建立了計算公式[3]； 程惠東、孟新柱則給出了積分因子存在的充要條件和計算公式[4]。

從另一方面來看，《高等數(shù)學》教材中所涉及的可以求解的幾類一階顯式微分方程，如變量分離方程

齊次微分方程

一階線性微分方程

伯努利微分方程

等，都有固定的解法[5]30-48，其基本思路是通過變量代換化為變量分離方程進行求解[6]20-35。這些解法有時比較繁瑣，計算量偏大。而如果把方程寫為對稱形式，利用積分因子將之轉化為恰當微分方程，求解過程將變得非常簡便。

本文將對幾類常見的一階微分方程的積分因子進行探究和總結。在教學中，這些結論可加深學生對于積分因子的理解，也為求解各種類型的微分方程提供一種思路。

1 恰當方程與積分因子

一階顯式常微分方程

可寫為對稱形式

M(x，y)dx+N(x，y)dy=0

，

(1)

其中M(x，y)和N(x，y)是關于x，y的連續(xù)函數(shù)，且具有一階連續(xù)偏導數(shù)。

若方程(1)的左端恰好是某個二元函數(shù)u(x，y)的全微分，即成立

du(x，y)=M(x，y)dx+N(x，y)dy，

則稱此方程為恰當微分方程。此時，方程的通解為

u(x，y)=C。

如果存在連續(xù)可微函數(shù)

μ=μ(x，y)≠0，

使得

μ(x，y)M(x，y)dx+μ(x，y)N(x，y)dy=0

成為恰當微分方程，則稱μ(x，y)為方程

M(x，y)dx+N(x，y)dy=0

的一個積分因子。

引理μ=μ(x，y)為方程

M(x，y)dx+N(x，y)dy=0

的積分因子，則

反之，亦成立。

2 主要結論

結論1變量分離方程

(2)

的積分因子為

證明方程(2)寫為對稱形式

f(x)φ(y)dx-dy=0，

這里

M=f(x)φ(y)，

N=-1。

計算得

由引理知結論成立。

結論2 一階線性微分方程

(3)

的積分因子為

證明方程(3)寫為對稱形式

[p(x)y+q(x)]dx-dy=0，

這里

M=p(x)y+q(x)，

N=-1。

計算得

由引理知結論成立。

結論3 伯努利方程

(4)

的積分因子為

證明方程(4)寫為對稱形式

[p(x)y+q(x)yn]dx-dy=0，

這里

M=p(x)y+q(x)yn，

N=-1。

計算得

由引理知結論成立。

結論4 齊次方程

(5)

的積分因子為

證明方程(5)寫為對稱形式

這里

N=-1。

計算得

由引理知結論成立。

3 應用

例1求解方程

(6)

解方程(6)為n=-2時的伯努利方程。這里

q(x)=x3。

寫為對稱形式

(7)

由上述結論3直接計算得積分因子

即為恰當微分方程。分項組合積分后得到方程通解為

例2求解方程

(8)

解方程(8)為齊次方程。這里

q(x)=x3。

寫為對稱形式

(9)

由上述結論4直接計算得積分因子

即為恰當微分方程。分項組合積分后得到方程通解為

4 結束語

對于一階顯式微分方程

在初等積分法可解的前提下，一般的處理方法是通過一系列變換將之化為變量分離方程來進行求解。而這些解法有時過于繁瑣，容易出錯。此時若能從積分因子的角度，利用積分因子將之化為恰當微分方程，則會取得很好的效果。

參考文獻：

[1] 資治科.全微分方程的不定積分解法及其證明[J].高等數(shù)學研究,2002(2):20-21.

[2] 劉會民,王新.有關一階微分方程積分因子的計算[J].遼寧師范大學學報(自然科學版),2003,26(3):237-239.

[3] 劉許成.一類微分方程的積分因子存在定理[J].臨沂師范學院學報,2003,25(6):19-20,23.

[4] 程惠東,孟新柱.積分因子存在定理的一般充要條件[J].數(shù)學的實踐與認識,2006,36(8):309-312.

[5] 王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.

[6] 東北師范大學數(shù)學系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.