劉希玉， 姜珍妮， 趙玉禎

(山東師范大學 管理科學與工程學院，山東 濟南 250014)

膜計算一詞是由歐洲科學院院士、羅馬尼亞科學院院士Gheorghe Pǎun[1]在1998年提出，并于2002年將其成果見刊發(fā)表.2003年，美國科學情報檢索機構(gòu)(institute for scientific information,簡稱ISI)將膜計算列為計算機科學中快速發(fā)展的前沿領(lǐng)域.此時起，膜計算便成為了一個新興的研究領(lǐng)域.膜系統(tǒng)主要由膜結(jié)構(gòu)、對象以及進化規(guī)則3部分組成，通過模擬細胞、組織或者器官的基本結(jié)構(gòu)而構(gòu)造的膜結(jié)構(gòu)是計算的主體，規(guī)則是實現(xiàn)膜內(nèi)和膜間物質(zhì)交流的基礎(chǔ)，對象則被置于膜內(nèi)，依據(jù)相應的規(guī)則，可完成相應的信息傳遞過程.

目前為止，膜計算模型主要分為3種：細胞型計算模型、組織型計算模型和神經(jīng)型計算模型.細胞型計算模型是基于單細胞結(jié)構(gòu)，組織型計算模型基于組織中細胞群結(jié)構(gòu)，神經(jīng)型計算模型基于神經(jīng)元細胞.現(xiàn)已被證明，3種模型皆具有圖靈等價的計算能力.無論哪種膜系統(tǒng)，其基本計算都是開始于膜系統(tǒng)的某個初始格局，計算隨著初始格局的轉(zhuǎn)移而不斷進行下去，直至在輸出膜中出現(xiàn)計算結(jié)果為止.目前基于膜系統(tǒng)提出的近似優(yōu)化算法是膜計算應用方面一個較熱的研究方法，將膜計算與其他傳統(tǒng)的優(yōu)化算法進行結(jié)合，可發(fā)揮膜系統(tǒng)的優(yōu)良特性，并借此改善傳統(tǒng)算法的不足.

針對膜計算的研究已經(jīng)層出不窮，但是大部分改進膜系統(tǒng)依然基于圖結(jié)構(gòu)的設計，為了充分發(fā)揮出膜系統(tǒng)的計算性能，兩種新型的膜系統(tǒng)應運而生：(1)在單純形結(jié)構(gòu)和離散Morse理論基礎(chǔ)上構(gòu)造的單純形P系統(tǒng);(2)基于細胞多維框架思想的鏈式P系統(tǒng).論文將對兩種新型的膜系統(tǒng)進行詳細介紹，同時對基于現(xiàn)有膜系統(tǒng)進行的聚類研究進行綜述，并對未來相關(guān)研究的發(fā)展提出幾點展望.

1 新型P系統(tǒng)

1.1 單純形P系統(tǒng)

Liu等[2]基于單純形的思想結(jié)合離散Morse結(jié)構(gòu)提出一種新型的單純形P系統(tǒng)，并構(gòu)建了P系統(tǒng)上的交流規(guī)則.在該系統(tǒng)中，作者使用了基于網(wǎng)格的聚類方法實現(xiàn)了Wisconsin breast cancer數(shù)據(jù)集的聚類過程.實驗結(jié)果表明，新構(gòu)建的單純復形P系統(tǒng)(simplicial complexes with membrane coefficients,簡稱SSP系統(tǒng))的性能要優(yōu)于傳統(tǒng)的P系統(tǒng).Xue等[3]提出一種帶有膜系數(shù)的SSP系統(tǒng)，在復形上擴展了現(xiàn)有的膜結(jié)構(gòu)，并給出了4種基于鏈式結(jié)構(gòu)和邊操作的交流規(guī)則.通過模擬寄存器證明了新提出SSP系統(tǒng)的計算完備性，同時將其應用于文檔聚類中.通過實驗結(jié)果進一步證明了新提出的SSP系統(tǒng)較于傳統(tǒng)P系統(tǒng)更具聚類優(yōu)勢.

新型的單純形膜系統(tǒng)的膜結(jié)構(gòu)如圖1所示.通過一系列的頂點{a0,a1,…,ak}表示單純復形K，一個單形σ∈K被稱為一個膜，其中單形由頂點表示.如果一個單形不是單純復形K中其他膜的組成部分，則記該膜為最大膜.頂點是0維膜，稱為基本膜.若膜τ<σ是σ的一部分，則記σ是τ的父膜.若兩個單形σ1，σ2是同一個更高維單形的組成部分，則稱σ1和σ2是鄰居關(guān)系，記作(σ1,σ2)τ，其中τ表示二者的共同超面，也可以記作(σ1,σ2)L.如果單形τ是兩個單形σ1，σ2的一部分，則σ1，σ2是內(nèi)鄰關(guān)系，記作(σ1,σ2)τ，也可以記作(σ1,σ2)U或者(σ1,σ2).圖1為一個簡單的3維單純形膜系統(tǒng)實例，圖2為單純形膜結(jié)構(gòu)圖1的鄰居關(guān)系.

圖1 單純形膜結(jié)構(gòu)

圖2 膜結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡模型

該膜系統(tǒng)共包含15個膜.單純形膜系統(tǒng)的膜數(shù)量計算方式為

(1)

單純復形K上表示的系統(tǒng)稱為單純形P系統(tǒng).帶有共運輸和逆運輸規(guī)則的單純形膜系統(tǒng)定義為

∏=(m,O,E,ω1,…,ωm,R1,…,Rm,ch,F(i,j)|(i,j)∈ch,i0)，

其中：o是字母表；m表示細胞的數(shù)量標簽，標號依次為1,2,…,m；E是環(huán)境中的無限制多重集；ωi表示膜i中的初始字符串；Ri表示膜i中的共運輸/逆運輸規(guī)則；ch?{(i,j)U,(i,j)L:i,j∈{1,2,…,m}}表示關(guān)聯(lián)集；F(i,j)表示關(guān)系(i,j)∈ch上的共運輸/逆運輸規(guī)則；i0表示輸出膜.

單純形P系統(tǒng)中的膜規(guī)則，首先明確每個類型的規(guī)則都存在out,in,up,down這4種操作.

(1)Rσ(τ1,τ2)中向上關(guān)聯(lián)規(guī)則形式為

[(x,y),up;(α,β),in]U→[z,in;γ,down],[u,out;v,in|τ1<σ],[u,out;v,in|τ2<σ]，

該規(guī)則表示將細胞τ1中的x以及細胞τ2中的y變成z移動到父代σ中，同時將父代σ中的γ分別變成τ1中的α以及細胞τ2中的β.

(2)Rσ(τ1,τ2)中向下關(guān)聯(lián)規(guī)則形式為

[(x,y),down;(α,β),in]L→[z,in;γ,up],[u,out;v,in|σ<τ1],[u,out;v,in|σ<τ2]，

該規(guī)則表示將細胞τ1中的x以及細胞τ2中的y變成z移動到超面σ中，同時將父代σ中的γ分別變成上一層細胞τ1中的α以及上一層細胞τ2中的β.

1.2 鏈式膜系統(tǒng)

與單純形P系統(tǒng)的提出一樣，同樣基于離散Morse結(jié)構(gòu)，欒靜等[4]提出一種與離散Morse結(jié)構(gòu)相結(jié)合的具有鏈式結(jié)構(gòu)的新型脈沖神經(jīng)P系統(tǒng)(spiking neural P system on chain,簡稱SNPC系統(tǒng)).SNPC系統(tǒng)的神經(jīng)膜細胞通過離散梯度矢量路徑設置鏈，構(gòu)建鏈式結(jié)構(gòu)的SNP(spiking neural P system)系統(tǒng).作者證明了新提出的SNPC系統(tǒng)在進行自然數(shù)運算方面的可行性，并從生成數(shù)據(jù)集和生成字符串語言的角度給出了SNPC系統(tǒng)中算術(shù)運算的算法.Xue等[5]提出了一種結(jié)合離散Morse理論的新型定向鏈式P系統(tǒng)，P系統(tǒng)中的對象以正負兩級的形式存在，并證明了該鏈式P系統(tǒng)具有和圖靈機等價的計算能力，將其用于線性時間內(nèi)對滿足性問題的求解，經(jīng)與其他的P系統(tǒng)對比證明了該鏈式P系統(tǒng)的有效性.

將鏈式結(jié)構(gòu)與膜系統(tǒng)進行結(jié)合，同樣是基于膜對象、膜結(jié)構(gòu)和膜規(guī)則3個角度進行.鏈式膜結(jié)構(gòu)設定如下：(1) 若一個膜內(nèi)部不再包含其他膜，則該膜為基本膜；(2) 將多個膜相互連接組成一個有序鏈表，稱為鏈膜；(3) 鏈膜上的每一個膜為單元膜；(4) 各個基本膜中的符號稱為基本對象，鏈膜中每個單元膜中的基本對象依次連接構(gòu)成的有序?qū)ο蠓Q為鏈對象.鏈式膜系統(tǒng)可以分為有向鏈式膜系統(tǒng)和無向鏈式膜系統(tǒng)，無向鏈式膜系統(tǒng)是以單純形多維結(jié)構(gòu)構(gòu)建的膜系統(tǒng)，各個單元膜之間沒有順序關(guān)系.此處僅對有向鏈式膜系統(tǒng)進行說明.

有向鏈式膜系統(tǒng)的形式化定義如下

∏=(O,μ,w1,w2,…,wm,R1,R2,…,Rm,io)，

其中：O是字母表；μ是膜結(jié)構(gòu)，包括鏈膜的組成結(jié)構(gòu)以及整個膜系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)；wi(i=1,2,…,m)為鏈膜σi中鏈對象的集合；Ri(i=1,2,…,m)為膜σi內(nèi)的規(guī)則；io是輸出膜.

有向鏈式膜系統(tǒng)中的膜以鏈膜形式存在，表示為σi=hi1*σi1?hi2*σi2?…?hini*σini，其中：σi1,σi2,…,σini表示該鏈膜上的單元膜；hi1,hi2,…,hini表示整數(shù)；hijσij表示該鏈膜中包含|hij|個單元膜σij.通過規(guī)則控制信息在各單元膜以及各個鏈膜之間進行交流.有向鏈式膜系統(tǒng)中，對象以鏈表形式表示，具體表示為ai=x1?x2?…?xn，代表的含義為單元膜σi中包含單元對象xi.有向鏈式膜規(guī)則表示為ri={ri,1,ri,2,…,ri,n}，表示ri是由n個子規(guī)則組成，這n個子規(guī)則按照從左至右的順序依次執(zhí)行.設ai1=gnxn?gn-1xn-1?…?g1x1和ai2=hnxn?hn-1xn-1?…?h1x1是某有向鏈式膜系統(tǒng)中的任意兩個鏈膜，則鏈膜相加規(guī)則為

ai3=ai1+ai2為ai1+ai2=(gn+hn)xn?(gn-1+hn-1)xn-1?…?(g1+h1)x1，

它也是一個鏈膜.同樣鏈式膜系統(tǒng)中也可以進行相減、交叉等其他操作.兩種鏈式膜結(jié)構(gòu)形式如圖3、4所示.

圖3 樹形膜結(jié)構(gòu)

圖4 圖形膜結(jié)構(gòu)

2 膜計算在聚類問題中的應用

根據(jù)膜計算與聚類算法的結(jié)合程度可將其分為兩個大類：(1)利用直接膜算法求解聚類問題；(2)利用間接膜算法求解聚類問題.直接膜算法是指用P系統(tǒng)的對象表示算法中的數(shù)據(jù)對象，用P系統(tǒng)的進化規(guī)則表示對數(shù)據(jù)對象操作過程的算法.間接膜算法是將傳統(tǒng)的近似算法和膜計算的特性相結(jié)合，是一類新的分布式演化算法.此處需要說明關(guān)于直接膜算法和間接膜算法兩個名詞的定義依據(jù)的是當前研究現(xiàn)狀，并非是一種嚴格的說法.

聚類分析是數(shù)據(jù)挖掘中一個非常活躍的研究領(lǐng)域，現(xiàn)已有很多聚類算法.按照聚類思想的不同，可將聚類簡單劃分為兩大類：劃分方法和自生長方法.劃分方法，即事先確定好類數(shù)目，然后按照指定的劃分標準將數(shù)據(jù)集直接生成最終的聚類結(jié)果；自生長方法則是從一個數(shù)據(jù)點出發(fā)，按照某種規(guī)則，逐步形成一個簇.基于層次的聚類方法和基于密度的聚類算法都屬于自生長算法，比較典型的代表包括：BIRCH(balanced iterative reducing and clustering using hierarchies)、CURE(clustering using representatives)、ROCK(robust clustering using links)、Chameleon算法、DBSCAN(density-based spatial clustering of applications with noise)、OPTICS(ordering points to identify the clustering structure)和DENCLUE(density-based clustering)算法等.除了以上幾類聚類問題，基于網(wǎng)格的聚類以及基于圖論的聚類問題等，也是當前的研究熱點.

當前已經(jīng)存在很多關(guān)于膜計算的研究，但是將膜計算應用在聚類分析領(lǐng)域的研究還比較少.將膜計算的極大并行性融入聚類問題分析中，可以有效提高聚類分析的效率，求解大數(shù)據(jù)下高復雜度、高稀疏性問題，具有一定的應用價值和實踐意義.

2.1 基于直接膜算法求解聚類問題

劃分方法(partitioning method，簡稱PAM)的基本思想是首先創(chuàng)建k個劃分(即聚類數(shù)為k)，然后通過一定的預設指標將每個數(shù)據(jù)點從一個劃分轉(zhuǎn)移到另一個劃分，從而改善劃分的質(zhì)量.比較典型的劃分方法包括：K-means、K-medoids、CLARA(clustering large applications)等方法.目前學者們習慣性地統(tǒng)稱該類劃分方法為廣義K-means聚類.盡管該聚類方法操作簡單、高效，但是依然存在很多缺陷，如該方法需要預先指定聚類數(shù)目，同時算法采用隨機選取初始聚類中心的方法容易使算法陷入局部最優(yōu)，且由于算法基本思想的限制使得該算法僅適用于球形數(shù)據(jù)集的聚類.

2012年，有學者開始嘗試將膜計算引入聚類問題中[6]，借助P系統(tǒng)的極大并行性和較低的計算復雜度特性，有效地提高了聚類的效率.簡單的實驗運行證明了該思想的可行性，同時也成了膜計算應用層面新的嘗試.盡管P系統(tǒng)的引入提高了聚類效率，但是依然無法掩蓋聚類算法自身存在的不足，所以在融合P系統(tǒng)進行聚類的同時，引入K近鄰思想以及基于數(shù)據(jù)點密度等優(yōu)化方法優(yōu)化K-medoids算法初始聚類中心[7-11]，可進一步提高算法的有效性.

與改進聚類算法本身的思想一致，改進P系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)也是提高算法計算能力的一種方式.Xu等[12]基于劃分聚類中的中心點思想提出一種用于聚類問題的剪接P系統(tǒng)，并使用了10個數(shù)據(jù)點測試了該P系統(tǒng)的可行性.

集成聚類是一類魯棒性非常好的聚類方法，它可以根據(jù)多個已知的基本聚類劃分得出最終的聚類結(jié)果.Zhao等[13]在集成聚類中引入了K-medoids算法和帶有促進劑和抑制劑的類細胞P系統(tǒng)，提出了一種基于類細胞P系統(tǒng)的K-medoids集成聚類算法.并通過實驗證明了所提出的集成聚類算法可以在短時間內(nèi)獲得更高質(zhì)量的聚類結(jié)果.

基于層次的聚類算法分為自上而下和自下而上兩種方式.Cardona等[14]將P系統(tǒng)應用到層次聚類中，以矩陣的形式存儲數(shù)據(jù)點之間的相異度，該思路為后期P系統(tǒng)在聚類中的應用提供了思路.Sun等[15]基于該思路對P系統(tǒng)進行簡單改進，使用了簡單的數(shù)據(jù)集對論文提出的聚類算法進行了實驗驗證，最終結(jié)果證明了所改進算法的有效性.Zhao等[16]同樣也將活性膜P系統(tǒng)應用到分層聚類中.

層次聚類的代表算法主要包括BIRCH、CURE、ROCK、Chameleon算法.Bai等[17-18]將擴展的脈沖神經(jīng)P系統(tǒng)引入到了層次聚類中.Zhao等[19]構(gòu)建了基于活性膜P系統(tǒng)的改進ROCK算法，借助于P系統(tǒng)的極大并行性，極大地降低了改進之后聚類算法時間復雜度.Zhao等[20]將類組織P系統(tǒng)應用到凝聚變色龍聚類算法中，實驗差錯率更低，聚類效果更準確.Zhao等[21]使用基于網(wǎng)格的聚類算法和并行進化機制以及帶有促進和抑制因子的分類組織P系統(tǒng)，改進了變色龍算法.

密度聚類則是根據(jù)對象之間的密度進行完成聚類，該方式可以發(fā)現(xiàn)任意形狀的聚類，代表性的密度聚類算法有DBSCAN、OPTICS和DENCLUE算法.Sun等[22]將P系統(tǒng)運用到DBSCAN聚類中.Xue等[23]提出一種基于加權(quán)脈沖神經(jīng)P系統(tǒng)用于求解密度-網(wǎng)格聚類問題.

網(wǎng)格方法可以有效減少算法的計算復雜度，且同樣對密度參數(shù)敏感.Xue等[24]提出了一種基于網(wǎng)格的帶有交流規(guī)則的新型P系統(tǒng)，稱為格上交流P系統(tǒng)(communication P system on lattice，簡稱LTC-P).將該系統(tǒng)與基于密度的聚類、基于分層的聚類以及基于劃分的聚類進行結(jié)合，用于求解聚類問題.聚類過程在膜中實現(xiàn)，聚類結(jié)果通過膜輸出.最終將新的P系統(tǒng)在UCI(university of californiaIrvine)數(shù)據(jù)集上進行了實驗驗證，結(jié)果表明該系統(tǒng)比傳統(tǒng)算法消耗時間更短，所用規(guī)則更少，同時還能提供更簡單的膜結(jié)構(gòu).Xue[25]提出一種基于菱形網(wǎng)格算法和脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡P系統(tǒng)的新型算法(combining rhombic grids based algorithm and spiking neural P systems used for solving clustering problems，簡稱RGSNPS)，并將其用于求解聚類問題，最終通過Iris和Wine數(shù)據(jù)集證明了該混合算法的有效性和準確性.

除了以上聚類方法，基于圖論的聚類算法也是當前的研究熱點之一.Zhao等[26]直接將聚類問題轉(zhuǎn)化成圖論問題，提出了一種基于活性膜P系統(tǒng)的聚類算法.計算時，首先將聚類中的對象轉(zhuǎn)化成圖中的頂點，對象之間的相異度表示圖的邊.Xue等[27]提出一種格上P系統(tǒng)并將其用于求解圖聚類問題.Liu等[28]提出一種新的基于圖的P系統(tǒng)，該P系統(tǒng)的主要特點就是在圖的頂點和邊上都存在膜室.兩種間隔之間與某些通訊規(guī)則是拓撲關(guān)聯(lián)的.為尋找Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡的均衡，論文還提出一種新的神經(jīng)網(wǎng)絡計算技術(shù)來求解類分裂問題，通過與傳統(tǒng)算法的比較，證明了論文新提出P系統(tǒng)的計算效率.

除此之外，Xue等[29]提出的一種基于樹結(jié)構(gòu)的P系統(tǒng)實現(xiàn)空間聚類分析，考慮傳統(tǒng)的空間聚類分析都是基于馮·諾依曼計算架構(gòu)，將直接膜算法運用到聚類問題中，通過給出渠道和規(guī)則具體呈現(xiàn)了新的交流P系統(tǒng).Xiu等[30]提出一種結(jié)合了Bin-packing技術(shù)的新型P系統(tǒng)，并將其應用于聚類分析中，聚類過程的變異、交換以及能量變換過程均以規(guī)則的形式在P系統(tǒng)的膜結(jié)構(gòu)中進行實現(xiàn)，最終將該系統(tǒng)應用于心臟病數(shù)據(jù)集的聚類中.Xue等[31]提出一種具有上層/下層規(guī)則以及同層溶解結(jié)構(gòu)的新型P系統(tǒng)，使用膜規(guī)則求解聚類問題，并在UCI的急性炎癥信息數(shù)據(jù)集中進行了實驗驗證，聚類準確率達到83%.實驗結(jié)果表示該新型P系統(tǒng)能夠準確地對數(shù)據(jù)集進行聚類.

2.2 基于間接膜算法求解聚類問題

Peng等[32]提出一種具有全局連通結(jié)構(gòu)的類組織膜聚類算法，使用速度-位置作為進化規(guī)則，所提出的算法在進化-交流機制下，該膜系統(tǒng)不僅可以獲得最佳聚類數(shù)目，而且還能非常好地實現(xiàn)聚類劃分.Peng等[33]基于前期研究提出了基于類組織P系統(tǒng)求解多目標模糊聚類問題，文中所使用的多目標函數(shù)為

(2)

其中：Z1,…,Zk表示需要優(yōu)化的K個聚類中心；3個目標函數(shù)分別表示3種有效性測量指標.

Hou等[34]借助P系統(tǒng)的極大并行性優(yōu)化量子遺傳算法，使用改進之后的算法優(yōu)化K-means聚類算法的初始聚類中心，克服了K-means算法隨機選取聚類中心的不足.改進之后的算法能有效縮短算法的運行時間，并可用于處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集以及未知聚類數(shù)據(jù)數(shù)目的數(shù)據(jù)集.Jiang等[35]提出了一種基于DNA遺傳算法和P系統(tǒng)的K-means聚類算法，借助DNA遺傳算法的選擇、交叉、變異操作實現(xiàn)了初始聚類中心的選擇，克服了傳統(tǒng)的K-means聚類算法隨機選擇初始聚類中心的不足，同時借助P系統(tǒng)的極大并行性有效地實現(xiàn)了聚類.

3 結(jié)束語

綜合目前的研究可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)膜計算的研究已經(jīng)存在很多，但是將膜計算應用于聚類分析領(lǐng)域的研究還比較少.膜計算在聚類分析領(lǐng)域是一個新課題，將膜計算的極大并行性與聚類模型進行結(jié)合，可以用來處理高復雜度、高數(shù)據(jù)量的數(shù)據(jù)集，具有一定的實踐意義和應用價值.

膜計算融合其他優(yōu)化算法進行數(shù)據(jù)處理的間接膜算法是目前較為熱點的研究方向，待求解的問題有：(1)對P系統(tǒng)的進化-交流機制進行改進，使其可以實現(xiàn)自動聚類和多目標聚類；(2)目前研究中的固定膜結(jié)構(gòu)并不可以實現(xiàn)自動聚類，所以未來可研究動態(tài)膜結(jié)構(gòu)，并將其用于處理優(yōu)化問題；(3)嘗試構(gòu)建新型P系統(tǒng)，使其可以用于處理更大規(guī)模的數(shù)據(jù)集；(4)將膜計算用于求解更廣范圍的聚類問題；(5)目前學者們的研究主要是借用UCI數(shù)據(jù)集及人工數(shù)據(jù)集進行實現(xiàn)驗證，未來可注重將P系統(tǒng)用于求解實際問題.

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