王 凱， 李 鈺， 劉厚林， 夏 晨， 劉中純

(1.江蘇大學 流體機械工程技術研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.江蘇長江水泵有限公司，江蘇 昆山 215321)

多級離心泵廣泛應用于城市、工廠給水、礦山排水等領域，其運行過程中產(chǎn)生過大的振動和噪聲問題日益受到關注。目前多級離心泵的研究主要圍繞設計和優(yōu)化等方面，對其振動和噪聲特性的研究相對較少。在環(huán)境與生活質量要求日益突出的背景下，低振低噪多級離心泵的設計方法成為當前研究熱點與難點之一[1-4]。

目前，鄭源等[5-14]對水動力噪聲的研究主要采用試驗與數(shù)值模擬手段。Langthjem等[15]通過試驗測量離心泵內(nèi)場噪聲，得出離心泵的噪聲主要是由偶極子源產(chǎn)生的結論。Chu等[16]利用PIV(Particle Image Velocimetry)技術測量了離心泵內(nèi)部流場，并計算獲得壓力分布，結果表明泵內(nèi)流噪聲主要是由葉片與隔舌間的相互作用及葉輪出口附近的復雜流動所致。Srivastav等[17]試驗研究了不同工況下離心泵的葉輪與隔舌間隙對外輻射噪聲的影響，得出噪聲隨間隙增大而降低的結論。隨著CFD(Computational Fluid Dynamics)的快速發(fā)展，計算氣動聲學也在逐漸完善。Jiang等[18]基于聲振耦合和大渦模擬方法數(shù)值計算了離心泵流動誘導噪聲，結果表明泵體的結構模態(tài)對外輻射聲壓水平影響明顯。丁劍等[19]基于大渦模擬方法研究葉片出口角與離心泵輻射噪聲之間的關系，得出了離心泵葉頻處聲功率與出口角呈正相關的結論。

但是流動誘導振動噪聲的研究主要集中于單級離心泵，到目前為止未見多級離心泵內(nèi)部流動噪聲特性研究的文獻。因此，本文基于CFD流場計算對MD100-33型五級導葉式離心泵進出口的水動力噪聲進行研究，以獲得多工況下多級離心泵誘導噪聲特性。

1 多級離心泵結構參數(shù)

選比轉速ns=65.4的五級導葉式離心泵為研究對象，其主要幾何參數(shù)見表1，結構圖如圖1所示。為了兼顧泵的汽蝕性能和揚程需求，該原型泵首級葉輪葉片數(shù)設計為6片，二到五級葉輪葉片數(shù)為7片。設計流量Qd=100 m3/h，揚程H=165 m，轉速n=1 480 r/min。

表1 泵主要幾何參數(shù)

2 內(nèi)部流場數(shù)值計算

2.1 數(shù)學模型及邊界條件

五級導葉式離心泵全流場計算域包括：吸入段、全五級葉輪水體、全五級導葉水體及吐出段，如圖2所示。采用ICEM對水體進行非結構網(wǎng)格劃分。

理論上講，由網(wǎng)格原因造成的求解誤差會隨著網(wǎng)格數(shù)的增加而不斷縮小，直至消失。但考慮到計算機的性能及計算時間，網(wǎng)格數(shù)也不能過多，因此有必要進行網(wǎng)格相關性檢查。表2給出了該五級導葉式離心泵的網(wǎng)格相關性檢查，根據(jù)網(wǎng)格疏密程度劃分三套網(wǎng)格方案，比較其離心泵揚程預測值，結果表明疏網(wǎng)格方案會導致計算揚程偏差較大，而中密型網(wǎng)格較為適合，與密網(wǎng)格揚程偏差僅有0.42%。綜合考慮后，選擇第二套網(wǎng)格方案，其網(wǎng)格總數(shù)為7 803 519。

圖1 五級離心泵

圖2 計算區(qū)域

表2 網(wǎng)格相關性檢查

采用CFX軟件計算五級離心泵的內(nèi)部流場，共計算了0.4Qd,0.6Qd,0.8Qd,1.0Qd及1.2Qd五個工況。采用多重坐標系，葉輪流場設置為旋轉坐標系，其余部分均采用靜止坐標系，在動靜兩種計算域之間設置數(shù)據(jù)交界面。對于定常計算，采用凍結轉子交界面，以時均Navier-Stokes方程作為基本控制方程；對于非定常計算，采用瞬態(tài)動靜交界面。計算域固壁處采用無滑移邊界，近壁處采用Scalable壁面函數(shù)。計算邊界條件中進口設為總壓，出口設為靜壓，這樣的設置方式對壓力脈動具有較高的計算精度[20]?？紤]RNGk-ε模型對計算曲率半徑較大和易發(fā)生脫流的離心泵內(nèi)部流場具有較優(yōu)的自適應性[21]，采用RNGk-ε湍流模型對流場進行計算。

定常計算時間步長設為0.002 027 s，非定常時間步長設為ΔT=0.000 112 6 s，即葉輪旋轉2°時間，當流場出現(xiàn)顯著的周期性且達到穩(wěn)定后，提取八個計算周期的壓力脈動數(shù)據(jù)作為振動誘導噪聲計算的聲源文件。

2.2 外特性試驗與數(shù)值計算對比

圖3給出了該五級導葉式離心泵的外特性試驗與數(shù)值計算結果。從圖3可以看出，試驗結果與數(shù)值計算結果趨勢保持一致。在額定流量點附近，揚程及效率預測值與試驗值之間的誤差均小于2%，在偏工況下外特性預測值誤差略高，但總體上看數(shù)值計算結果對導葉式多級離心泵有較高的可靠性。

圖3 數(shù)值模擬與試驗性能曲線比較

3 多級離心泵內(nèi)場噪聲計算

在瞬態(tài)流場計算結果中提取五級導葉式離心泵振動誘導噪聲計算所需的壁面偶極子聲源，激勵聲源具有連續(xù)性且發(fā)散。為提高內(nèi)場噪聲計算的準確性，聲源信息包括所有級數(shù)葉輪和導葉表面的偶極子聲源及固定壁面偶極子聲源，將CFD計算獲得的表面壓力脈動信息插值到聲場計算所需的邊界元聲學模型上，并將其作為聲場計算的邊界條件；泵的進口及出口定義為吸聲屬性，聲阻抗為1.5×106kg m-2s-1，其余流體表面設為全反射壁面，其中水中聲速為1 483 m/s，基準聲壓為1×10-6Pa，圖4所示為偶極子源分布及邊界條件設置?；贒BEM(直接邊界元法)和LMS Virtual.lab計算五級離心泵內(nèi)場流動噪聲。

4 多級離心泵內(nèi)場噪聲計算結果

4.1 振動計算及試驗驗證

考慮測量多級離心泵噪聲時易受電機及背景噪聲等外界因素影響，很難保證試驗精度，因此以振動數(shù)值預測與試驗的對比來驗證流動誘導噪聲數(shù)值計算的可行性。

(a)偶極子源(b)聲學邊界

圖4 偶極子及聲學計算邊界

Fig.4 Dipole source and acoustic boundary

受內(nèi)部流體激勵，離心泵的阻尼振動響應方程為

(1)

式中：[M]為質量矩陣;[C]為阻尼矩陣;[K]為剛度矩陣;{δ}為結構節(jié)點位移矢量;{P(t)}為施加在結構上隨時間變化的載荷矢量。阻尼矩陣[C]依據(jù)Rayleigh理論表示為質量矩陣和剛度矩陣的線性組合

[C]=α[M]+β[K]

(2)

(3)

(4)

式中：ωi和ωj分別為第i和第j階固有頻率；ξi和ξj分別為第i階和第j階振型的阻尼比。假設ξ=ξi=ξj，阻尼比的選擇根據(jù)試錯法和文獻[22-23]取為0.04，則式(4)可轉化為

振動數(shù)值計算采用有限元法，圖5給出了計算模型及監(jiān)測點。泵體材料為鑄鐵，楊氏模量為137 GPa，密度7 000 kg/m3，泊松比0.3。文獻[24]對模型按照實際試驗情況設置約束，其中四個泵腳的約束設為全約束，三個方向速度均為0，并對進出口管道施加管軸方向的速度約束。施加激勵為流體外表面時域瞬態(tài)壓力分布，采用插值搜索算法將壓力數(shù)據(jù)映射到泵體結構上，作為泵殼上的動力載荷矢量。

圖5 有限元結構模型

振動試驗測點與計算監(jiān)測點位置相同，試驗中選擇振動傳感器為DII301型電容式加速度傳感器，采用東方所研發(fā)的INV3062系列24位云智慧系統(tǒng)采集振動數(shù)據(jù)，采樣頻率為5 120 Hz，采樣時間為60 s。將測得的加速度數(shù)據(jù)進行一次微積分轉化為振動速度數(shù)據(jù)。

該五級導葉式離心泵葉輪轉速為n=1 480 r/min，首級葉輪葉片數(shù)為6，后四級葉輪葉片數(shù)為7，泵軸轉動頻率(APF)為24.67 Hz，首級葉輪的葉片通過頻率為6APF(BPF1)，后四級葉輪的葉片通過頻率為7APF(BPF2)。圖6為1.0Qd工況下泵振動計算結果與試驗結果。可以看出，預測結果與試驗結果在軸頻APF、兩個葉頻BPF1(148 Hz)、BPF2(172.67 Hz)及其高階諧頻處均存在顯著峰值，軸頻處計算結果略高于試驗值，葉頻處的計算值與試驗值相符，振動頻譜中最大值出現(xiàn)在BPF2處。整體上數(shù)值計算結果與試驗結果趨勢較為統(tǒng)一，振動水平位于相同數(shù)量級，說明泵振動及噪聲計算方法較為可靠。從圖6中還可以看出，試驗振動頻譜相對較復雜，在BPF1,2BPF2及5BPF2處等頻率附近出現(xiàn)了其他峰值，這可能是由電機等環(huán)境噪聲共同干擾所致，在后續(xù)振動的研究中，為提高振動計算的精度，多級離心泵振動計算時必須將實際因素納入考慮范圍。

圖6 振動計算及試驗結果

Fig.6 Comparison with simulation results and experiment results of vibration

4.2 內(nèi)場噪聲計算結果分析

圖7給出了五個工況下泵在進口及出口場點處聲壓級水平。

圖7 不同工況下進出口場點聲壓級

由圖7可知，在各個工況下出口處場點的聲壓級水平均比進口場點處聲壓級偏大。這是因為由于葉輪與導葉之間動靜干涉作用的影響，偶極子聲源主要作用在流道下游，由動靜干涉導致的壓力脈動信號隨流體的流動向下游運動；由于葉輪的旋轉作用，泵內(nèi)的聲波很難向上游方向傳播，射流-尾跡結構與靜止部件之間的干涉作用等同于較強的二級聲源并向下游傳播。泵在小流量工況下，一方面流量減小，液流角發(fā)生變化導致流動分離;另一方面葉輪內(nèi)存在一定的回流區(qū)域，進而會產(chǎn)生流動誘導噪聲。當流量從0.8Qd降至0.4Qd，不穩(wěn)定流動產(chǎn)生的噪聲能量增強，流體激勵作用在泵體上的力隨之降低。因此，在小流量工況下，二者聯(lián)合作用下產(chǎn)生的噪聲聲壓級變化不大，沒有呈現(xiàn)明顯規(guī)律；設計工況下，噪聲取得最小值，在1.2Qd工況，聲壓級增大顯著。這是因為當流量增大后，流體作用在表面上的脈動壓力隨之增大，因此產(chǎn)生的流動誘導噪聲水平較高。當運行工況處于額定流量時，噪聲水平相對較小，這是因為此時流體在葉輪與導葉間的流動符合動量守恒定律，導葉附近的靜壓分布較均勻，葉輪受到的徑向力較小，且壓力脈動的幅值較小，導致流動誘導噪聲水平降低。

圖8為五個工況下進口及出口場點處聲壓頻率分布。監(jiān)測點設置在進口及出口管段的四倍管徑處。

(a)0.4Qd

(b)0.6Qd

(c)0.8Qd

(d)1.0Qd

(e)1.2Qd

由圖8(a)看出，0.4Qd工況下整體聲壓級相對較小，但維持在較高水平，這是因為小流量工況下泵內(nèi)流動失速、回流等現(xiàn)象導致內(nèi)部流動不穩(wěn)定，誘發(fā)湍流噪聲；動靜葉片之間干涉作用產(chǎn)生的壓力脈動向上游的傳播受到削弱，導致噪聲頻譜中葉頻等特征頻率處峰值降低；進、出口場點聲壓級分布趨勢基本一致，在0～700 Hz頻段，出口寬頻帶水平較進口偏高；在700～1 000 Hz頻段，進口寬頻帶水平比出口略高。由于首級葉輪、后四級葉輪及正反導葉的葉片數(shù)各不相同，因此聲壓頻率分布中，存在較多特征頻率且較復雜。該泵的主要特征頻率分別為APF的6,7,12,14,18,21,24,27,28,30,35及36倍。在27APF上出現(xiàn)極值，表明噪聲受葉輪及正導葉葉片數(shù)影響較明顯，這是因為由于葉輪的旋轉作用，葉片與正導葉之間發(fā)生動靜干涉，流道呈現(xiàn)周期性變化，葉輪出口和正導葉進口的邊界條件均發(fā)生改變。一方面靜止過流部件的流動受到了出口尾流影響，并且葉輪出口的速度分布和壓力分布與下游的靜止部件相互影響，導致流場壁面壓力呈現(xiàn)周期性波動；另一方面，靜止部件擾亂葉輪內(nèi)部流動，以致產(chǎn)生漩渦。因此葉輪與正導葉之間的動靜干涉作用產(chǎn)生較強的壓力脈動信號，引發(fā)流體振蕩，形成強烈的流動誘導噪聲，并以脈沖的形式在噪聲頻譜上表現(xiàn)出來。盡管10APF和20APF兩個頻率處存在峰值，但是其噪聲水平相比附近頻率的幅值并不大，表明反導葉葉片數(shù)對內(nèi)流噪聲影響相對很小，這是因為反導葉與后一級葉輪之間的軸向間隙相比葉輪與正導葉間的徑向間隙大的多，動靜干涉作用微弱，隨著流體流動對上游和下游的影響幾乎可以忽略不計。進、出口噪聲聲壓級最高值均出現(xiàn)在BPF1，次高值出現(xiàn)在BPF2，二者水平差值約2 dB，這是因為后四級葉輪均為7葉片，由于流量較小，后四級葉輪與正導葉之間發(fā)生的動靜干涉作用不突出，在BPF2頻率上疊加的噪聲信號并不強烈。

由圖8(b)看出，0.6Qd工況下進、出口處聲壓級最高值出現(xiàn)在BPF2，次高值出現(xiàn)在BPF1，二者水平差值約4 dB，與0.4Qd工況相反，表明BPF2上噪聲能量隨流量增大逐漸增強。在0～1 000 Hz頻段內(nèi)，出口場點處寬頻帶水平及特征頻率上峰值均較進口偏大。

由圖8(c)看出，0.8Qd工況下，相比0.6Qd工況，噪聲信號整體有所增強。對于進、出口場點的噪聲信號，聲壓級最大值出現(xiàn)在BPF2上，BPF2與BPF1處水平差值擴大到10 dB以上，表明BPF2與BPF1處聲壓水平之間的差值隨流量增大而遞增，這是因為后四級葉輪葉片數(shù)均為7，每當流體流過后四級葉輪時，在BPF2上的特征頻率都會由于葉輪與正導葉間的動靜干涉作用加強一次，導致激勵BPF2特征頻率的噪聲能量不斷增強。在0～300 Hz頻段，兩個測點處聲壓級趨勢基本一致，而在300～1 000 Hz頻段，出口處寬頻帶水平較進口偏高。

由圖8(d)看出，1.0Qd工況下，聲壓級最大值出現(xiàn)在BPF2，但BPF2與BPF1水平差值約5 dB，峰值約160 dB，相較0.8Qd工況下降較多，這是因為此時導葉周圍靜壓分布均勻，流道壁面上所受的非定常力相對較小，近壁面壓力波動幅值較小，因而噪聲水平相對較低。在0～300 Hz及500～1 000 Hz頻段，出口處聲壓水平比進口偏大；在300～500 Hz頻段，進口寬頻帶聲壓級比出口明顯偏大。

由圖8(e)看出，1.2Qd工況下出口場點處寬頻噪聲水平相較進口明顯偏高，各個特征頻率上的峰值及寬頻帶水平較其他工況下均有明顯升高，這是因為大流量工況下，流體沖擊在葉輪等過流部件上的壓力增大，固定及旋轉壁面上的壓力脈動變化劇烈，激勵產(chǎn)生的噪聲水平升高。500～1 000 Hz頻段內(nèi)寬頻帶噪聲水平相較而言明顯增加，這是因為此時泵內(nèi)部存在空化現(xiàn)象，當空泡從低壓區(qū)沿流道向高壓區(qū)域轉移時，氣泡會不斷縮小甚至潰滅，氣泡潰滅時會誘發(fā)較強烈的高頻噪聲，表明空化是引起泵在大流量工況下噪聲水平顯著增加的主要原因。

5 結 論

(1)流量對五級導葉式離心泵水動力噪聲影響明顯，葉頻對多級泵內(nèi)流動誘導振動噪聲起主導作用。

(2)隨著流量的增大，泵的進出口聲壓級變化趨勢基本一致。額定流量下聲壓級水平最小，大流量工況下最大，出口噪聲高于進口。BPF2等特征頻率上噪聲信號隨流量增大而增大，同時BPF1與BPF2上噪聲水平差值不斷擴大，高頻段的噪聲能量明顯增加。

(3)多工況下噪聲頻譜中主要頻率有APF的6,7,12,14,18,21,24,27,28,30,35及36倍，葉輪及正導葉葉片數(shù)對多級離心泵流動誘導噪聲影響顯著，反導葉葉片數(shù)產(chǎn)生的影響較微弱。

參 考 文 獻

[1] GUO S J, YOSHIYUKI M. Experimental investigations on pressure fluctuations and vibration of the impeller in a centrifugal pump with vaned diffusers[J]. JSME International Journal Series B Fluids and Thermal Engineering, 2005, 48(1): 136-143.

[2] TRETHEWEY M W, FRIELL J C, CHANDRA M J, et al. A spectral simulation approach to evaluate probabilistic measurement precision of a reactor coolant pump torsional vibration shaft crack monitoring system[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 310(4): 1036-1056.

[3] GULICH J F. Centrifugal pumps[M]. New York: Springer, 2010.

[4] 楊愛玲，徐洋，李國平，等. 葉片載荷對離心泵內(nèi)流流動激勵力及噪聲的影響[J].排灌機械工程學報，2014，32(1)：27-32.

YANG Ailing, XU Yang, LI Guoping, et al. Effect of blade loading on fluid-induced exciting force and noise in centrifugal pumps[J]. Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering, 2014, 32(1): 27-32.

[5] 鄭源，陳宇杰，毛秀麗，等. 混流泵壓力脈動特性及其對流動誘導噪聲的影響[J]. 農(nóng)業(yè)工程學報，2015，31(23)：67-73.

ZHENG Yuan, CHEN Yujie, MAO Xiuli, et al. Pressure pulsation characteristics and its impact on flow-induced noise in mixed-flow pump[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering, 2015, 31(23): 67-73.

[6] 何濤，尹志勇，孫玉東. 離心泵流動誘發(fā)振動特性數(shù)值計算分析[J]. 振動與沖擊，2012，31(12)：96-102.

HE Tao, YIN Zhiyong, SUN Yudong. Numerical analysis for flow induced vibration of a centrifugal pump[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(12): 96-102.

[7] 張德勝，耿琳琳，施衛(wèi)東，等. 軸流泵水力模型壓力脈動和振動特性試驗[J]. 農(nóng)業(yè)機械學報，2015，46(6)：66-72.

ZHANG Desheng, GENG Linlin, SHI Weidong, et al. Experimental investigation on pressure fluctuation and vibration in axial-flow pump model[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2015, 46(6): 66-72.

[8] 蔣愛華，李國平，周璞，等. 離心泵流體激勵力誘發(fā)振動: 蝸殼與葉輪途徑[J]. 振動與沖擊，2014，33(10)：1-7.

JIANG Aihua，LI Guoping，ZHOU Pu，et al. Vibration incited by fluid forces on centrifugal pump from volute path and impeller path[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(10): 1-7.

[9] 司喬瑞，袁壽其，袁建平. 葉輪隔舌間隙對離心泵性能和流動噪聲影響的試驗研究[J]. 振動與沖擊，2016，35(3)：164-168.

SI Qiaorui,YUAN Shouqi,YUAN Jianping. Experimental study on the influence of impeller-tongue gap on the performance and flow-induced noise characteristics of centrifugal pumps[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(3): 164-168.

[10] 黃國富，常煜，張海民，等. 低振噪聲船用離心泵的水力設計[J]. 船舶力學，2009，13(2)：313-318.

HUANG Guofu, CHANG Yu, ZHANG Haimin, et al. Hydraulic redesign on a marine centrifugal pump for hydro-borne vibration and noise reduction[J]. Journal of Ship Mechanics, 2009, 13(2): 313-318.

[11] 王勇，黃浩欽，劉厚林，等. 葉片出口邊側斜對船用離心泵外輻射噪聲的影響[J]. 排灌機械工程學報，2015，33(2)：104-110.

WANG Yong, HUANG Haoqin, LIU Houlin, et al. Effect of inclined trailing edge of blade on exterior radiation noise of marine centrifugal pump[J]. Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering, 2015, 33(2): 104-110.

[12] BIRAJDAR R, PATIL R, KHANZODE K. Vibration and noise in centrifugal pumps-sources and diagnosis methods[C]∥3rd International Conference on Integrity, Reliability and Failure. Porto:IRF, 2009: 20-24.

[13] RZENTKOWSKI G, ZBROJA S. Experimental characteriza-tion of centrifugal pumps as an acoustic source at the blade-passing frequency[J]. Journal of Fluids and Structures, 2000, 14(4): 529-588.

[14] CHOI J S, MCLAUHLIN D K, THOMPSON D E. Experiments on the unsteady flow field and noise generation in a centrifugal pump impeller[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 263(3): 493-514.

[15] LANGTHJEM M A, OLHOFF N. A numerical study of flow-induced noise in a two-dimensional centrifugal pump-Part II. Hydroacoustics[J]. Journal of Fluids and Structures, 2004, 19(3): 369-386.

[16] CHU S, DONG R, KATZ J. Relationship between unsteady flow, pressure fluctuations, and noise in a centrifugal pump—Part A: use of PDV data to compute the pressure Field[J]. ASME Journal of Fluids Engineering, 1995, 117(1): 24-29.

[17] SRIVASTAV O P, PANDU K R, GUPTA K. Effect of radial gap between impeller and diffuser on vibration and noise in a centrifugal pump[J]. Emerging Trends in Mechatronics for Automation, 2003, 32(13): 36-39.

[18] JIANG Y Y,YOSHIMURA S, IMAI R, et al. Quantitative evaluation of flow-induced structural vibration and noise in turbomachinery full-scale weakly coupled simulation[J]. Journal of Fluids and Structures, 2007, 23(3): 531-544.

[19] 丁劍，劉厚林，王勇，等. 葉片出口角影響離心泵噪聲輻射數(shù)值研究[J]. 振動與沖擊，2014，33(2)：122-127.

DING Jian, LIU Houlin, WANG Yong, et al. Numerical study on the effect of blade outlet angle on centrifugal pump noise[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(2): 122-127.

[20] MAJIDI K. Numerical study of unsteady flow in a centrifugal pump[J]. Journal of Turbomachinery, 2005, 127(2): 363-371.

[21] 劉占生，劉全忠，王洪杰. 離心泵變工況流場及葉輪流體激振力研究[J]. 哈爾濱工程大學學報，2008，29(12)：1304-1308.

LIU Zhansheng, LIU Quanzhong, WANG Hongjie. Analysis of off-design flow fields in centrifugal pumps and hydrodynamic forces on impeller[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2008, 29(12): 1304-1308.

[22] MARSCHER W D. An end-user’s guide to centrifugal pump rotordynamics[C]∥Proceedings of the 23rd Pump Users Symposium. Texas: Texas A & M University, 2007: 69-93.

[23] KAISER T F,OSMAN R H,DICKAU R O. Analysis guide for variable frequency drive operated centrifugal pumps[C]∥Proceedings of the 24th International Pump User’s Symposium. Texas: Texas A&M University, 2008: 81-106.

[24] WANG Fujun, QU Lixia, HE Lingyan, et al. Evaluation of flow-induced dynamic stress and vibration of volute casing for a large-scale double-suction centrifugal pump[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2013(1): 831-842.