吳 勝，郭 茜，李延來

（西南交通大學(xué)a.交通運輸與物流學(xué)院；b.綜合交通運輸智能化國家地方聯(lián)合工程實驗室，成都 610031）

0 引言

具有時尚期和衰退期的時尚品、電子產(chǎn)品和季節(jié)性產(chǎn)品等隨著產(chǎn)品發(fā)布時間的推移，其在消費者心目中的價值（由時尚型和功能型兩個方面組成）逐漸降低，這種現(xiàn)象很大程度上影響消費者的購買決策，從而對產(chǎn)品的市場需求量造成不可忽視的影響，造成這種現(xiàn)象的原因是消費者具有時間偏好[1，2]。時間偏好這一概念源于依賴時間的跨期選擇結(jié)果[3]，因其能夠有效地反映決策者的偏好隨時間的變化關(guān)系，被廣泛的應(yīng)用于各個領(lǐng)域：周建亨和蔣碧云等[4]基于消費者時間偏好研究了供應(yīng)鏈訂貨策略；Chen和Li等[5]分析了當管理者時間偏好不一致時保險公司的最優(yōu)股息策略；鄒鵬和赫連才等[6]檢驗感知時間距離對消費者購買行為的影響，其實質(zhì)也是消費者在產(chǎn)品購買時存在時間偏好。

同時，科學(xué)技術(shù)和電子商務(wù)的飛速發(fā)展，加劇了產(chǎn)品的更新?lián)Q代，造成消費者的時間偏好依賴更為嚴重。因此，在供應(yīng)鏈定價決策過程中，將消費者時間偏好因素納入模型的考慮范圍是非常必要的。然而，如何衡量新產(chǎn)品的市場需求量隨產(chǎn)品發(fā)布時間的變化關(guān)系，是供應(yīng)鏈管理必須應(yīng)對的首要難題。

多階段動態(tài)定價，因其能夠根據(jù)市場需求信息實時地調(diào)整產(chǎn)品的零售價格，具有較大的靈活性和實用性，而被廣泛應(yīng)用于供應(yīng)鏈定價決策中[7-10]。本文試圖使用指數(shù)貼現(xiàn)函數(shù)刻畫消費者購買新產(chǎn)品時的時間偏好行為[3]，建立基于消費時間偏好的多階段動態(tài)定價模型來得到隨機需求下零售商的最優(yōu)定價策略。將新產(chǎn)品的銷售周期分為時尚期和衰退期，并利用時間偏好函數(shù)反映消費者在不同階段的不同時間偏好。最后，采用動態(tài)規(guī)劃的思想求解產(chǎn)品在各階段的最優(yōu)定價策略，從而求解最優(yōu)定價序列。數(shù)值仿真說明不同的定價次數(shù)、消費者時間偏好參數(shù)和價格敏感程度對最優(yōu)定價策略和零售商最大期望利潤的影響。

1 問題描述與基本假設(shè)

1.1 問題描述

考慮新產(chǎn)品發(fā)布后，零售商在產(chǎn)品整個銷售周期內(nèi)的多階段動態(tài)定價問題?；跁r間偏好的視角考慮消費者對新產(chǎn)品發(fā)布后時間變化的敏感性，本文假設(shè)新產(chǎn)品在顧客心目中的價值由時尚型和功能型兩個方面決定，并將其銷售周期分為時尚期和衰退期[4]：產(chǎn)品處于時尚期時，其市場需求量主要由時尚型因子決定；處于衰退期時，其市場需求量主要由功能型因子決定。根據(jù)上述特點，建立基于消費者時間偏好和產(chǎn)品價格依賴的多階段動態(tài)定價模型，以分析不同消費者時間偏好參數(shù)、定價次數(shù)和價格敏感性對零售商最優(yōu)定價策略和最大化利潤的影響。

1.2 基本假設(shè)

為了簡化模型，本文給出如下基本假設(shè)：

①假設(shè)新產(chǎn)品在一個銷售周期內(nèi)只有一次訂貨，但可進行多次定價；②假設(shè)產(chǎn)品在每一個時間段內(nèi)初始的市場需求量都服從相同的分布函數(shù)（這里假設(shè)其服從均勻分布，正態(tài)分布和指數(shù)分布的情況類似）；③考慮新產(chǎn)品在時尚期時的價值被高估的原因，假設(shè)消費的價格敏感系數(shù)在產(chǎn)品的時尚期要小于衰退期，并假設(shè)衰退期的各階段消費者的價格敏感系數(shù)不變；④不考慮產(chǎn)品每次定價的成本。

本文假設(shè)產(chǎn)品初始市場需求量為x，消費者時間偏好因子為β(t),考慮消費者時間偏好和產(chǎn)品價格依賴后得市場總需求量為z，給出如下乘積型需求函數(shù)：

式中，κ表示消費者對產(chǎn)品的感知價格；δ≥1表示市場需求的價格彈性系數(shù)，δ越大表示消費者對產(chǎn)品的價格越敏感。

1.3 消費者時間偏好

在新產(chǎn)品銷售的不同時間段，消費者對產(chǎn)品的偏好程度不同，使用指數(shù)函數(shù)刻畫消費者的偏好隨時間的變化關(guān)系[3]。假設(shè)產(chǎn)品的一個銷售周期是T，產(chǎn)品的時尚期為T0，設(shè)定如下時間偏好函數(shù)：

式中，ξ∈[0 ， 1]表示產(chǎn)品的時尚型因子，γ∈[0 ， 1] 表示產(chǎn)品的功能型因子。t∈(0 ，T0]表示產(chǎn)品處于銷售的時尚期，也即β(t)=1，此時消費者對該產(chǎn)品的偏好程度最大，其時間偏好函數(shù)等于1；t∈(T0，T]表示產(chǎn)品處于銷售的衰退期，此時消費對該產(chǎn)品的偏好程度隨著時間的流逝逐漸減弱，因此時間偏好函數(shù)β(t)逐漸減小。

圖1 不同時尚型因子下，產(chǎn)品市場需求隨時間的變化情況

圖2 不同功能型因子下，產(chǎn)品市場需求隨時間的變化情況

圖1和圖2分別給出了時尚型因子和功能型因子不同時，產(chǎn)品市場需求量的變化趨勢。由圖1可知，產(chǎn)品的時尚型因子ξ越小，產(chǎn)品越時尚，消費者時間偏好越大，其對產(chǎn)品市場需求量的影響越大。圖2表示不同產(chǎn)品功能型因子下的產(chǎn)品市場需求的變化情況，γ越大表示產(chǎn)品的功能性越弱，消費者的時間偏好越大，產(chǎn)品的市場需求變化越大。

公式(2)以及圖1和圖2反映了隨著產(chǎn)品銷售周期的變化，消費者對產(chǎn)品偏好的變化而造成的市場需求量的變化關(guān)系。這符合時尚品、電子產(chǎn)品和季節(jié)性產(chǎn)品等的市場總需求的變化規(guī)律：第一階段，新產(chǎn)品剛剛發(fā)布時的時尚期，產(chǎn)品的市場需求量較大，且基本不受時間變化的影響；第二階段，產(chǎn)品進入衰退期，其時尚性逐漸消失，消費者對產(chǎn)品的偏好逐漸降低，此階段產(chǎn)品的功能型對消費者偏好的影響起主要作用，當功能型因子γ較大時，時間對產(chǎn)品市場總需求的影響較大；γ較小時，時間對產(chǎn)品市場總需求的影響較小。因此，充分考慮消費者基于產(chǎn)品時尚性和功能性的時間偏好對產(chǎn)品市場需求量的影響是非常重要的。

2 模型建立

2.1 不同階段下產(chǎn)品的市場總需求

考慮多階段動態(tài)定價問題，假設(shè)產(chǎn)品在整個銷售周期中分N+1次定價，則每次定價pi(i=0， 1， …，N) 的時間點依次為T0，T1，··· ，TN。因為產(chǎn)品處于時尚期，消費者的時間偏好幾乎不變，故假設(shè)t∈(0 ，T0]為產(chǎn)品的時尚期，且在該段時間內(nèi)零售商只有一次定價，也即為新產(chǎn)品剛剛發(fā)布時的定價p0。假設(shè)產(chǎn)品在t∈(Ti-1，Ti](i=0，1， …，N) 內(nèi) 的 市 場 需 求 量 為xi，并 記T-1=0 ，TN=T，且Ti以月為單位，則根據(jù)式(1)可知，產(chǎn)品在每個階段的市場需求函數(shù)為：

其中，i=1， 2， …，N；因為消費者對產(chǎn)品價格的敏感性在時尚期要低于衰退期，故1≤δ0＜δi(i=1，2，…，N)。

結(jié)合式(2)和式(3)可知，基于消費者時間偏好和價格因素的新產(chǎn)品市場總需求函數(shù)為：

式中，i=1， 2， …，N。

根據(jù)上述假設(shè)，可知在新產(chǎn)品的整個銷售周期T內(nèi)，其初始的市場總需求量為：

考慮消費者時間偏好和產(chǎn)品價格等因素時新產(chǎn)品在整個銷售周期內(nèi)的市場總需求量為：

則由式(6)可知，在t∈(Ti-1，Ti] (i=0，1，…，N) 內(nèi)產(chǎn)品的市場總需求量Yi和xi的關(guān)系如下：

i=1， 2， …，N。λi(i=0，1，…，N) 表示時間段(Ti-1，Ti] 內(nèi)庫存系統(tǒng)的市場總需求系數(shù)[5]。

假設(shè)產(chǎn)品初始的市場需求量xi(i=0，1，…，N) 的概率分布函數(shù)記為f(xi)，累積分布概率函數(shù)記為F(xi)。則考慮消費者時間偏好和產(chǎn)品零售價格后產(chǎn)品在時間段(0 ，T0]和(Ti-1，Ti]內(nèi)的市場總需求概率分布函數(shù)分別為ψ(Y0)和ψ(Yi)，累積概率分布函數(shù)分別為 Ψ(Y0)和Ψ(Yi)。因此，可得如下的關(guān)系：

式中，i=1， 2， …，N。

定理1：新產(chǎn)品在時尚期t∈(0 ，T0]時，其庫存系統(tǒng)的市場總需求系數(shù)λ0與產(chǎn)品時尚型因子和功能型因子γ無關(guān)，是關(guān)于消費者價格彈性指數(shù)δ0的單調(diào)減函數(shù)，并且隨著時尚期時間T0的增大而增大；產(chǎn)品在衰退期t∈(Ti-1，Ti] (i=1，2，…，N) 時，其庫存系統(tǒng)的市場總需求系數(shù)λi(i=1， 2， …，N) 是關(guān)于產(chǎn)品時尚型因子ξ的單調(diào)增函數(shù)，是關(guān)于產(chǎn)品功能型因子γ的單調(diào)減函數(shù)，并且隨著消費者價格彈性指數(shù)δi的增大而減小，隨著時間Ti的增大而增大。

證明：由公式(7)可得并且一階條件；所以，當t∈(0 ，T0]時，λ0是關(guān)于消費者價格彈性指數(shù)δ0的單調(diào)減函數(shù)，并且隨著T0的增大而增大。當1，2，…，N)時，由如下公式：

可知λi是關(guān)于產(chǎn)品時尚型因子ξ的單調(diào)增函數(shù)。由

設(shè)定k1=(Ti-T0)γ，k2=(Ti-1-T0)γ，可得：

設(shè)r(k)=(k+1)e-k，可知r(k)是關(guān)于k的單調(diào)減函數(shù)，又因為k1＞k2，故 (k1+1)e-k1-(k2+1)e-k2＜0，也即?λi?γ＜ 0 ，因此λi(i=1， 2， …，N) 是關(guān)于產(chǎn)品功能型因子γ的單調(diào)減函數(shù)；亦因為：

可知λi(i=1， 2， …，N) 是關(guān)于價格彈性指數(shù)δi的單調(diào)減函數(shù)，關(guān)于時間Ti的單調(diào)增函數(shù)。定理1得證。

2.2 模型建立

建立基于消費者時間偏好和產(chǎn)品零售價格的零售商多階段定價模型，首先由公式(7)關(guān)于產(chǎn)品的實際市場需求量可得，零售商在產(chǎn)品銷售的第i階段(t∈(Ti-1，Ti] ，其中i=0，1，…，N，且T-1=0，TN=T)的期望銷售量為：

式中，qi表示產(chǎn)品第i(i=1，2，…，N) 階段的訂貨量，第一部分積分表示產(chǎn)品在時間段t∈(Ti-1，Ti] 內(nèi)的市場總需求量Yi＜qi時，零售商的期望銷售量；第二部分積分表示Yi≥qi時，零售商的期望銷售量。在時間段內(nèi)產(chǎn)品的期望剩余量為：

若(pi)＞0，表示產(chǎn)品在第i(i=0，1，…，N) 階段還未銷售完。

假設(shè)產(chǎn)品在整個銷售期內(nèi)只有一次訂貨，而有多次定價，則產(chǎn)品在第i(i=0，1，…，N) 階段的銷售剩余量即為第i+1階段的訂貨量，也即：

式中，i=N，N-1，…，1，λi表示產(chǎn)品在第i階段庫存系統(tǒng)的市場總需求系數(shù)（具體表示形式如式（7））。

所以，由式(9)至式(11)可得零售商在整個銷售周期內(nèi)的期望利潤函數(shù)為：

式中，ω表示產(chǎn)品的批發(fā)價格，b表示產(chǎn)品的回收價格。當產(chǎn)品只有一次定價時，pi=p0(i=1，2，…，N) ，此時，零售商的期望利潤函數(shù)退化為靜態(tài)定價策略模型：

3 模型求解

由模型(12)可知，當新產(chǎn)品銷售時，零售商的最優(yōu)定價策略是一個多階段動態(tài)決策過程，因此本文采用動態(tài)規(guī)劃的思想分別求解新產(chǎn)品在銷售各階段的最優(yōu)定價策略，以便求解出整個問題的最優(yōu)定價序列。因此，本文將模型(12)劃分成N+1個部分，然后基于期望利潤最大化求解零售商在各銷售階段的最優(yōu)定價策略i=0，1，…，N) 。由公式(12)可知，求解如下動態(tài)規(guī)劃模型：

為了說明在新產(chǎn)品銷售的各階段存在最優(yōu)的定價策略，現(xiàn)將目標函數(shù)分成如下部分：

基于，即可求解各階段的最優(yōu)解。為方便分析，以產(chǎn)品在各階段的市場需求量服從均勻分布(也即xi～U(0 ，M) )為例，討論零售商在各階段最優(yōu)定價的存在情況。

定 理 2：在 新 產(chǎn) 品 銷 售 的 時 尚 期 ，若 0＜p0＜則零售商的最優(yōu)零售價格=

證明：產(chǎn)品在時尚期時，Π0(p0)對p0求一階和二階導(dǎo)數(shù)：

因為δ0≥1，故可知當此時E0(π ) 是關(guān)于p0的凹函數(shù)，dΠ0即可求出最優(yōu)定價為當時，因為關(guān)于p0的單調(diào)減函數(shù)，此時最優(yōu)定價為定理得證。

定理3：在新產(chǎn)品銷售的第i(i=1，2，…，N-1) 階段，零售商的最優(yōu)定價策略為：

當i=N時，

定理3的證明類似于定理2，這里就不再累述。由上述定理及其證明可知，當新產(chǎn)品在銷售各階段的初始訂貨量確定以后，基于消費者時間偏好和產(chǎn)品零售價格的多階段定價模型存在最優(yōu)的定價策略。通過定理2和定理3可得如下性質(zhì)：①在產(chǎn)品各階段的最優(yōu)定價策略制定過程中，該階段消費者的感知價值、階段時長和訂貨量都是影響最優(yōu)定價的重要原因；②產(chǎn)品在時尚期時，其最優(yōu)定價策略受消費者時間偏好的影響很小，這是因為產(chǎn)品在時尚期時，消費者處于了解、感知產(chǎn)品的階段，產(chǎn)品的時尚性占主導(dǎo)作用；當產(chǎn)品進入衰退期以后，最優(yōu)定價是消費者時尚型因子ξ的單調(diào)增函數(shù)，是消費者功能型因子γ的單調(diào)減函數(shù)。

4 數(shù)值仿真

本文通過數(shù)值仿真對上述模型進行實證分析。某零售商欲銷售某批新發(fā)售的時尚電子產(chǎn)品，考慮到該產(chǎn)品在消費者心目中的價值隨發(fā)布時間的推移而快速降低，計劃將整個銷售周期T=8分成N+1個階段，設(shè)相應(yīng)參數(shù)ω=600，b=150，x～U( )0， 10 和k=2818。

(1)產(chǎn)品的定價次數(shù)對零售商定價策略及期望利潤的影響

設(shè)產(chǎn)品市場需求的價格彈性指數(shù)δ0=1.15,δi=1.65，時間偏好參數(shù)ξ=γ=0.60，將相應(yīng)參數(shù)帶入模型，由動態(tài)規(guī)劃算法計算可得如下頁表1所示數(shù)值結(jié)果，該結(jié)果反映了當消費者的時間偏好參數(shù)和價值感知系數(shù)確定以后：①在一定的范圍內(nèi)，隨著定價次數(shù)的增加，零售商的最大期望利潤相應(yīng)的增大，產(chǎn)品最后庫存量則降低；②隨著時間的推移，產(chǎn)品每階段的最優(yōu)定價逐漸減小。這是因為基于消費者時間偏好的多階段動態(tài)定價能夠時時根據(jù)消費者需求的變化而改變產(chǎn)品的零售價格，從而增加產(chǎn)品的銷售量，以獲取最大化的期望利潤。

(2)消費者時間偏好對零售商定價策略及期望利潤的影響

設(shè)參數(shù)N=3,T0=2，T1=4，T2=6，T3=T=8 ，產(chǎn)品市場需求的價格彈性指數(shù)δ0=1.15，δi=1.65。同樣，通過上述算法可得消費者時間偏好參數(shù)：產(chǎn)品時尚型因子(表2)和功能型因子(表3)對零售商定價策略和期望利潤的影響。由表2可知：①隨著時尚型因子ξ減小，產(chǎn)品在衰退期各階段的最優(yōu)定價都降低；②不同時尚型因子下產(chǎn)品的期望庫存量基本不變；③零售商總期望利潤隨著時尚型因子的減小而降低。這是因為時尚型因子ξ減小，產(chǎn)品的時尚性增加，在產(chǎn)品的衰退期因為時尚性消失，造成消費者時間偏好的迅速降低，零售商只有通過不斷的降低零售價格來實現(xiàn)最大化的期望利潤；此時，通過降低零售價格而增加的銷售量即可彌補因產(chǎn)品時尚性降低而造成的銷售量減少量，故產(chǎn)品的期望銷售量基本不變，從而其期望庫存量也基本不變；零售商總期望利潤降低是因為在產(chǎn)品銷售量不變的情況下零售價格降低，這造成了總的期望利潤降低。由表3可知：④產(chǎn)品處于衰退期時，各階段的最優(yōu)零售價格是關(guān)于功能型因子γ的單調(diào)增函數(shù)；⑤功能型越強的產(chǎn)品，其期望庫存量越低；⑥零售商的總期望利潤是關(guān)于產(chǎn)品功能型因子γ的單調(diào)減函數(shù)。因為功能型因子γ越小，產(chǎn)品功能性越強，產(chǎn)品市場需求量受消費者時間偏好的影響越小，從而導(dǎo)致每階段產(chǎn)品的市場銷售量減少的也越小，故期望庫存量越低；最后，因為γ越小，各階段的最優(yōu)定價和銷售量都增加，從而使零售商總期望利潤也增加。

表1 不同定價次數(shù)下零售商的最優(yōu)策略

表2 γ=0.55時，產(chǎn)品時尚型因子對零售商最優(yōu)策略的影響

表3 ξ=0.70時，產(chǎn)品功能型因子對零售商最優(yōu)策略的影響

(3)產(chǎn)品市場需求的價格彈性指數(shù)對零售商最優(yōu)定價策略及期望利潤的影響

設(shè)參數(shù)T0=2，T1=4，T2=6，T3=T=8，消費者的時間偏好參數(shù)ξ=0.7,γ=0.55。運用動態(tài)規(guī)劃算法，可得零售商最優(yōu)定價策略和期望利潤隨價格彈性指數(shù)δ0和δi(i=1， 2 ， 3) 的變化關(guān)系(表4)。由表4可得：①隨著產(chǎn)品處于時尚期時價格彈性指數(shù)δ0的增大，零售商在該階段的最優(yōu)零售價格逐漸降低，而在衰退期各階段的最優(yōu)零售價格則相應(yīng)的增加，這導(dǎo)致了產(chǎn)品的期望庫存量和總利潤都相應(yīng)的減少。②隨著產(chǎn)品處于衰退期時價格彈性指數(shù)δi(i= 1，2，3)的增大，零售商時尚期的最優(yōu)定價策略不變，在衰退期第1階段的最優(yōu)零售價格減小，其他階段最優(yōu)零售價格則增大；增加的零售價格和降低的產(chǎn)品庫存量，引起了零售商總期望利潤的增加。從上述結(jié)論可以看出，零售商希望消費者在產(chǎn)品處于時尚期時，對產(chǎn)品零售價格的敏感程度越低越好(δ0越小)；反之，當產(chǎn)品處于衰退期時，希望消費者對產(chǎn)品價格的敏感程度越高越好(δi越大)。

表4 價格的需求彈性系數(shù)對零售商最優(yōu)策略的影響

5 結(jié)束語

鑒于消費者時間偏好和產(chǎn)品市場需求的價格依賴在零售商定價決策中得重要作用，本文研究了價格依賴下基于消費者時間偏好的零售商多階段動態(tài)定價問題，主要工作和結(jié)論：

(1)首先，將消費者感知產(chǎn)品的價值分為時尚型和功能型兩個部分，定義基于指數(shù)貼現(xiàn)函數(shù)的時間偏好因子刻畫上述兩個方面對產(chǎn)品市場需求量的影響；然后，考慮產(chǎn)品市場需求的價格依賴，并將產(chǎn)品的整個生命周期分為時尚期和衰退期，求解不同階段產(chǎn)品的實際市場需求量；最后，建立多階段動態(tài)定價模型，并使用動態(tài)規(guī)劃算法求解其最優(yōu)定價序列。

(2)數(shù)值仿真表明：多階段定價策略能夠增加零售商的最大期望利潤，并降低產(chǎn)品的銷售剩余量；產(chǎn)品時尚型因子是關(guān)于零售商期望利潤和產(chǎn)品衰退期各階段最優(yōu)定價的單調(diào)增函數(shù)，而產(chǎn)品功能型因子則相反，并且產(chǎn)品功能型因子是影響其庫存量的主要因素；不同時期，產(chǎn)品市場需求的價格彈性指數(shù)對零售商最優(yōu)定價策略和期望利潤的影響不同。

綜上，本文建立多階段動態(tài)定價模型相比單一定價模型，不僅能夠反映實際決策時基于產(chǎn)品時尚型和功能型的消費者的時間偏好依賴和價格依賴特征，以便較為準確的預(yù)測新產(chǎn)品銷售時的實際市場需求量，還能根據(jù)產(chǎn)品的實際庫存量動態(tài)的制定產(chǎn)品的各階段最優(yōu)定價策略，從而實現(xiàn)零售商期望利潤的最大化。但是，本文沒有考慮產(chǎn)品多次訂貨的問題，也沒有考慮零售商之間存在競爭時的情況。這些都為后續(xù)研究需要拓展了方向。

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